华东师大版数学八年级上册：11.2.1实数的概念与分类 教案
文档属性
| 名称 | 华东师大版数学八年级上册：11.2.1实数的概念与分类 教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 198.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-09-04 15:25:36 | ||
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文档简介
11.2实数
教学内容：华东师大版八年级上册11.2实数（第1课时）
教学目标：1.了解实数的意义，能对实数进行分类；
2.让学生通过和有理数性质类比，探索实数的性质；
3.通过类比的方法探索发现实数性质的过程，培养学生类比联想的能力，以及观察、分析、发现问题的能力；
4.积极参加教学活动，对数学产生探求新知的欲望，增加学数学的兴趣。
教学重难点：
重点：实数的意义；
难点：无理数的概念、实数和数轴上的点一一对应的关系。
教学过程：
复习引入，创设情境
师：在一个美丽的村庄里，生活着一群快乐的精灵，大家看看这些精灵你们都认识吗？
出示PPT(2、3、5、100、1000、、、、0.1、0.11、0.10101……)
师：大家可以看到这个村庄里都是一些可爱的数字精灵~你们知道，他们都是些什么数呢？
生：有整数、分数、小数
师：大家已经知道，分数可以化为小数，或者无线循环小数，而整数和分数统称为？
生：有理数。
师：所以，这个村长就叫做“有理数村”。（PPT显示“有理数村”）
师：有一天村庄外又来了一群数字精灵（PPT展示、、、、，对话框：可以让我们住进你们的村庄吗？）有理数村的精灵们认真观察着这些数字，发现它们和自己有相似之处，又有些不一样。这时村长站了出来说：“他们不是我们有理数村的精灵！比如这里面的跟我们村里面的、不同，在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2，也就是说，不是一个有理数！这里是有理数村，你们不属于这里，请回吧！”这时数字精灵站了出来，说：“是的，我和我的小伙伴都是同一类精灵，我们都不是有理数，但是我们跟你们有理数一样，都属于实数，我们没有住处了，请大家收留我们吧！”村长说：“你们也是实数？（考虑中……）让你们住进来也不是不可以，但是要让我们对你们有所了解！”马上说：“太感谢了，那么你们先来了解我吧，就基本上可以了解大家了！”
于是，有理数村的小精灵们就把带入了研究室。
首先，他们先将带入了计算器进行计算：=1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766……
同学们观察一下，有理数村精灵们计算出来的有什么特点呢？
生：认真观察。发现小数点后有无限位数，但是找不到循环节。
师：各数大惊失色：“怎么会这样？在我们有理数村里，要么是整数、要么是分数、小数或者无限循环小数（PPT分别展示各类数例子，学生计算）问到：“你看似小数且无限，但是不循环，你究竟是个什么数字精灵？”
说：“我和我的小伙伴都是“无限不循环小数，我们都有共同的名字叫：无理数”
村长：“无理数？！我知道了！有一个人，是他第一个发现了除有理数外的数，却被抛进大海，你们想知道这其中的曲折离奇吗？”村长接着说：“这得追溯到2500年前，有个叫毕达哥拉斯的人，他是一个伟大的数学家，他创立了毕达哥拉斯学派，这个学派认为毕达哥拉斯是至高无尚的，他所说的一切都是真理。毕达哥拉斯(
Pythagoras)
认为“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，即都可用有理数来描述。毕达哥拉斯的学生希伯斯运用勾股定理研究了边长为1的正方形的对角线，发现对角线长既非整数又非分数就是说它不是一种有理数而是一种新数。可是当时的毕达哥拉斯派认为，整数是完美无缺的世界上除此之外，不可能有其它什么数了他们公然把这种新数说成是无理的数并把英勇的数学家希伯斯残酷地抛进大海。他这一死，使得这类数的计算推迟了500多年，给数学的发展造成了不可弥补的损失。由历史的这种局限，‘无理数’这个名称一直沿用至今。但人们早已清楚‘无理数’并非无理，它是很有理的数，是对有理数缺陷的合理补充。无理数所体现的完美无缺、一丝不苟的纯粹理性与无孔不入、尽人皆知的世俗应用的精彩正是数学的魅力之所在。你们果然属于实数，快请进吧！”
