11.2
与三角形有关的角
学习要求
经历探索三角形三个内角的0和是的过程，并能说明期中的道理，体会思考问题的方法。
探索三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的关系，并利用三角形内角和等于及有关外角的结论，求角的度数。
初步体会转化的数学思想，并感受数学中的推理论证。
知识点一：三角形的内角定理
（1）定义：三角形内角是三角形三边的夹角;每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于且小于180°.
（2）性质：三角形内角和是180°；
（3）符号语言：中，
（4）主要用在求三角形中角的度数：
①直接根据两已知角求第三个角；
②依据三角形中三个内角的关系，用代数方法求三个角；
③求一个三角形中各角之间的关系.
【例题1】
1.．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．钝角或直角三角形
2．若三角形三个内角度数比为2：3：5，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
【练习】
1.△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足∠A：∠B：∠C=1：2：3，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形
2．一个三角形的三内角的度数的比为1：1：2，则此三角形（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
知识点二：直角三角形的性质与判定
直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形可以用符号表示，直角三角形可以写成.
有两个内角互余的三角形是直角三角形。
【例题2】
1．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则此三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【练习】
1.在△ABC中，已知∠A=30°，∠B=60°，则∠C=
．
2．在Rt△ABC中，锐角∠A=35°，则另一个锐角∠B=
．
3．若直角三角形的一个锐角为36°，则另一个锐角的度数为
．
4．直角三角形两个锐角度数比是1：2，则两个锐角的度数分别是
、
．
5．在△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，则∠B=
．
6．直角三角形的一个锐角为42°，另一个锐角为
．
知识点三：表示方位的角
方位角是指以南北方向为准，向两边偏的角度大小，即“南偏东”“南偏西”“北偏东”“北偏西”，我们通常把南偏东称为东南方向，北偏西称为西北方向。
【例题3】
如图所示，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，那么在灯塔A处观看B和C时的视角∠BAC是多少度？
【练习】
1.如图所示，有一艘渔船上午9点在A处沿正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，行驶2h到达B处，在B处测得灯塔C，在北偏东15°方向上，试求△ABC内角的度数．
知识点四：三角形的外角
定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
注意：三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对.
三角形外角的特点：
①顶点在三角形的一个顶点上；
②一条边是三角形的一边；
③另一条边是三角形某条边的延长线.
三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°.
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
【例题1】
1．如图所示，∠A=50°，∠B=20°，∠D=30°，则∠BCD的度数为（ ）
A．80°
B．100°
C．120°
D．140°
2．一副三角板有两个三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ）
A．120°
B．135°
C．150°
D．165°
【练习】
1．在△ABC中，∠A=35°，∠B=72°，则与∠C相邻的外角为
．
2．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A=44°，∠1=57°，则∠2=
．
3．在△ABC中，∠A=25°，∠C=45°，则与∠B相邻的外角的度数为
．
4．在△ABC中，∠A=25°，∠C=45°，则与∠B相邻的外角的度数为
．
拓展点一
三角形内角和的定理的应用
【例题】
1．如图，在△ABC中，点D在边BA的延长线上，∠ABC的平分线和∠DAC的平分线相交于点M，若∠BAC=80°，∠C=60°，则∠M的大小为（ ）
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
2．如图，△ABC中，点D在BA的延长线上，DE∥BC，如果∠BAC=80°，∠C=33°，那么∠BDE的度数是 113° ．
【练习】
1.已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B+∠C=2∠A，则此三角形（ ）
A．一定有一个内角为45°
B．一定有一个内角为60°
C．一定是直角三角形
D．一定是钝角三角形
2．在△ABC中，∠A=∠B+∠C，∠B=2∠C﹣6°，则∠C的度数为（ ）
A．90°
B．58°
C．54°
D．32°
3.如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1=
．
4.如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上DE∥BC，点B、C、F在一条直线上，若∠ACF=140°，∠ADE=105°，则∠A的大小为（ ）
