北师版九年级数学上册 2.5　一元二次方程的根与系数的关系 能力提升卷（Word版 含答案）

北师版九年级数学上册
2.5　一元二次方程的根与系数的关系
能力提升卷
一、选择题（共10小题，3
10=30）
1．已知α，β是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ的值是(　　)
A．3
B．1
C．－1
D．－3
2．已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是(　　)
A．x1≠x2
B．x21－2x1＝0
C．x1＋x2＝2
D．x1·x2＝2
3．已知一元二次方程2x2－5x＋1＝0的两个根为x1，x2，下列结论正确的是(　　)
A．x1＋x2＝－
B．x1·x2＝1
C．x1，x2都是有理数
D．x1，x2都是正数
4．已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，则x1x2等于(
)
A．－4
B．－1
C．1
D．4
5．设x1，x2是方程x2＋5x－3＝0的两个根，则x21＋x22的值是(　　)
A．19
B．25
C．31
D．30
6.
若x1＋x2＝3，x12＋x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是(　　)
A．x2－3x＋2＝0
B．x2＋3x－2＝0
C．x2＋3x＋2＝0
D．x2－3x－2＝0
7．关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为(　　)
A．m＝－2
B．m＝3
C．m＝3或m＝－2
D．m＝－3或m＝2
8．已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值为(　　)
A．4
B．－4
C．3
D．－3
9．若α，β为方程2x2－5x－1＝0的两个实数根，则2α2＋3αβ＋5β的值为(　　)
A．－13
B．12
C．14
D．15
10．已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2－12x＋m＋2＝0的两根，则m的值是(　　)
A．34
B．30
C．30或34
D．30或36
二．填空题（共8小题，3
8=24）
11．已知关于x的方程x2＋x－a＝0的一个根为2，则另一个根是
.
12.
已知x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两实数根，则＋的值是
.
13．若一元二次方程x2－x－2＝0的两根为x1，x2，则(1＋x1)＋x2(1－x1)的值是
.
14．若2－是方程x2－4x＋c＝0的一个根，则c的值是
.
15．
已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个根，若(m－1)(n－1)＝－6，则a＝
.
16．对于任意实数a，b，定义：a◆b＝a2＋ab＋b2.若方程(x◆2)－5＝0的两根记为m，n，则m2＋n2＝
．
17．一元二次方程x2－4x＋2＝0的两根为x1，x2，则x12－4x1＋2x1x2的值为
.
18．一元二次方程x2－3x＋1＝0的两个根为x1，x2，则x12＋3x2＋x1x2－2的值是
.
三．解答题（共7小题，
46分）
19．(6分)
设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，求x＋x的值．
20．(6分)
已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，求方程的另一个根．
21．(6分)
已知m，n是关于x的一元二次方程x2－2tx＋t2－2t＋4＝0的两实数根，求(m＋2)(n＋2)的最小值.
22．(6分)
设x1，x2是一元二次方程2x2－x－3＝0的两根，求下列代数式的值．
(1)x12＋x22；
(2)＋；
(3)x12＋x22－3x1x2.
23．(6分)
若关于x的一元二次方程x2－3x＋p＝0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2－ab＋b2＝18，求＋的值.
24．(8分)
关于x的一元二次方程x2－(k－1)x－k＋2＝0有两个实数根x1，x2，若(x1－x2＋2)(x1－x2－2)＋2x1x2＝－3，求k的值.
25．(8分)
已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m2＝0.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|＝|x2|－2，求m的值及方程的根．
参考答案
1-5BDDCC
6-10AAABA
11.
－3
12.
6
13.
4
14.
1　
15.
－4
16.
6
17.
2
18.
7
19.
解：由题意知，x1·x2＝，x1＋x2＝3.
所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝9－3＝6.
20.
解：
方法一(利用根与系数的关系)：
∵方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，设另一个根为x1，
∴2x1＝－6，解得x1＝－3，
∴方程的另一个根是－3.
方法二(代入法)：把x＝2代入原方程，得22＋2m－6＝0，解得m＝1.
把m＝1代入原方程，得x2＋x－6＝0，
解得x1＝2，x2＝－3.即方程的另一个根为－3.
21.
解：由一元二次方程中根与系数的关系可知，
m＋n＝2t，mn＝t2－2t＋4.又∵m，n是方程的两实数根，
∴Δ＝4t2－4(t2－2t＋4)≥0，解得t≥2.
因为(m＋2)(n＋2)＝mn＋2(m＋n)＋4，
将mn和m＋n代入整理得t2＋2t＋8，
∴t2＋2t＋8＝(t＋1)2＋7，
∵t≥2.
故当t＝2时，(m＋2)(n＋2)取得最小值为16.
22.
解：由题意得：x1＋x2＝，x1x2＝－　
(1)x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝()2＋2×＝
(2)＋＝＝＝＝－
(3)x12＋x22－3x1x2＝(x1＋x2)2－5x1x2＝()2＋5×＝
23.
解：∵a，b为方程x2－3x＋p＝0(p≠0)的两个不相等的实数根，
∴a＋b＝3，ab＝p.
∵a2－ab＋b2＝(a＋b)2－3ab＝32－3p＝18，
∴p＝－3.
当p＝－3时，Δ＝(－3)2－4p＝9＋12＝21＞0，
∴p＝－3符合题意．
∴＋＝＝＝－2＝－2＝－5.
24.
解：∵关于x的一元二次方程x2－(k－1)x－k＋2＝0的两个实数根为x1，x2，∴x1＋x2＝k－1，x1x2＝－k＋2.
∵(x1－x2＋2)(x1－x2－2)＋2x1x2＝－3，
即(x1＋x2)2－2x1x2－4＝－3，∴(k－1)2＋2k－4－4＝－3，
解得k＝±2.
∵关于x的一元二次方程x2－(k－1)x－k＋2＝0有实数根，
∴Δ＝[－(k－1)]2－4×1×(－k＋2)≥0，
解得k≥2－1或k≤－2－1，∴k＝2.
25.
解：(1)由题意得Δ＝b2－4ac＝(3－m)2－4×1×(－m2)＝5m2－6m＋9＝5(m－)2＋＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根　
(2)由根与系数的关系，得x1·x2＝＝－m2≤0，x1＋x2＝m－3.
∵|x1|＝|x2|－2，∴|x1|－|x2|＝－2.
若x1≥0，x2≤0，上式化简得x1＋x2＝－2，
∴m－3＝－2，即m＝1，
方程化为x2＋2x－1＝0，
解得x1＝－1＋，x2＝－1－；
若x1≤0，x2≥0，上式化简得－(x1＋x2)＝－2，
∴x1＋x2＝m－3＝2，即m＝5，
方程化为x2－2x－25＝0，
解得x1＝1－，x2＝1＋
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