.2
三角形全等的判定
教学目标：
1、理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”
2、理解和掌握全等三角形判定方法2——“边角边”．
3、理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”，判定方法4——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．
4、掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法一“斜边、直角边”
（即“HL”）
教学重难点：判定全等的思路，及全等判定和性质的综合应用
知识点一：“SSS”定理（重点）
判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．
例题．如图，EF=BC，DF=AC，DA=EB．求证：∠F=∠C．
【分析】欲证明∠F=∠C，只要证明△ABC≌△DEF（SSS）即可；
【解答】证明：∵DA=BE，
∴DE=AB，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠C=∠F．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考基础题目．
变式1．已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥BF．
【分析】可证明△ACE≌△BDF，得出∠A=∠B，即可得出AE∥BF；
【解答】证明：∵AD=BC，∴AC=BD，
在△ACE和△BDF中，，
∴△ACE≌△BDF（SSS）
∴∠A=∠B，
∴AE∥BF；
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质以及平行线的判定问题，关键是SSS证明△ACE≌△BDF．
变式2．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别为两腰AB，AC的中点，F，G是BC边上的两点，且BF=CG，连结DG，EF，交点为H，求证：HF=HG．
【分析】欲证明HF=HG，只要证明∠HGF=∠HFG．
【解答】证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵D，E分别为两腰AB，AC的中点，
∴BD=CE，
∵BF=CG，
∴BG=CF，
∴△DBG≌△ECF，
∴∠DGB=∠EFC，
∴HF=HG．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，准确寻找全等三角形解决问题，所以中考常考题型．
知识点二：“SAS”定理（重点）
判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
例题．如图，点B，D，C，F在一条直线上，AB=EF，∠ABC=∠EFD，BD=CF．
证明：AC=DE．
【分析】先求出BC=FD，再利用“边角边”证明△ABC和△EFD全等，然后根据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】证明：∵BD=CF，
∴BD+CD=CF+CD，
即BC=FD，
在△ABC和△EFD中，，
∴△ABC≌△EFD（SAS），
∴AC=DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，要注意条件BD=CF的应用．
变式1．如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC．
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE=30°，则∠ADC= 75 °．
【分析】（1）要证明△ABE≌△ACF，由题意可得AB=AC，∠B=∠ACF，BE=CF，从而可以证明结论成立；
（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质可以求得∠ADC的度数．
【解答】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，
∴∠BAE=∠CAF=30°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴∠ADC==75°，
故答案为：75．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
变式2．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB=AC，点E是BD上一点，且AE=AD，∠EAD=∠BAC．
（1）求证：∠ABD=∠ACD；
（2）若∠ACB=65°，求∠BDC的度数．
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质证明即可；
（2）利用三角形的外角性质和三角形的内角和解答即可．
【解答】证明：（1）∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAC﹣∠EAC=∠EAD﹣∠EAC
即：∠BAE=∠CAD
在△ABE和△ACD中
∴△ABE≌△ACD
∴∠ABD=∠ACD
（2）∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角
∴∠BOC=∠ABD+∠BAC，∠BOC=∠ACD+∠BDC
∴∠ABD+∠BAC=∠ACD+∠BDC
∵∠ABD=∠ACD
∴∠BAC=∠BDC
∵∠ACB=65°，AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=65°
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣65°﹣65°=50°
∴∠BDC=∠BAC=50°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定和性质是解题的关键，也是本题的难点．
知识点三：“ASA”定理（重难点）
判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
例题．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2．
求证：BC=DE．
【分析】根据ASA证明△ADE≌△ABC；
【解答】证明：（1）∵∠1=∠2，
∵∠DAC+∠1=∠2+∠DAC