A．75°
B．50°
C．35°
D．30°
拓展点二
三角形外角性质的应用
【例题】
1.如图，七星形中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=
．
2．把一副三角板按如图所示的方式摆放，则两条斜边所成的钝角x为
度．
【练习】
1．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠BCD=100°，CE平分∠ACB，则∠A=
度，∠ACE=
度．
拓展点三
三角形内（外）角平分线夹角
【例题】
1.如图，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，若∠A=42°，则∠E=
°．
【练习】
1．如图，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD是∠BAC的平分线，DE平分∠ADC交AC于E，则∠BDE=
．
2．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）
A．59°
B．60°
C．56°
D．22°
拓展点四
直角三角形的性质与角平分线的综合
【例题】
1．直角三角形两锐角平分线相交所成的钝角的度数是
．
【练习】
1．直角三角形两锐角的平分线相交得到的钝角为（ ）
A．
B．
C．
D．或
拓展点五
利用三角形内角和定理及外角性质解决实际应用题
1．如图△ABC中，∠A：∠B=1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD=75°，则∠D=
．
【练习】
1．如图，在△ABC中，点D在边BA的延长线上，∠ABC的平分线和∠DAC的平分线相交于点M，若∠BAC=80°，∠C=60°，则∠M的大小为（ ）
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
2．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：
（1）图1中的∠ABC的度数为 75° ．
（2）图2中已知AE∥BC，则∠AFD的度数为 75° ．11.2
与三角形有关的角
学习要求
经历探索三角形三个内角的0和是的过程，并能说明期中的道理，体会思考问题的方法。
探索三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的关系，并利用三角形内角和等于及有关外角的结论，求角的度数。
初步体会转化的数学思想，并感受数学中的推理论证。
知识点一：三角形的内角定理
（1）定义：三角形内角是三角形三边的夹角;每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于且小于180°.
（2）性质：三角形内角和是180°；
（3）符号语言：中，
（4）主要用在求三角形中角的度数：
①直接根据两已知角求第三个角；
②依据三角形中三个内角的关系，用代数方法求三个角；
③求一个三角形中各角之间的关系.
【例题1】
1.．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．钝角或直角三角形
【分析】利用“设k法”求出最大角的度数，然后作出判断即可．
【解答】解：设三个内角分别为2k、3k、4k，
则2k+3k+4k=180°，
解得k=20°，
所以，最大的角为4×20°=80°，
所以，三角形是锐角三角形．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，利用“设k法”表示出三个内角求解更加简便．
2．若三角形三个内角度数比为2：3：5，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
【分析】若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，可求出三个内角分别是36°，54°，90°．则这个三角形一定是直角三角形．
【解答】解：设三角分别为2x，3x，5x，
依题意得2x+3x+5x=180°，
解得x=18°．
故三角36°，54°，90°．
所以这个三角形一定是直角三角形，
故选：B．
【练习】
1.△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足∠A：∠B：∠C=1：2：3，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形
【分析】根据比例设∠A、∠B、∠C分别为k、2k、3k，然后利用三角形的内角和等于180°列式求出k值，再求出最大的角∠C的度数，即可判断．
【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，
∴设∠A、∠B、∠C分别为k、2k、3k，
由题意得，k+2k+3k=180°，
解得k=30°，
∠C=3×30°=90°，
∴这个三角形是直角三角形．
故选：C．
【点评】本题考查三角形的内角和定理：三角形内角和是180°．利用“设k法”求解更加简便
2．一个三角形的三内角的度数的比为1：1：2，则此三角形（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【分析】设这三个内角度数分别为x、x、2x，根据三角形内角和定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：设这三个内角度数分别为x、x、2x，则
x+x+2x=180°，
解得x=45°，
∴2x=90°，
∴这个三角形是等腰直角三角形，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
知识点二：直角三角形的性质与判定
直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形可以用符号表示，直角三角形可以写成.