于是，和他们的无理数小伙伴们于有理数精灵生活在了一起，他们一起把“有理数村”的牌子摘了下来，大家觉得现在的村庄应该叫什么名字？
生：实数村。
师：从这个故事我们可以学到哪些知识？（PPT展示：无限不循环小数叫做无理数；有理数和无理数统称实数。）
设计意图：培养学生前后知识连接，为后续知识做铺垫。学生在回答的过程中积极思考，加深对无理数、实数意义的理解。
研究讨论，发现新知
师：故事还没有结束，有理数和无理数在实数村里面幸福地生活着，但是大家总是觉得无理数精灵对他们来说还是不够了解，非常地陌生，而且经常分不清等等是属于哪一类，于是，村长为了让大家能够更加清楚地了解无理数，在实数村组织了一场“闯三关，夺数魁”的知识竞赛活动，同学们一起来参加吧！
第一关：分类
让学生分小组讨论，实数怎样分类？在了解实数概念的基础上教师和学生共同建立实数系分类表：（分小组讨论）
按数的概念来分：
按数的性质来分：
注意：①用根号表示的数不一定是无理数，如、；
②无理数不一定都是用根号表示的数，如
；
③无理数有无数多个：
④无理数可以分为正无理数和负无理数。
设计意图：通过对实数分类的练习，进一步领会分类的数学思想，但要提示学生“0”既不是正数，也不是负数，但实数中包含“0”不要遗漏。
加分站：判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？
，，，，—，
，
1.232232223……（两个3之间依次多一个2）
有理数是：
，，—，
无理数是：，，1.232232223……（两个3之间依次多一个2）
师：从上面的练习中我们可以总结无理数有哪些特征或者哪些无理数容易被判断错误？
圆周率和一些含有的数都是无理数；
开方开不尽的数是无理数；（带根号的数不一定是无理数）
有一定规律，但不循环的无限小数是无理数，如1.232232223……（两个3之间依次多一个2）
设计意图：通过练习进一步理解实数的分类
第二关：实数和数轴上的点是一一对应的
你能在数轴上找到表示的点吗？
师：如图11.2.1，将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形，那么这个大正方形的面积是多少？边长呢？
生：这个大正方形的面积为2，边长为。
师：也就是说，边长为1的正方形的对角线长是，利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示的点，如图11.2.2所示：
画法：①以原点为一顶点，单位长度1为边，画一正方形；
②连接对角线；
③以原点为圆心，对角线长为半径画弧，与数轴正方向交于一点；
这个点即表示的点。
加分站：你能在数轴上找到表示π这样的无理数的点吗？
师：如果将所有有理数都标在数轴上，那么数轴被填满了吗？（没有）
如果再将所有的无理数都标到数轴上，那么数轴就被填满了。
总结：P10
数轴上的每一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）都可以用数轴上的一个点来表示。
也就是说：实数与数轴上的点一一对应
这是数集从有理数集扩充到实数集的一大进步。
思考:能说“有理数和数轴上的点一一对应”吗？为什么？
设计意图：通过此问题的讨论，让学生进一步体会数形结合的思想，鼓励学生用自己的语言表述自己的想法。
达标测试，反馈纠正
第三关：终极考验
下列说法是否正确？为什么？（在理解概念的基础上独立完成，并举手回答问题）
实数不是有理数就是无理数；（√）
无理数都是无限不循环小数；（√）
无理数都是无限小数；（√）
带根号的都是无理数；（×）
无理数一定都带根号；（×）
