苏科版九年级下册第6章《图形的相似》常用10类模型及典型题学案（无答案）

九年级数学
细心
多思
勤练
图形的相似知识点及常用10类模型与典型题
知识结构
相似三角形的判定：
1．预备定理：平行于三角形一边的直线截其它两边所得的三角形与原三角形相似。
2．判定1：有两个角分别对应相等的两个三角形相似
。
3．判定2：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
4．判定3：有三边对应成比例的两个三角形相似．
相似三角形的性质：
1、相似三角形对应边成比例，对应角相等。
2、相似三角形对应边上高的比、中线的比，对应角角平分线的比等于相似比；相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
位似：
1、两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似，对应顶点连线的交点O叫做位似中心．
2、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比。
《常用10类相似模型》
1.A字型
2.斜A字型
3.
8字型
4.
斜8字型
5.
母子型
6.旋转型(由A字型旋转得到
)
7.双直角型
8.K字型1（一线三垂直型）
9.
K字型2(一线三等角型)
10.
共享型
模型一.A字型
1．如图，已知DE//BC，AD=5，DB=3，BC=12，∠B＝50?，则∠ADE＝
°，DE=
，
_________.
第1题图
第2题图
2．如图,AB是斜靠在墙上的长梯,梯脚B距墙脚1.6m,梯上点D距墙1.4m,BD长0.55m则梯子的长为(
)
A.3.85m
B.4.00m
C.4.40m
D.4.50m
3.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，
高AD=80mm，
要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，若这个矩形的长PN是宽PQ的2倍，求长、宽各是多少？
练习
1.
如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，则(　　)
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
第1题
　
第2题　
　
2.
如图，在△ABC中，点D，F，E分别在边AB，AC，BC上，且DF∥BC，EF∥AB.若AD＝2BD，则的值为________．
3.如图．在□ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE.
EF与CD交于点G.
（1）求证：BD∥EF
.
（2）若,BE=4,求EC的长.
4.
如图，已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF.
求证：(1)四边形ABCD是平行四边形；
(2)OA2＝OE·OF.
模型二:斜A字型
1.如图，已知点E在AB上，若点D在AC上，DE不与BC平行，则满足条件
，就可以使△ADE与原△ABC相似.
第1题
　
第2题　
第3题
2.如图，已知△ADE∽△ABC，若∠ADE＝37°，则∠B＝________°.
3.如图，在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点E，使A、D、E三点为顶点组成的三角形与△ABC相似，则AE的长是(
)
A.
16
B.
14
C.
16或14
D.
16或9
3.如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，求D点运动的时间．
4．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交DE，BC于点F，G，且=．
（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若=，求的值．
模型三．8字型
1．如图，已知与相交于点，AB=4,CD=8,AD=12，，则PD的长等于______.
第1题
　
第2题　
第3题
2.如图，□ABCD，E在CD延长线上，AB＝10，DE＝8，EF＝12，则BF的长为_______.
3.如图，已知在平行四边形ABCD中，E为AB边的中点，AF=DF,
FE与AC相交于G，
则AG:AC=_____
练习
1．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，已知AB＝4，CD＝3，OD＝2，那么线段OA的长为________．
第1题
　
第2题　　　
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝，点E在对角线BD上，且BE＝1.8，连接AE并延长交DC于点F，则＝________．
3．
如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E.求AE的长．
模型四:斜8字型
1.如图，四边形的对角线相交于点，∠DAO=∠CBO,求证：
(1)△AOD∽△BOC；(2)△AOB∽△DOC.
2.如图，在△ABC中，AB=AC,以AC为边在△ABC外作等边△ACD，点E在BC边上（不与点B、C重合），点F在BC延长线上，∠AED=∠F=60?，DE交AC于G，
（1）求证：△DEF是等边三角形；（2）若BE=8，CE：CF=3:5，求DG的长度.
模型五:母子型
例1.如图，点D在AB上，当∠B＝∠
时，△ACD∽△ABC.
例2.已知:如图,ΔABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC,求证:①ΔABC∽△ADB；②AB2=AC·AD；③?AB·BC=AC?·CD.
例3．如图，已知ΔABC中，D是BC上一点，BD=10，DC=8，∠B＝∠DAC
，E为AB上一点，DE//AC，求AC和DE的长．
例4：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．
求证：．
例5：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上,
．
求证：（1）；
（2）．
例6：已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．
求证：．
相关练习：
1、如图，已知AD为Rt△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：．
2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。
求证：(1)△AME∽△NMD;
(2)ND=NC·NB
3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。求证：EB·DF=AE·DB
4.在中，AB=AC，高AD与BE交于H，，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。求证：
5．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．
（1）求证：AE=2PE；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．
模型六．旋转型：
1．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．
2.如图，设，则吗？说明理由.
模型七．双直角型：
1.如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是BC上的高，由三角形相似容易得到如下
结论：1.CD2=_________，
2.AC2=________，
3.BC2=______.
2.