有两个内角互余的三角形是直角三角形。
【例题2】
1．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则此三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【分析】用∠A表示出∠B、∠C，然后利用三角形的内角和等于180°列方程求解即可．
【解答】解：∵∠A=∠B=∠C，
∴∠B=2∠A，∠C=3∠A，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+2∠A+3∠A=180°，
解得∠A=30°，
所以，∠B=2×30°=60°，
∠C=3×30°=90°，
所以，此三角形是直角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟记定理并用∠A列出方程是解题的关键．
【练习】
1.在△ABC中，已知∠A=30°，∠B=60°，则∠C= 90° ．
【分析】根据三角形的内角和定理得出∠C=180°﹣∠A﹣∠B，代入求出即可．
【解答】解：∵∠A=30°，∠B=60°，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=90°，
故答案为：90°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理的应用，注意：三角形的内角和等于180°．
2．在Rt△ABC中，锐角∠A=35°，则另一个锐角∠B= 55° ．
【分析】根据在直角三角形中两个锐角互余即可得出答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，锐角∠A=35°，
∴另一个锐角∠B=90°﹣35°=55°，
故答案为：55°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，属于基础题，主要掌握直角三角形中两个锐角互余．
3．若直角三角形的一个锐角为36°，则另一个锐角的度数为 54° ．
【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【解答】解：90°﹣36°=54°．
故答案为：54°．
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，是基础题．
4．直角三角形两个锐角度数比是1：2，则两个锐角的度数分别是 30° 、 60° ．
【分析】设两锐角的度数为x°，2x°，根据直角三角形的两个锐角互余得出x+2x=90，求出即可．
【解答】解：设两锐角的度数为x°，2x°，
则x+2x=90，
解得：x=30，2x=60，
故答案为：30°，60°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质的应用，注意：直角三角形的两个锐角互余．
5．在△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，则∠B= 40° ．
【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠C=90°，∠A=50°，
∴∠B=90°﹣∠A=90°﹣50°=40°．
故答案为：40°．
【点评】本题直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．
6．直角三角形的一个锐角为42°，另一个锐角为 48° ．
【分析】直角三角形的两个锐角互余，根据以上内容得出当直角三角形的一个锐角为42°时，另一个锐角为90°﹣42°，求出即可．
【解答】解：∵直角三角形的两个锐角互余，
∴当直角三角形的一个锐角为42°时，另一个锐角为90°﹣42°=48°，
故答案为：48°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理的应用，注意：三角形的内角和等于180°，直角三角形的两锐角互余．
知识点三：表示方位的角
方位角是指以南北方向为准，向两边偏的角度大小，即“南偏东”“南偏西”“北偏东”“北偏西”，我们通常把南偏东称为东南方向，北偏西称为西北方向。
【例题3】
如图所示，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，那么在灯塔A处观看B和C时的视角∠BAC是多少度？
【分析】先根据方向角的定义和已知求出∠ABC和∠BCA的度数，再利用三角形的内角和定理即可求出∠BAC的度数．
【解答】解：依题意，得?∠DBA=60°，∠FCA=40°
∴
∠ABC=∠DBC-∠DBA
=90°-60°=30°
∠BCA=∠BCF+∠FCA=90°+40°=130°
∴
在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠BCA?=180°-30°-130°=20°
答：在灯塔A处观看B和C时的视角∠BAC是20°
【练习】
1.如图所示，有一艘渔船上午9点在A处沿正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，行驶2h到达B处，在B处测得灯塔C，在北偏东15°方向上，试求△ABC内角的度数．
【分析】根据三角形的内角和定理得出∠C=180°﹣∠A﹣∠B，代入求出即可．
【解答】解：∵∠CAB=90°-60°=30°，∠ABC=90°+15°=105°，
∴∠C=180°-∠CAB-∠CBA=45°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理的应用，注意：三角形的内角和等于180°．
知识点四：三角形的外角
定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
注意：三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对.
三角形外角的特点：
①顶点在三角形的一个顶点上；
②一条边是三角形的一边；
③另一条边是三角形某条边的延长线.
三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°.