两个整数相除，如果永远都除不尽，那么结果一定是一个无理数；（×）
任意一个无理数的绝对值都是正数；（√）
数轴上任何一点都可以表示实数；（√）
将下列各数填入相应的大括号里：（分小组讨论完成）
整数有：
（
）
有理数有：（
）
无理数有
：（
）
实数有：
（
）
设计意图：进一步巩固所学知识
课堂小结
指导学生总结本节课的知识点
设计意图：锻炼归纳能力
布置作业
1.阅读π的历史拓展：一位老者发现了数字π。说：“看，这里有我们一位老朋友：π！”可是对于大多数数字精灵来说π不是家人，只是一个“熟悉的陌生人”这时老者介绍说：“大家已经知道圆的周长与直径之比是一个常数，人们称之为圆周率。通常用希腊字母π来表示。在古代，实际上长期使用π＝３这个数值，巴比伦、印度、中国都是如此。到公元前２世纪，中国的《周髀算经》里已有周三径一的记载。东汉的数学家又将π值改为（约为3.16）。直正使圆周率计算建立在科学的基础上，首先应归功于阿基米德。他专门写了一篇论文《圆的度量》，用几何方法证明了圆周率与圆直径之比小于而大于。这是第一次在科学中创用上、下界来确定近似值。第一次用正确方法计算π值的，是魏晋时期的刘徽，在公元263年，他首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，算得π值为3.14。我国称这种方法为割圆术。直到1200年后，西方人才找到了类似的方法。后人为纪念刘徽的贡献，将3.14称为徽率。公元460年，南朝的祖冲之利用刘徽的割圆术，把π值算到小点后第七位3.1415926，这个具有七位小数的圆周率在当时是世界首次。祖冲之的圆周率，保持了一千多年的世界记录。终于在1596年，由荷兰数学家卢道夫打破了。他把π值推到小数点后第15位小数，最后推到第35位。之后，西方数学家计算π的工作，有了飞速的进展。1948年1月，费格森与雷思奇合作，算出808位小数的π值。电子计算机问世后，π的人工计算宣告结束。至2002年底科学家们用超级计算机已把π的值算到小数点后12411亿位。”
2.《实践与探究》P711.2实数
第1课时
实数的意义
板书设计
1.无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数；
2.实数的分类；
3.实数和数轴上的点是一一对应的。
教学内容：华东师大版八年级上册11.2实数（第1课时）
教学目标：1.了解实数的意义，能对实数进行分类；
2.让学生通过和有理数性质类比，探索实数的性质；
3.通过类比的方法探索发现实数性质的过程，培养学生类比联想的能力，以及观察、分析、发现问题的能力；
4.积极参加教学活动，对数学产生探求新知的欲望，增加学数学的兴趣。
教学重难点：
重点：实数的意义；
难点：无理数的概念、实数和数轴上的点一一对应的关系。
教学过程：
复习引入，创设情境
师：在一个美丽的村庄里，生活着一群快乐的精灵，大家看看这些精灵你们都认识吗？
出示PPT(2、3、5、100、1000、、、、0.1、0.11、0.10101……)
师：大家可以看到这个村庄里都是一些可爱的数字精灵~你们知道，他们都是些什么数呢？
生：有整数、分数、小数
师：大家已经知道，分数可以化为小数，或者无线循环小数，而整数和分数统称为？
生：有理数。
师：所以，这个村长就叫做“有理数村”。（PPT显示“有理数村”）
师：有一天村庄外又来了一群数字精灵（PPT展示、、、、，对话框：可以让我们住进你们的村庄吗？）有理数村的精灵们认真观察着这些数字，发现它们和自己有相似之处，又有些不一样。这时村长站了出来说：“他们不是我们有理数村的精灵！比如这里面的跟我们村里面的、不同，在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2，也就是说，不是一个有理数！这里是有理数村，你们不属于这里，请回吧！”这时数字精灵站了出来，说：“是的，我和我的小伙伴都是同一类精灵，我们都不是有理数，但是我们跟你们有理数一样，都属于实数，我们没有住处了，请大家收留我们吧！”村长说：“你们也是实数？（考虑中……）让你们住进来也不是不可以，但是要让我们对你们有所了解！”马上说：“太感谢了，那么你们先来了解我吧，就基本上可以了解大家了！”
