26.4解直角三角形的应用-冀教版九年级数学上册课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
26.4
解直角三角形的应用
冀教版九上
第二十六
解直角三角形
新课引入
新课学习
典例精析
测试小结
学
习
目
标
冀教版九上
1.能把实际问题转化为数学问题.
2.体会三角函数在解决实际问题过程中的作用.
3.熟练应用三角函数的计算，掌握基本图形.
创设情境，引入新课
我们在“相似三角形”一节，利用相似的知识设计出多种测量旗杆的高度的方案.
三角函数也可以求边长，是不是用三角函数知识也能测量旗杆的高度呢？
小明
创设情境，引入新课
问题：（课本117页“做一做”）小明在距旗杆4.5m的点D处，仰视旗杆顶端A,仰角为50°；俯视旗杆的底部B,俯角为18°.求旗杆的高.（结果精确到0.1m）.
小明
A
D
B
视线
视线
水平线
4.5
O
C
地平线
解读:
仰角、俯角是指视线与水平线的夹角.
如：∠AOC是仰角.
∠BOC是俯角.
创设情境，引入新课
已知：如图，OD、AB均与BD垂直，垂足分别为点D、B,
OC∥BD,BD=4.5m，∠AOC=50°；∠BOC=18°.AB的长度.（结果精确到0.1m）.
参考数据：
sin18°≈0.31,sin50°≈0.77.
cos18°≈0.95,cos50°≈0.64.
tan18°≈0.32,tan50°≈1.19
先将实际问题转化为数学问题
A
D
B
4.5
O
C
创设情境，引入新课
已知：如图，OD、AB均与BD垂直，垂足分别为点D、B,
OC∥BD,BD=4.5m，∠AOC=50°；∠BOC=18°.AB的长度.（结果精确到0.1m）.
A
D
B
4.5
O
C
解：由题意可得，OC=BD=4.5
在Rt△OCB
中
在Rt△AOC中
∴AB=AC+BC=1.44+5.36=6.8
新课学习，探求解题套路
例1.（课本117页例1）如图所示，一艘渔船以30海里/时的速度由西向东航线.在A处看见小岛C在船北偏东60°方向上，40min后，渔船行驶到B处，此时小岛C在船北偏东30°方向上.已知以小岛C为中心，10海里为半径的范围是多暗礁的危险区.如果这艘渔船继续向东航线，有没有进入危险区的可能.
B
C
A
北
30°
60°
解读：方位角：视线与正南（或正北）方向的夹角.
思考：如何判断渔船有没有可能进入危险区？
新课学习，探求解题套路
B
C
A
北
30°
60°
分析：只需要计算垂线段CD的长度即可.
CD即渔船与小岛的最近距离，
当CD≥10时，没有危险；
当CD＜10时，有危险.
D
新课学习，探求解题套路
B
C
A
北
30°
60°
D
E
F
转化为数学问题：如图，AB的长为
海里，∠EAC=60°,∠FBC=30°,求CD的长.
先独立解决、计算，再与同伴交流，看一看，结果一样不一样？作法一样不一样？
新课学习，探求解题套路
20
B
C
A
北
30°
60°
D
E
F
方法一：
解：
过点C作CD⊥AB的延长线于点D.
则∠CBD=60°,设BD=x
在Rt△BCD中
∴CD=BD·tan∠CBD=√3x
在Rt△ACD中，
解得，x=10
∴渔船不会进入危险区.
两个直角三角形△BCD与△ACD各用一次三角函数
新课学习，探求解题套路
20
B
C
A
北
30°
60°
D
E
F
方法二：
解：
过点C作CD⊥AB的延长线于点D.
则∠CBD=60°,设CD=x
在Rt△BCD中
在Rt△ACD中，
∴渔船不会进入危险区.
两个直角三角形△BCD与△ACD各用一次三角函数
新课学习，探求解题套路
20
B
C
A
北
30°
60°
D
E
F
方法三：
解：
过点C作CD⊥AB的延长线于点D.
则∠CBD=90°-30°=60°,
∵∠1=90°-60°=30°
∴∠2=∠1=30°
∴BC=AB=20
在Rt△BCD中
∴渔船不会进入危险区.
