2.4 用因式分解法求解一元二次方程 课件(共26张PPT)

2.4 用因式分解法求解一元二次方程
2020年秋季北师大版九年级上册
第二章
一元二次方程
求解一元二次方程的方法：
一元二次方程
ax2+bx +c = 0(a ，b ，c为常数, a≠0)
(1)直接开平方法
(2)配方法
(3)公式法
x2=a (a≥0)
(x+m)2=n(n≥0)
一、复习回顾
选择合适的方法解下列方程：
(1)x2-6x=7； (2)3x2+8x-3=0
一、复习回顾
(配方法）
（公式法）
解：a = 3 , b = 8， c = 3
∴ b2 – 4ac = 64-4×3×3=28
∴

x1 = , x2 = .
解： x2 - 6x=7
x2 - 6x+32=7 +32
(x-3)2=16
∴x-3=±4
∴x-3=4或∴x-3=-4
∴ x1 =7 , x2 =-1
分式分解
(1) 提公因式法

(2)公式法
一、复习回顾
am+bm+cm=m(a+b+c)
a2-b2=(a+b)(a-b),
a2+2ab+b2=(a+b)2.
问题：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等,这个数是几？你是怎样求出来的？
由方程 x2 = 3x ,得
x2 - 3x = 0
因此
x1 = 0, x2 = 3.
所以这个数是0或3.
小颖的思路：
小明的思路：
方程 x2 = 3x 两边
同时约去x, 得
x = 3 .
所以这个数是3.
二、探究新知
设这个数为x,根据题意得,可得方程 x2 = 3x
小亮的思路：
由方程 x2 = 3x ,得
x2 - 3x = 0
即 x (x - 3) = 0
于是 x = 0 , 或 x - 3 = 0.
因此 x1 = 0 , x2 = 3
所以这个数是0或3
问题：他们做得对吗？为什么？
如果a·b= 0，
那么 a=0 或 b=0
即“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”
因式分解法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法.
如果a·b= 0，那么 a=0 或 b=0
下列各方程的根分别是多少？
(1) x(x-2)=0；
(1) x1=0，x2=2；
(2) (y+2)(y-3)=0；
(2) y1=-2，y2=3 ；
(3) (3x+6)(2x-4)=0；
(3) x1=-2，x2=2；
(4) x2=x.
(4) x1=0，x2=1.
因式分解法
对于一元二次方程(x – p)(x – q)=0，那么它的两个实数根分别为p，q.
例1：解下列方程：
（1）5x2 = 4x ; （2）x – 2 = x (x - 2).
解：5x2 - 4x = 0,
x (5x - 4) = 0.
∴x = 0 或 5x – 4 =0.
∴ x1 = 0 , x2= .
解：(x - 2) – x (x - 2) = 0,
(x - 2) (1 - x) = 0.
∴x – 2 = 0 或 1 – x = 0.
∴ x1 = 2 , x2=1.
三、典例精析
原来的一元二次方程转化为两个一元一次方程
因式分解法的步骤
一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
简记歌诀：右化零,左分解,两因式,各求解
例2 用适当的方法解方程：
(1) 3x(x + 5)= 5(x + 5)； (2)(5x + 1)2 = 1；
分析：该式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快.
解：化简 (3x -5) (x + 5) = 0.
即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0.
分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平方法.
解：开平方,得
5x + 1 = ±1.
解得, x 1= 0 , x2 =
灵活选用方法解方程
(3) x2 - 12x = 4 ; (4) 3x2 = 4x + 1；
分析：二次项的系数为1，可用配方法来解题较快.
解：配方,得
x2 - 12x + 62 = 4 + 62,
即 (x - 6)2 = 40.
开平方,得
解得 x1=
x2=
分析：二次项的系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法.
解：化为一般式 3x2 - 4x + 1 = 0.
∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0,