于是，有理数村的小精灵们就把带入了研究室。
首先，他们先将带入了计算器进行计算：=1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766……
同学们观察一下，有理数村精灵们计算出来的有什么特点呢？
生：认真观察。发现小数点后有无限位数，但是找不到循环节。
师：各数大惊失色：“怎么会这样？在我们有理数村里，要么是整数、要么是分数、小数或者无限循环小数（PPT分别展示各类数例子，学生计算）问到：“你看似小数且无限，但是不循环，你究竟是个什么数字精灵？”
说：“我和我的小伙伴都是“无限不循环小数，我们都有共同的名字叫：无理数”
村长：“无理数？！我知道了！有一个人，是他第一个发现了除有理数外的数，却被抛进大海，你们想知道这其中的曲折离奇吗？”村长接着说：“这得追溯到2500年前，有个叫毕达哥拉斯的人，他是一个伟大的数学家，他创立了毕达哥拉斯学派，这个学派认为毕达哥拉斯是至高无尚的，他所说的一切都是真理。毕达哥拉斯(
Pythagoras)
认为“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，即都可用有理数来描述。毕达哥拉斯的学生希伯斯运用勾股定理研究了边长为1的正方形的对角线，发现对角线长既非整数又非分数就是说它不是一种有理数而是一种新数。可是当时的毕达哥拉斯派认为，整数是完美无缺的世界上除此之外，不可能有其它什么数了他们公然把这种新数说成是无理的数并把英勇的数学家希伯斯残酷地抛进大海。他这一死，使得这类数的计算推迟了500多年，给数学的发展造成了不可弥补的损失。由历史的这种局限，‘无理数’这个名称一直沿用至今。但人们早已清楚‘无理数’并非无理，它是很有理的数，是对有理数缺陷的合理补充。无理数所体现的完美无缺、一丝不苟的纯粹理性与无孔不入、尽人皆知的世俗应用的精彩正是数学的魅力之所在。你们果然属于实数，快请进吧！”
于是，和他们的无理数小伙伴们于有理数精灵生活在了一起，他们一起把“有理数村”的牌子摘了下来，大家觉得现在的村庄应该叫什么名字？
生：实数村。
师：从这个故事我们可以学到哪些知识？（PPT展示：无限不循环小数叫做无理数；有理数和无理数统称实数。）
设计意图：培养学生前后知识连接，为后续知识做铺垫。学生在回答的过程中积极思考，加深对无理数、实数意义的理解。
研究讨论，发现新知
师：故事还没有结束，有理数和无理数在实数村里面幸福地生活着，但是大家总是觉得无理数精灵对他们来说还是不够了解，非常地陌生，而且经常分不清等等是属于哪一类，于是，村长为了让大家能够更加清楚地了解无理数，在实数村组织了一场“闯三关，夺数魁”的知识竞赛活动，同学们一起来参加吧！
第一关：分类
让学生分小组讨论，实数怎样分类？在了解实数概念的基础上教师和学生共同建立实数系分类表：（分小组讨论）
按数的概念来分：
按数的性质来分：
注意：①用根号表示的数不一定是无理数，如、；
②无理数不一定都是用根号表示的数，如
；
③无理数有无数多个：
④无理数可以分为正无理数和负无理数。
设计意图：通过对实数分类的练习，进一步领会分类的数学思想，但要提示学生“0”既不是正数，也不是负数，但实数中包含“0”不要遗漏。
加分站：判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？
，，，，—，
，
1.232232223……（两个3之间依次多一个2）
有理数是：
，，—，
无理数是：，，1.232232223……（两个3之间依次多一个2）
师：从上面的练习中我们可以总结无理数有哪些特征或者哪些无理数容易被判断错误？
圆周率和一些含有的数都是无理数；
开方开不尽的数是无理数；（带根号的数不一定是无理数）
有一定规律，但不循环的无限小数是无理数，如1.232232223……（两个3之间依次多一个2）