把已知数值导入Rt△CBD中，不再用设未知数
1
2
总结套路，提升思维
20
B
C
A
北
30°
60°
D
E
F
20
B
C
A
北
30°
60°
D
E
F
1
2
20
思考：用三角函数求边长，什么情况下需要设未知数、列方程？什么情况下不需要设未知数，可以直接求？
方法一、二中已知边AB不是直角三角形的边长，需设未知数.
方法三中导出BC=20，BC是直角三角形的边长，可直接计算，不设未知数.
总结套路，提升思维
用三角函数求边长时的注意事项
1.当给出的已知边长恰为直角三角形的边长时，可直接计算；
2.当给出的已知边长不是直角三角形的边长时，可设未知数；
3.当图形中出现两个直角三角形时，一般会用两次三角函数.
新课学习，继续探究
坡度与坡角
坡角：坡面与水平面的夹角，
如图中∠α.
α
坡度（坡比）：坡的垂直高度h与水平宽度l的比.
坡度是坡角的正切值.
坡度通常写作：
新课学习，继续探究
例2.（课本118页例2）如图所示，铁路路基的横断面为四边形ABCD，其中，BC∥AD,∠A=∠D,根据图中标注的数据计算路基下底的宽和坡角.（角的度数精确到度）（参考数据：tan38°≈0.8）
B
C
A
D
10
1：1.25
4
想一想：如何添加辅助线，可以使坡角及已知的长度4到直角三角形中？
新课学习，继续探究
B
C
A
D
10
1：1.25
4
解：如图，作BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为E,F.
由题意可知，四边形BEFC为矩形.
∴EF=BC=10，BE=CF=4
F
E
∵∠A=∠D,∠BEA=∠CFD,BE=CF
∴△ABE≌△DCF
∴AE=DF
在Rt△ABE中,
∴α=38°
AE=BE÷0.8=5
∴AD=AE+EF+FD=5+10+5=20
答：路基下底的宽为20m,坡角α约为38°.
学以致用，解决问题
（1）若新坡角为α，求坡角α的度数.
B
C
A
P
1：1
M
1：√3
1、某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6m，坡面BC的坡度为1:1，文化墙PM在天桥底部正前方8m处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡度为1：√3.
（参考数据：
）
D
学以致用，解决问题
（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3m时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？
B
C
A
P
1：1
M
1：√3
D
6
分析：PM是否需要拆除，要看AP的长度是否超过3m,解题的关键就转化为求线段PA的长度.
在Rt△BCD中，由tan∠BCD=1:1,
可得，BD=CD=6.
在Rt△ACD中，由tan∠CAD=1:√3,
可得，AD=√3CD=6√3≈10.4
PD=PB+BD=8+6=14
PA=PD-AD=14-10.4≈3.6＞3
∴文化墙PM不需要拆除.
学以致用，解决问题
过点B作BE⊥AD于点E
已知边长4是Rt△ABE的边
所求边BD是Rt△BED的边
因此不需要设未知数，
用公共边BE作为桥梁，
可求出BD的长.
A
C
D
B
2、鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山，如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为加快施工进度，要在小山的另一侧D（A,C,D共线）处同时施工.测得∠CAB=30°，AB=4km,∠ABD=105°,求BD的长.
E
4
30°
学以致用，解决问题
3、如图，学校教学楼上悬挂一块长为3米的标语牌，即CD=3米，数学活动课上，小明和小红要测量标语牌地板D到地面的距离，测得角仪支架高AE=BF=1.2米，小明在E处测得标语牌底部D点的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部C点的仰角为45°，AB=5米.请你依据他们测量的数据求出D到地面的距离DH的长.（tan31°≈0.60,sin31°≈0.52,cos31°≈0.86.)
A
F
E
H
D
C
B
分析：结合已知，观察图形，已知的边长5、3不是直角三角形的边长，可考虑设未知数，用方程解决.设CG=FG=x.
x
G
5
3
x-3
解得，x=15,DH=15-3+1.2=13.2
一、生活术语
回顾与小结
二、用三角函数求边长
仰角、俯角
方位角
坡角（角度）、坡度（比值）
直接求
用方程求
同学们再见