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
【例题1】
1．如图所示，∠A=50°，∠B=20°，∠D=30°，则∠BCD的度数为（ ）
A．80°
B．100°
C．120°
D．140°
【分析】延长BC交AD于点E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和先求出∠CED的度数，再次利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出∠BCD的度数．
【解答】解：如图所示，延长BC交AD于点E，
∵∠A=50°，∠B=20°，
∴∠CED=∠A+∠B=50°+20°=70°，
∴∠BCD=∠CED+∠D=70°+30°=100°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作出辅助线是解题的关键．
2．一副三角板有两个三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ）
A．120°
B．135°
C．150°
D．165°
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠1，然后求出∠α即可．
【解答】解：如图，由三角形的外角性质得，∠1=45°+90°=135°，
∠α=∠1+30°=135°+30°=165°．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角板的知识，熟记性质是解题的关键．
【练习】
1．在△ABC中，∠A=35°，∠B=72°，则与∠C相邻的外角为 107° ．
【分析】根据三角形内角与外角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得答案．
【解答】解：如图：
∵∠1=∠A+∠B，∠A=35°，∠B=72°，
∴∠1=35°+72°=107°，
故答案为：107°．
【点评】此题主要考查了三角形内角与外角的关系，关键是掌握三角形内角与外角的关系定理．
2．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A=44°，∠1=57°，则∠2= 101° ．
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠B=∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠B=∠1=57°，
由三角形的外角性质得，∠2=∠A+∠B=44°+57°=101°．
故答案为：101°．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
3．在△ABC中，∠A=25°，∠C=45°，则与∠B相邻的外角的度数为 70° ．
【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，根据三角形外角性质求解即可．
【解答】解：与∠B相邻的外角的度数=∠A+∠C=25°+45°=70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查三角形外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
4．在△ABC中，∠A=25°，∠C=45°，则与∠B相邻的外角的度数为 70° ．
【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，根据三角形外角性质求解即可．
【解答】解：与∠B相邻的外角的度数=∠A+∠C=25°+45°=70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查三角形外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
拓展点一
三角形内角和的定理的应用
【例题】
1．如图，在△ABC中，点D在边BA的延长线上，∠ABC的平分线和∠DAC的平分线相交于点M，若∠BAC=80°，∠C=60°，则∠M的大小为（ ）
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠ABC=40°，再根据角平分线的定义求出∠ABM，∠CAM，然后利用三角形的内角和定理求出∠M即可．
【解答】解：∵∠BAC=80°，∠C=60°，
∴∠ABC=40°，
∵∠ABC的平分线和∠DAC的平分线相交于点M，
∴∠ABM=20°，∠CAM=，
∴∠M=180°﹣20°﹣50°﹣80°=30°，
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题的关键．
2．如图，△ABC中，点D在BA的延长线上，DE∥BC，如果∠BAC=80°，∠C=33°，那么∠BDE的度数是 113° ．
【分析】先根据三角形内角和定理，得出∠B，再根据平行线的性质，即可得到∠BDE的度数．
【解答】解：∵∠BAC=80°，∠C=33°，
∴△ABC中，∠B=67°，
∵DE∥BC，
∴∠BDE=180°﹣∠B=180°﹣67°=113°，
故答案为：113°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
【练习】
1.已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B+∠C=2∠A，则此三角形（ ）
A．一定有一个内角为45°
B．一定有一个内角为60°
C．一定是直角三角形
D．一定是钝角三角形
【分析】利用三角形的内角和定理即可得出结论．
【解答】解：在△ABC中，∠B+∠C=2∠A，
∴∠A+2∠A=180°，
∴∠A=60°，
故选：B．
【点评】此题是三角形内角和定理，解本题的关键是熟记三角形的内角和定理，能灵活运用．
2．在△ABC中，∠A=∠B+∠C，∠B=2∠C﹣6°，则∠C的度数为（ ）
A．90°