设计意图：通过练习进一步理解实数的分类
第二关：实数和数轴上的点是一一对应的
你能在数轴上找到表示的点吗？
师：如图11.2.1，将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形，那么这个大正方形的面积是多少？边长呢？
生：这个大正方形的面积为2，边长为。
师：也就是说，边长为1的正方形的对角线长是，利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示的点，如图11.2.2所示：
画法：①以原点为一顶点，单位长度1为边，画一正方形；
②连接对角线；
③以原点为圆心，对角线长为半径画弧，与数轴正方向交于一点；
这个点即表示的点。
加分站：你能在数轴上找到表示π这样的无理数的点吗？
师：如果将所有有理数都标在数轴上，那么数轴被填满了吗？（没有）
如果再将所有的无理数都标到数轴上，那么数轴就被填满了。
总结：P10
数轴上的每一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）都可以用数轴上的一个点来表示。
也就是说：实数与数轴上的点一一对应
这是数集从有理数集扩充到实数集的一大进步。
思考:能说“有理数和数轴上的点一一对应”吗？为什么？
设计意图：通过此问题的讨论，让学生进一步体会数形结合的思想，鼓励学生用自己的语言表述自己的想法。
达标测试，反馈纠正
第三关：终极考验
下列说法是否正确？为什么？（在理解概念的基础上独立完成，并举手回答问题）
实数不是有理数就是无理数；（√）
无理数都是无限不循环小数；（√）
无理数都是无限小数；（√）
带根号的都是无理数；（×）
无理数一定都带根号；（×）
两个整数相除，如果永远都除不尽，那么结果一定是一个无理数；（×）
任意一个无理数的绝对值都是正数；（√）
数轴上任何一点都可以表示实数；（√）
将下列各数填入相应的大括号里：（分小组讨论完成）
整数有：
（
）
有理数有：（
）
无理数有
：（
）
实数有：
（
）
设计意图：进一步巩固所学知识
课堂小结
指导学生总结本节课的知识点
设计意图：锻炼归纳能力
布置作业
1.阅读π的历史拓展：一位老者发现了数字π。说：“看，这里有我们一位老朋友：π！”可是对于大多数数字精灵来说π不是家人，只是一个“熟悉的陌生人”这时老者介绍说：“大家已经知道圆的周长与直径之比是一个常数，人们称之为圆周率。通常用希腊字母π来表示。在古代，实际上长期使用π＝３这个数值，巴比伦、印度、中国都是如此。到公元前２世纪，中国的《周髀算经》里已有周三径一的记载。东汉的数学家又将π值改为（约为3.16）。直正使圆周率计算建立在科学的基础上，首先应归功于阿基米德。他专门写了一篇论文《圆的度量》，用几何方法证明了圆周率与圆直径之比小于而大于。这是第一次在科学中创用上、下界来确定近似值。第一次用正确方法计算π值的，是魏晋时期的刘徽，在公元263年，他首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，算得π值为3.14。我国称这种方法为割圆术。直到1200年后，西方人才找到了类似的方法。后人为纪念刘徽的贡献，将3.14称为徽率。公元460年，南朝的祖冲之利用刘徽的割圆术，把π值算到小点后第七位3.1415926，这个具有七位小数的圆周率在当时是世界首次。祖冲之的圆周率，保持了一千多年的世界记录。终于在1596年，由荷兰数学家卢道夫打破了。他把π值推到小数点后第15位小数，最后推到第35位。之后，西方数学家计算π的工作，有了飞速的进展。1948年1月，费格森与雷思奇合作，算出808位小数的π值。电子计算机问世后，π的人工计算宣告结束。至2002年底科学家们用超级计算机已把π的值算到小数点后12411亿位。”
2.《实践与探究》P711.2实数
第1课时
实数的意义
板书设计
1.无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数；
2.实数的分类；
3.实数和数轴上的点是一一对应的。