灵活选用方法解方程
各种一元二次方程的解法及适用类型.
一元二次方程的解法
适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0）
(x+m)2＝n（n ≥ 0）
ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m) （x + n）＝0
1.当没有一次项时(ax2+c=0)，应选用直接开平方法；
2.若没有常数项时(ax2+bx=0)，应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都有 (ax2+bx+c=0)，先化为一般式，若一边的整式容易因式分解，则选用因式分解法；若不容易分解，则选用公式法；
4.若二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，可选用配方法.
灵活选用方法解方程

① x2-3x+1=0 ； ② 3x2-1=0 ；
③ -3t2+t=0 ； ④ x2-4x=2 ；
⑤ 2x2-x=0； ⑥ 5(m+2)2=8；
⑦ 3y2-y-1=0； ⑧ 2x2+4x-1=0；
⑨ (x-2)2=2(x-2).
适合运用直接开平方法 ；
适合运用因式分解法 ；
适合运用公式法 ；
适合运用配方法 .
巩固练习
⑥
①
②
③
④
⑤
⑦
⑧
⑨
(1)x2-4=0; (2)(x+1)2-25=0
你能用因式分解法解下列的方程吗
解：化简 (x -2) (x + 2) = 0.
即x - 2 = 0 或 x + 2 = 0.
解得 x1=2 ，x2= -2
解：化简 (x + 1- 5) (x + 1+5) = 0.
即x - 4 = 0 或 x + 6 = 0.
解得 x1=4 ，x2= 6
1.解方程x(x+2)=3(x+2)，最适当的方法是( )
A. 直接开平方法 B. 因式分解法
C. 配方法 D. 公式法
四、课堂检测
A
2.下列方程中，不适合用因式分解法解的是( )
A．x2－2x＋1＝0
B．x2－2x－1＝0
C．x2＝7x
D．x2－4＝0
B
3.方程(x＋1)(x－2)=x＋1的解是（ ）
A．2 B.3 C.－1，2 D.－1，3
D
四、课堂检测
4.方程x(x-3)=5(x-3)的解是( )
x=3 B. x=5
C. x1=3，x2=5 D. 无解
C
5. 方程x2-5x=0的解是（ ）
x1=x2=5 B. x1=x2=0
C. x1=0，x2=5 D. x1=-5，x2=0
四、课堂检测
C
6.若代数式2x2－3x与x2－7x的值相等，则x的值为( )
A．0 B．－4
C．0或－4 D．0或4
C
解：化为一般式为
因式分解，得
x2－2x+1 = 0.
( x－1 )( x－1 ) = 0.
有 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0，
x1=x2=1.
解：因式分解，得
( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0.
有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0，
7.解方程：
四、课堂检测
8.用因式分解法解下列方程：
(1)3x(2x+1)=4x+2； (2)(x-4)2=(5-2x)2.
解：(1)原方程可变形为3x(2x+1)=2(2x+1).
3x(2x+1)-2(2x+1)=0.
(2x+1)(3x-2)=0.
2x+1=0,或3x-2=0.
∴x1=- ,x2= .
(2)原方程可变形为(x-4)2-(5-2x)2=0.
［(x-4)+(5-2x)］［(x-4)-(5-2x)］=0.
(1-x)(3x-9)=0.
1-x=0,或3x-9=0.
∴x1=1,x2=3.
四、课堂检测
9.一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数
解：设这个数为x，得
2x2 =7x
因式分解，得 x(2x-7）=0
于是得, x=0, x=7/2
四、课堂检测
2x2 -7x=0
10.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．
解：设小圆形场地的半径为r，
根据题意 ( r + 5 )2×π=2r2π.
因式分解，得
于是得
答：小圆形场地的半径是
四、课堂检测
五、课堂小结
一元二次方程的解法
适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0）
(x+m)2＝n（n ≥ 0）
ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m) （x + n）＝0
六、布置作业
课本P47 习题2.7 第1,2,3题
谢谢