如图,
在Rt△ABC中,
∠ACB=90°,CD⊥AB于D，
若AD=4，BD=1，则CD=（
）
A.2
B.4
C.
D.3
3.如图,
在中,，于，若BD=4,BC=6，则AB=_____.
4.如图,
在中,，于，若BD=2,BA=8，则BC=_____.
5.如图,已知△ABC中,∠B=90°,BC=3，AB=4,D是边AB上一点，DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若△A′EC是直角三角形，求AD长.
练习
1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高
求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED
2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE=6，求：点B到直线AC的距离。
模型八．K字型1（三垂直型）
例1.如图，C是线段BD上的一点，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥EC，求证：ΔABC∽ΔCDE.
例2．如图，已知l1∥l2∥l3，且相邻两平行线间的距离相等，矩形ABCD的四个顶点在l1、l2、l3上，过B作EF⊥l2，分别交l1、l3于E、F，若AE=2，FC=8，则l1与l2之间的距离是______.
例3.如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5，相邻两条平行直线间的距离相等且为1，如果四边形ABCD的四个顶点在平行直线上，∠BAD=90°且AB=2AD，DC⊥l4，四边形ABCD面积是______.
例4.已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作，交边AB于点E,设，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围.
例5、在中，是AB上的一点，且，点P是AC上的一个动点，交线段BC于点Q，（不与点B,C重合），设，试求关于x的函数关系，并写出定义域。
【练习】
1.
在直角中，，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，交射线AC于点F
（1）、求AC和BC的长
（2）、当时，求BE的长。
（3）、连结EF,当和相似时，求BE的长。
2.
在直角三角形ABC中，是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，（与A,C不重合），与射线BC相交于点F.
(1)、当点D是边AB的中点时，求证：
(2)、当，求的值
（3）、当，设,求y关于x的函数关系式，并写出定义域
3.
如图，在中，，，，是边的中点，为边上的一个动点，作，交射线于点．设，的面积为．
（1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）如果以、、为顶点的三角形与相似，求的面积.
4、如图,在梯形中，,
，是腰上一个动点(不含点、),作交于点.(图1)
(1)求的长与梯形的面积；
(2)当时,求的长；(图2)
(3)设,试求关于的函数解析式,并写出定义域.
（图1）
（图2）
模型九.
K字型2(一线三等角型)
1.如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°,（1）求证：△BDE∽△CFD；
（2）当BD=1，FC=3时，求BE.
2.如图，在△ABC中，，，是边上的一个动点，点在边上，且．
(1)
求证：△ABD∽△DCE；
(2)
如果，，求与的函数解析式，并写出自变量的定义域；
(3)
当点是的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由．
3.如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC，CB∥OA，OA=7，AB=OC=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，点P不与点0、点A重合．连接CP，过点P作PD交AB于点D．
（1）求点B的坐标；
（2）当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；
（3）当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且，求这时点P的坐标．
4：已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．
（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．
①求证；△ABP∽△DPC
②求AP的长．
（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么
①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当CE＝1时，写出AP的长．
5：如图，在四边形中，∥，，．点为边的中点，以为顶点作，射线交腰于点，射线交腰于点，连接．
（1）求证：△∽△；
（2）若△是以为腰的等腰三角形，求的长；
（3）若，求的长．
相关练习：
1、如图，在△ABC中，，，是边上的一个动点，点在边上，且．
(1)
求证：△ABD∽△DCE；
(2)
如果，，求与的函数解析式，并写出自变量的定义域；
(3)
当点是的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由．
2、如图，已知在△ABC中，
AB=AC=6，BC=5，D是AB
上一点，BD=2，E是BC
上一动点，联结DE，并作，射线EF交线段AC于F．
（1）求证：△DBE∽△ECF；
（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；
（3）连接DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．
3、已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC
=6，AB=DC=4，点E是AB的中点．
（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD；
（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么
①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=，DF=，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当时，求BP的长．
4、如图，已知边长为3的等边，点在边上，，点是射线上一动点，以线段为边向右侧作等边，直线交直线于点，
（1）写出图中与相似的三角形；
（2）证明其中一对三角形相似；
（3）设，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（4）若，试求的面积．
模型十.
共享型
1、△ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,∠DAE=120°，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.
2、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．
求证：（1）△ABE∽△ACD；
（2）．
练习
1.如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若AD＝3，AB＝5，求的值．
2.
在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′的位置．如图，若△AOB为任意三角形且∠AOB＝θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB＝θ是否成立，请说明理由．
性质
对应角相等，对应边成比例
１．两角对应相等；
２．两边对应成比例，且夹角相等；
３．三边对应成比例．
位似
成比例的线段
比例的性质
图形相似
三角形相似
应用
黄金分割
判定
A
C
D
E
B
A
C
B
P
D
E
Q
P
D
C
B
A
Q
P
D
C
B
A
A
B
C
D
E
C
D
A
B
P
A
B
C
D
E
E
D
C
B
A
（备用图）
E
D
C
B
A
P
一
份
汗
水
一
分
收
获，付
出
才
有
回
报
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