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ADE≌△ABC（ASA）
∴BC=DE，
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等
变式1．如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．求证：AD与BE互相平分．
【分析】连接BD，AE，判定△ABC≌△DEF（ASA），可得AB=DE，依据AB∥DE，即可得出四边形ABDE是平行四边形，进而得到AD与BE互相平分．
【解答】证明：如图，连接BD，AE，
∵FB=CE，
∴BC=EF，
又∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB=DE，
又∵AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AD与BE互相平分．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，解决问题的关键是依据全等三角形的对应边相等得出结论．
变式2．如图，已知：AD是BC上的中线，BE∥CF．求证：DF=DE．
【分析】根据平行线性质得出∠FCD=∠EBD，由BD=DC，∠CDF=∠BDE，根据ASA推出△CDF≌△BDE，即可得出结论．
【解答】证明：CF∥BE，
∴∠FCD=∠EBD，
∵AD是BC上的中线，
∴BD=DC，
在△CDF和△BDE中，
，
∴△CDF≌△BDE（ASA），
∴DF=DE．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点，解题时注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
知识点四：“AAS”定理（重难点）
判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
例题．如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，求证：AD=CF．
【分析】根据平行线性质求出∠A=∠FCE，根据AAS推出△ADE≌△CFE即可．
【解答】证明：∵FC∥AB，
∴∠A=∠FCE，
在△ADE和△CFE中
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD=CF．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定和平行线的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等．
变式1．如图所示，已知BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF相交于点，BD=CD，连接AD并延长，求证：AD平分∠BAC．
【分析】利用“角角边”证明△BFD和△CED全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=DE，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．
【解答】证明：∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BFD=∠CED=90°，
在△BFD和△CED中，，
∴△BFD≌△CED（AAS），
∴DF=DE，
又∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴AD平分∠BAC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
变式2．如图，四边形ABCD中，DC∥AB，BD⊥AD，∠A=45°，E，F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．
（1）求证：BO=DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AE的长．
【分析】（1）通过证明△ODF与△OBE全等即可求得．
（2）由△ADB是等腰直角三角形，得出∠A=45°，因为EF⊥AB，得出∠G=45°，所以△ODG与△DFG都是等腰直角三角形，从而求得DG的长和EF=2，然后解答即可求得．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，DC∥AB，
∴∠ODF=∠OBE，
在△ODF与△OBE中
，
∴△ODF≌△OBE（AAS）
∴BO=DO；
（2）∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∵∠A=45°，
∴∠DBA=∠A=45°，
∵EF⊥AB，
∴∠G=∠A=45°，
∴△ODG是等腰直角三角形，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴DF⊥OG，
∴OF=FG，△DFG是等腰直角三角形，
∵△ODF≌△OBE（AAS）
∴OE=OF，
∴GF=OF=OE=1，
即2FG=EF，
∵△DFG是等腰直角三角形，
∴DF=FG=1，
∴GE=OE+OF+FG=3，
∴AE=GE=3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质以及平行线分行段定理．
知识点五：“HL”定理（重难点）
判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
例题．如图所示，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．
【分析】在Rt△ABE和Rt△CBF中，由于AB=CB，AE=CF，利用HL可证Rt△ABE≌Rt△CBF．
【解答】证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∵，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握HL．
变式1．如图，AD⊥BC于D，AD=BD，AC=BE．
（1）请说明∠1=∠C；
（2）猜想并说明DE和DC有何特殊关系．
【分析】欲证∠1=∠C；DE和DC的关系，只需证明△DBE≌△DAC即可．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC于D，
∴∠BDE=∠ADC=90°．