B．58°
C．54°
D．32°
【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠A=90°，从而得到∠B、∠C互余，然后用∠C表示出∠B，再列方程求解即可．
【解答】解：∵∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠B=90°﹣∠C，
∵∠B=2∠C﹣6°，
∴90°﹣∠C=2∠C﹣6°，
∴∠C=32°．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟记定理并求出∠A的度数是解题的关键．
3.如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1= 105° ．
【分析】由三角形的内角和为180°即可得出∠2+∠3+45°=180°结合∠2=30°即可求出∠3的度数，再由∠1和∠3为对顶角即可得出∠1的度数．
【解答】解：给图中角标上序号，如图所示．
∵∠2+∠3+45°=180°，∠2=30°，
∴∠3=180°﹣30°﹣45°=105°，
∴∠1=∠3=105°．
故答案为：105°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是利用三角形的内角和为180°求出∠3的度数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角形的内角和以及另外两角的度数求出第三个角的度数是关键．
4.如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上DE∥BC，点B、C、F在一条直线上，若∠ACF=140°，∠ADE=105°，则∠A的大小为（ ）
A．75°
B．50°
C．35°
D．30°
【分析】根据平行线的性质得出∠DEC=140°，进而利用三角形内角和解答即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠DEC=∠ACF=140°，
∴∠AED=180°﹣140°=40°，
∵∠ADE=105°，
∴∠A=180°﹣105°﹣40°=35°，
故选：C．
【点评】此题考查三角形内角和，关键是根据平行线的性质得出∠DEC=140°．
拓展点二
三角形外角性质的应用
【例题】
1.如图，七星形中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= 180° ．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答即可．
【解答】解：由三角形的外角性质得，∠1=∠B+∠F+∠C+∠G，
∠2=∠A+∠D，
由三角形的内角和定理得，∠1+∠2+∠E=180°，
所以，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°．
故答案为：180°．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
2．把一副三角板按如图所示的方式摆放，则两条斜边所成的钝角x为 165 度．
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和先求出∠1的度数，然后即可求出钝角x的度数．
【解答】解：如图，根据三角形的外角性质，
∠1=45°+90°=135°，
∠x=∠1+30°=135°+30°=165°．
故应填165°．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键．
【练习】
1．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠BCD=100°，CE平分∠ACB，则∠A= 60 度，∠ACE= 40 度．
【分析】根据三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和知，∠BCD=∠A+∠B，∠A=∠BCD﹣∠B=100°﹣40°=60°，根据三角形中一个外角与它相邻的内角互补，∠ACB=180°﹣∠BCD=180°﹣100°=80°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠ACB=40°．
【解答】解：∵∠BCD=∠A+∠B，
∴∠A=∠BCD﹣∠B=100°﹣40°=60°，
∴∠ACB=180°﹣∠BCD=180°﹣100°=80°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠ACB=40°．
故答案为：60，40．
【点评】本题利用了：①三角形中一个外角与它相邻的内角互补；②三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
拓展点三
三角形内（外）角平分线夹角
【例题】
1.如图，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，若∠A=42°，则∠E= 21 °．
【分析】根据角平分线的定义得到∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD，根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，
∴∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD，
∴∠E=∠ECD﹣∠EBC=∠ACD﹣∠ABC=A=21°，
故答案为：21．
【点评】本题考查的是三角形的外角的性质、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
【练习】
1．如图，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD是∠BAC的平分线，DE平分∠ADC交AC于E，则∠BDE= 132° ．
