(共16张PPT)
知识回顾
2
1
B
A
C
O
在角的内部,自顶点引一条射线把
这个角分成两个相等的角,那么这条射线叫做角的平分线。
怎样得到这个角的平分线？
用量角器度量，
也可用折纸的方法．
探索新知
新知1:角平分线的画法
思考：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，
将点A
放在角的顶点，AB
和AD
沿着角的两边放下，
沿AC
画一条射线AE，AE
就是∠DAB
的平分线．
你能说明它的道理吗？
E
其依据是SSS，
两全等三角形的对应角相等.
探索新知
新知1:角平分线的画法
如果没有此仪器，
如何利用尺规作角的平分线
？
A
O
B
M
N
C
练
【例1】分别画出如图中钝角和平角的平分线．
解:如图所示，射线OC即为所求．
练
1.根据图中尺规作图的痕迹，先判断得出结论：
OM平分∠BOA，然后证明你的结论.
(不要求写已知、求证)
证明：连接CM，DM，
由作图的痕迹可知，OC=OD，CM=DM.
在△COM和△DOM中，
OC=OD,
CM=DM,
OM=OM,
∴△COM≌△DOM(SSS).
∴∠COM=∠DOM.
∴OM平分∠BOA.
探索新知
新知2:角平分线的性质
OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点
分别过点P作PD⊥OA，PE
⊥OB,点D、E为垂足，
测量PD、PE并作比较.你得到什么结论？
PD=PE
在OC上再取几个点试试。
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
A
B
O
P
C
D
E
探索新知
新知2:角平分线的性质
角平分线上的点到角的两边的距离相等
PD⊥OA
，PE⊥OB
∵
OP平分∠AOB
∴
PD=PE
A
B
O
P
C
D
E
性质：
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
练
【例2】如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等．
证明：作PF⊥AC,PG⊥BC,PH⊥AB，
垂足分别为F,G,H．
∵
BD是△ABC中∠ABC外角的平分线，
∴
PG=PH
同理可得PF=PG，
∴
PF=PG=PH.
即点P到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等．
练
2.
如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，
OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，
则OD与OE的大小关系是( )
A.OD>OE
B.OD＝OE
C.
OD D.
不能确定
Ｂ
探索新知
新知3:几何命题的证明
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，
可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，
并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，
写出证明过程.
探索新知
新知3:几何命题的证明
已知:∠AOC=∠BOC
,点P在OC上,PD⊥OA于D，PE⊥OB于E
求证:
PD=PE
∵
PD⊥OA，PE⊥OB
证明：
∴∠PDO＝∠PEO＝90°
在△PDO和△PEO中
∴
△PDO≌△PEO（AAS）
∠PDO＝∠PEO
∠AOC＝∠BOC
OP=OP
∴
PD＝PE
“角的平分线上的点到角的两边的距离等”
A
B
O
P
C
D
E
课堂小结
角平分线
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
课堂小结
1.角的平分线上的点到角的两边距离______.
2.
如图,OP平分∠AOB,OQ平分∠POB,则∠BOQ=____∠AOQ.
3.如图,△ABC中,∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，则点D到AB的距离是( )
A．4
B．5 C．6 D．7
相等
Ａ
课堂小结
4.如图,在△ABC中,∠B＋∠C＝100°,
AD平分∠BAC,交BC于点D，DE∥AB，
交AC于点E,则∠ADE的度数是( )
A.
30°
B.
40°
C.
50°
D.
60°
Ｂ
5.已知∠AOB,求作射线OC,使OC平分∠AOB,下面作法步骤:
①作射线OC；
②在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD＝OE；
③分别以点D,E为圆心,大于
的长为半径作弧,在∠AOB内,两弧交于点C.
其合理的作法顺序是( )
A.①②③
B.②①③
C.②③①
D.③②①
Ｃ
课后作业
1.暗线本A
角平分线的性质
P51
T2
2.《学导练》P33-34
3.《课堂小测本》P131(共15张PPT)
情境导入
O
D
P
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
几何语言：
∵
OC平分∠AOB，
且PD⊥OA，
PE⊥OB.
∴
PD=
PE.
A
C
B
角平分线的性质定理
E
到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
探索新知
新知:角平分线的判定
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：
作射线OP，
∴点P在∠AOB
角的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO
中，
OP=OP（公共边），
PD=
PE（已知
），
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.
∴∠AOP=∠BOP
探索新知
新知:角平分线的判定
P
A
O
B
C
D
E
∵
PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P
在∠AOB的平分线上.
练
【例】如图，BE=CF，DE⊥AB交AB的延长线于点E，
DF⊥AC于点F，且DB=DC，求证：AD是∠BAC的平分线．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°.
∴△BDE与△CDF是直角三角形.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BE=CF,
BD=CD,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴DE=DF.
∴AD是∠BAC的平分线．
练
如图，△ABC中∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，求证：点P在∠CAB的角平分线上．
证明：作PF⊥AB于点F，
PG⊥BC于点G，PH⊥AC于点H.
∵BD是∠ABC的外角平分线BD
CE是∠ACB的外角平分线CE
∴PF=PG，PH=PG.
∴PF=PH.
又∵PF⊥AB，PH⊥AC，
∴点P在∠CAB的角平分线上．
D
E
F
例
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE.
同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
点P在∠A的平分线上吗？说明三角形的三条角平分线有什么关系？
点P在∠A的平分线上.
如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，
BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4,
(1)求点O到△ABC三边的距离和.
练
M
E
N
A
B
C
P
O
D
温馨提示：构造不存在垂线段
12
(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
探索新知
新知:角平分线的判定
角的平分线的性质
图形
已知
条件
结论
P
C
P
C
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
课堂小结
角平分线
判定定理
内容
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
作用
判断一个点是否在角的平分线上
结论
三角形的角平分线相交于内部一点
课堂小结
1.
判断一件事情的语句叫做_____.
2.
三角形的三条角平分线交于一点，
它到三边的距离_____.
3.角的内部到角的两边的距离相等的点在______________.
4.
如图，点P在∠AOB内部，
PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，
PC＝_____
cm，当PD＝3cm时,
点P在∠AOB的平分线上.
命题
相等
角的平分线上
3
?
3
课堂小结
5.如图所示是一块三角形的草坪，现要在
草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(
)
A．
△ABC三条中线的交点
B．
△ABC三条角平分线的交点
C．
△ABC三条高所在直线的交点
D．
△ABC三边的中垂线的交点
B
课堂小结
6.如图,在△ABC中,∠A=70°,点O到AB，BC，AC的距离相等,连接BO，CO，则∠BOC=______．
课后作业
1.暗线本A
P51
T3
P55
T3
2.《学导练》P36
3.《课堂小测本》P132