∵AD=BD，AC=BE，
∴△BDE≌△ADC（HL）．
∴∠1=∠C．
（2）由（1）知△BDE≌△ADC．
∴DE=DC．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定及性质；三角形全等的判定和性质是中考的热点，HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
变式2．如图，AB=AC，∠BAC=90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE．
求证：BD=EC+ED．
【分析】由题中AB=AC，以及AB和AC所在三角形为直角三角形，可以判断出应证明△ABD≌△CAE．
【解答】证明：∵∠BAC=90°，CE⊥AE，BD⊥AE，
∴∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∠ADB=∠AEC=90°．
∴∠ABD=∠DAC．
∵在△ABD和△CAE中
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）．
∴BD=AE，EC=AD．
∵AE=AD+DE，
∴BD=EC+ED．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法和性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．得到∠ABD=∠DAC是正确解答本题的关键．
拓展点一：判定三角形全等的思路
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
例题．如图，已知：∠B=∠DEF，BC=EF，现要证明△ABC≌△DEF，
若要以“SAS”为依据，还缺条件 AB=DE ；
若要以“ASA”为依据，还缺条件 ∠ACB=∠DFE ；
若要以“AAS”为依据，还缺条件 ∠A=∠D ，并说明理由．
【分析】由于已知一组对应角相等，一组对应边相等，若利用SAS证全等，那么所需的另一边应该是已知角的夹边相等；若利用ASA证全等，则所需的另一角是以已知边为边的另一个角相等；若利用AAS证全等，所需的另一角是已知边的对角相等．
【解答】解：AB=DE，∠ACB=∠DFE，∠A=∠D．
①若添加条件是AB=DE，利用SAS可证两个三角形全等；
②若添加条件是∠ACB=∠DFE，利用ASA可证两个三角形全等；
③若添加条件是∠A=∠D，利用AAS可证两个三角形全等；
故分别填AB=DE，∠ACB=∠DFE，∠A=∠D．
【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
变式1．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC中点，且AE=CF．求证：△AED≌△CFD．
【分析】根据题目中的条件可以得到AD和CD的关系，∠EAD的度数，从而可以证明结论．
【解答】证明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC中点，
∴AD==BD=CD，∠EAD=∠FCD=45°，
在△AED和△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（SAS）．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是明确题意，找出所证结论需要的条件．
变式2．已知：如图，AC=EC，E、A、D在同一条直线上，∠1=∠2=∠3．试说明：△ABC≌△EDC．
【分析】根据∠1=∠2可得∠ACB=∠ECD，再由∠1=∠3，对顶角∠4=∠5，根据三角形内角和可得∠B=∠D，然后再利用AAS判定△ABC≌△EDC．
【解答】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠ACD=∠2+∠ACD，
∴∠ACB=∠ECD，
∵∠1=∠3，∠4=∠5，
∴∠B=∠D，
在△ABC和△CDE中，，
∴△ABC≌△EDC（AAS）．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
变式3．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，连接CD，过B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，连接AE，过A作AF⊥AE交CD于点F．
（1）求证：AE=AF；
（2）求证：CD=2BE+DE．
【分析】（1）通过证△AEB≌△AFC（SAS），得到AE=AF；
（2）如图，过点A作AG⊥EC，垂足为G，通过证△BED≌△AGD（AAS），得到ED=GD，BE=AG，易证CF=BE=AG=GF．因为CD=DG+GF+FC，所以CD=DE+BE+BE，故CD=2BE+DE．
【解答】证明：（1）如图，∵∠BAC=90°，AF⊥AE，
∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°，
∴∠EAB=∠FAC，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBD+∠EDB=∠ADC+∠ACD=90°，
∵∠EDB=∠ADC，
∴∠EBA=∠ACF，
∴在△AEB与△AFC中，，
∴△AEB≌△AFC（ASA），
∴AE=AF；
（2）如图，过点A作AG⊥EC，垂足为G．
∵AG⊥EC，BE⊥CE，
∴∠BED=∠AGD=90°，
∵点D是AB的中点，
∴BD=AD．
∴在△BED与△AGD中，，
∴△BED≌△AGD（AAS），
∴ED=GD，BE=AG，
∵AE=AF
∴∠AEF=∠AFE=45°
∴∠FAG=45°
∴∠GAF=∠GFA，
∴GA=GF，
∴CF=BE=AG=GF，
∵CD=DG+GF+FC，
∴CD=DE+BE+BE，
∴CD=2BE+DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
拓展点二：全等三角形性质与判断的综合应用
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
例题．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB=AC，点E是BD上一点，且AE=AD，∠EAD=∠BAC．
（1）求证：∠ABD=∠ACD；
（2）若∠ACB=65°，求∠BDC的度数．