【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出∠BAD的度数，再根据三角形外角性质和角平分线的定义求出∠CDE，然后根据平角定义即可求出∠BDE的度数．
【解答】解：∵∠B=66°，∠C=54°，
∴∠BAC=180°﹣66°﹣54°=60°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠BAC=30°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=66°+30°=96°，
∵DE平分∠ADC交AC于E，
∴∠CDE=∠ADC=48°，
∴∠BDE=180°﹣48°=132°．
【点评】本题主要考查三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质和角平分线的定义，熟练掌握性质和定理是解题的关键
2．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）
A．59°
B．60°
C．56°
D．22°
【分析】根据高线的定义可得∠AEC=90°，然后根据∠C=70°，∠ABC=48°求出∠CAB，再根据角平分线的定义求出∠1，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵BE为△ABC的高，
∴∠AEB=90°
∵∠C=70°，∠ABC=48°，
∴∠CAB=62°，
∵AF是角平分线，
∴∠1=∠CAB=31°，
在△AEF中，∠EFA=180°﹣31°﹣90°=59°．
∴∠3=∠EFA=59°，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念与定理并准确识图是解题的关键．
拓展点四
直角三角形的性质与角平分线的综合
【例题】
1．直角三角形两锐角平分线相交所成的钝角的度数是 135° ．
【分析】本题可根据直角三角形内角的性质和三角形内角和为180°进行求解．
【解答】解：如图：∵AE、BD是直角三角形中两锐角平分线，
∴∠OAB+∠OBA=90°÷2=45°，
两角平分线组成的角有两个：∠BOE与∠EOD这两个交互补，
根据三角形外角和定理，∠BOE=∠OAB+∠OBA=45°，
∴∠EOD=180°﹣45°=135°，
故答案为：135°．
【点评】本题考查直角三角形内角的性质及三角形内角和，弄清题意即可．
【练习】
1．直角三角形两锐角的平分线相交得到的钝角为（ ）
A．
B．C．D．或
【分析】本题可根据直角三角形内角的性质和三角形内角和为180°进行求解．
【解答】解：直角三角形中，两锐角三角形度数和为90°，则两锐角的各一半度数和为45°，
根据三角形内角和为180°，可得钝角度数为135°，
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形内角的性质及三角形内角和，属于基础题，弄清题意即可．
拓展点五
利用三角形内角和定理及外角性质解决实际应用题
1．如图△ABC中，∠A：∠B=1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD=75°，则∠D= 40° ．
【分析】先根据∠FCD=60°及三角形内角与外角的性质及∠A：∠B=1：2可求出∠A的度数，再由DE⊥AB及三角形内角和定理解答可求出∠AFE的度数，再根据三角形内角和定理即可求出答案．
【解答】解：∵∠FCD=75°，
∴∠A+∠B=75°，
∵∠A：∠B=1：2，
∴∠A=×75°=25°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠AFE=90°﹣∠A=90°﹣25°=65°，
∴∠CFD=∠AFE=65°，
∵∠FCD=75°，
∴∠D=180°﹣∠CFD﹣∠FCD=180°﹣65°﹣75°=40°．
故答案为：40°
【点评】本题考查了直角三角形的性质，垂直定义，三角形内角和定理，三角形外角性质的应用，关键是求出∠DFC的度数．
【练习】
1．如图，在△ABC中，点D在边BA的延长线上，∠ABC的平分线和∠DAC的平分线相交于点M，若∠BAC=80°，∠C=60°，则∠M的大小为（ ）
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠ABC=40°，再根据角平分线的定义求出∠ABM，∠CAM，然后利用三角形的内角和定理求出∠M即可．
【解答】解：∵∠BAC=80°，∠C=60°，
∴∠ABC=40°，
∵∠ABC的平分线和∠DAC的平分线相交于点M，
∴∠ABM=20°，∠CAM=，
∴∠M=180°﹣20°﹣50°﹣80°=30°，
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题的关键．
2．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：
（1）图1中的∠ABC的度数为 75° ．
（2）图2中已知AE∥BC，则∠AFD的度数为 75° ．
【分析】（1）由∠F=30°，∠EAC=45°，即可求得∠ABF的度数，又由∠FBC=90°，易得∠ABC的度数；
（2）首先根据三角形内角和为180°，求得∠C的度数，又由AE∥BC，即可求得∠CAE的值，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得∠AFD的度数．
【解答】解：（1）∵∠F=30°，∠EAC=45°，
∴∠ABF=∠EAC﹣∠F=45°﹣30°=15°，
∵∠FBC=90°，
∴∠ABC=∠FBC﹣∠ABF=90°﹣15°=75°；
∵∠B=60°，∠BAC=90°，
∴∠C=30°，
∵AE∥BC，
∴∠CAE=∠C=30°，
∴∠AFD=∠CAE+∠E=30°+45°=75°．
故答案为：75°，75°．
【点评】此题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质以及平行线的性质等知识，注意数形结合思想的应用．