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质证明即可；
（2）利用三角形的外角性质和三角形的内角和解答即可．
【解答】证明：（1）∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAC﹣∠EAC=∠EAD﹣∠EAC
即：∠BAE=∠CAD
在△ABE和△ACD中
∴△ABE≌△ACD
∴∠ABD=∠ACD
（2）∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角
∴∠BOC=∠ABD+∠BAC，∠BOC=∠ACD+∠BDC
∴∠ABD+∠BAC=∠ACD+∠BDC
∵∠ABD=∠ACD
∴∠BAC=∠BDC
∵∠ACB=65°，AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=65°
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣65°﹣65°=50°
∴∠BDC=∠BAC=50°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定和性质是解题的关键，也是本题的难点．
变式1．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC．
（1）证明：BC=DE；
（2）若AC=12，CE经过点D，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）求出∠BAC=∠EAD，根据SAS推出△ABC≌△ADE，利用全等三角形的性质证明即可；
（2）由△ABC≌△ADE，推出四边形ABCD的面积=三角形ACE的面积，即可得出答案；
【解答】（1）解：∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，
∴∠BAC=∠EAD．
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
∴BC=DE
（2）∵△ABC≌△ADE，
∴S△ABC=S△ADE，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=S△ADE+S△ACD=S△ACE=×122=72．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，并利用割补法求四边形ABCD的面积是解此题的关键，难度适中．
变式2．已知：如图1所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN经过点A，BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E．
（1）试判断线段DE、BD、CE之间的数量关系，并说明理由；
（2）当直线MN运动到如图2所示位置时，其余条件不变，判断线段DE、BD、CE之间的数量关系．
【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS可证明△ADC≌△CEB（AAS），依据全等三角形的性质可得到AD=CE，CD=BE，然后由ED=DC+CE可得到问题的答案；
（2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，最后由CE=CD+DE可得到问题的答案．
【解答】解：（1）DE=BD+CE，理由如下：
∵BD⊥MN，CE⊥MN，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
在△BAD和△ACE中
∴△BAD≌△ACE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
又DE=AE+AD，
∴DE=BD+CE；
（2）DE=CE﹣BD，
同（1）可得△BAD≌△ACE，
故BD=AE，AD=CE，
又DE=AD﹣AE，
∴DE=CE﹣BD．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键．
拓展点三：全等三角形的计数问题
例题．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，CD、BE分别是∠ACB，∠ABC的平分线，CD、BE相交于F点，连接DE，则图中全等的三角形有多少组（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】首先根据已知条件，看能得出哪些边和角相等，然后再根据全等三角形的判定方法来判断有多少对全等三角形．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°；
∵CD、BE分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABE=∠ACD=∠EBC=∠DCB=36°；
又∵AB=AC，∠A=∠A；
∴△ABE≌△ACD；（ASA）①
∴BE=CD；
又∵BC=BC，∠DCB=∠EBC=36°，
∴△DBC≌△ECB；（SAS）②
∵DE∥BC，
∴∠EDF=∠DEF=36°，
又∵∠DBE=∠ECD=36°，DE=DE，
∴△DEB≌△EDC；（AAS）③
由②得：DB=EC，∠BDC=∠CEB；
又∵∠DFB=∠EFC，
∴△BFD≌△CFE．（AAS）④
∵△ABC中，∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB==72°，
∵BE是∠ABC的平分线，CD是∠ACB的平分线，
∴∠EBC=∠DBE=36°，
∵∠ACB=72°，
∴BE=BC，
∵BC∥DE，
∴∠DEB=∠EBC=36°，
∴△BCF≌△BED，
同理可得，△BCF≌△DCE．
所以本题的全等三角形共6组；
故选：D．
【点评】此题主要考查的是全等三角形的判定方法．做题时根据已知条件，结合全等的判定方法逐一验证，由易到难，不重不漏．
变式1．如图，在△ABC中，AB=AC，高BD，CE交于点O，AO交BC于点F，则图中共有全等三角形（ ）
A．7对
B．6对
C．5对
D．4对
【分析】在△ABC中，AB=AC则三角形是等腰三角形，做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．
【解答】解：∵AB=AC，BD，CE分别是三角形的高，
∴∠AEC=∠ADB=90°，
∴∠ABD=∠ACE，
∴Rt△ABD≌Rt△ACE，
∴CE=BD，
又AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∠ABD=∠ACE，
∴∠BCE=∠CBD，
∴△BCE≌△CBD
同理还有△ABF≌△ACF；△AEO≌△ADO；△ABO≌△ACO；△OBE≌△OCD；△BFO≌△CFO，总共7对．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，做题时要从很容易的找起，由易到难，不重不漏．
变式2．如图，△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，AE=AF，则图中全等三角形的对数有（ ）
A．5对
B．6对
C．7对
D．8对
【分析】三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．做题时要从已知条件开始，结合判定方法对选项逐一验证．
【解答】解：∵△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，
∴BD=CD，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠BAD=∠CAD，
又AE=AF，AO=AO，
∴△AOE≌△AOF，
EO=FO，
进一步证明可得△BOD≌△COD，△BOE≌△COF，△AOB≌△AOC，△ABF≌△ACE，△BCE≌△CBF，共7对．
故选：C．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理．
拓展点四：全等三角形中的计算与推理
例题．如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于D，E为AC上一点，AE=AB，连接DE．
（1）求证：△ABD≌△AED；
（2）已知BD=5，AB=9，求AC长．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，然后利用“边角边”证明即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得AE=AB，DE=BD，全等三角形对应角相等可得∠AED=∠B，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AED=∠C+∠CDE，从而求出∠C=∠CDE，根据等角对等边可得CE=DE，然后根据AC=AE+CE计算即可得解．
【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△AED中，，
∴△ABD≌△AED（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△AED，
∴AE=AB=9，DE=BD=5，∠AED=∠B，
由三角形的外角性质得，∠AED=∠C+∠CDE，
又∵∠ABC=2∠C，
∴∠C=∠CDE，
∴CE=DE=5，
∴AC=AE+CE=9+5=14．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难点在于（2）求出CE=DE．
变式1．如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF．
（1）请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？并证明你的结论．
（2）在（1）的条件下，若AB=6，AC=4，请确定AD的值范围．
【分析】（1）根据题目所给的条件能证明△BED和△CFD全等，所以D是中点；过点B作BG∥AC交AD延长线于点G，
（2）根据三角形第三边大于两边之差小于两边之和，可确定AD的范围．
【解答】解：（1）AD是△ABC的中线．（1分）
理由如下：
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED=∠CFD=90°
在△BDE和△CFD中
，
∴△BDE≌△CFD（AAS）
∴BD=CD，即AD是△ABC的中线．（4分）
（2）过点B作BG∥AC交AD延长线于点G
∴∠GBD=∠ACD，（5分）
又∵AD是中线，
∴BD=CD，
在△BDG和△CDA中
∴△BDG≌△CDA（ASA），
∴BG=AC=4，AD=GD，（6分）
在△ABG中，AB=6，根据三角形三边关系，
∴2＜AG＜10，
∴1＜AD＜5．（7分）
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质以及三角形三边关系的性质．
变式2．在△ABC中，AB=AC，点D是BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）如图1，若∠BAC=90°，
①求证；△ABD≌△ACE；
②求∠BCE的度数．
（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．如图2，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
【分析】（1）①根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE即可；
②问要求∠BCE的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论；
（2）问在第（1）问的基础上，将α+β转化成三角形的内角和．
【解答】解：（1）①∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
②∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE=∠B+∠ACB，
又∵∠BAC=90°
∴∠BCE=90°；
（2）α+β=180°，
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．
∴∠B+∠ACB=β，
∵α+∠B+∠ACB=180°，
∴α+β=180°
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，涉及到三角形全等的判定，以及全等三角形的性质；两者综合运用，促进角与角相互转换，将未知角转化为已知角是关键．
拓展点五：实际应用问题
例题．如图，A、B两建筑物位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B点出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC=CD，过D作DE∥AB，使E、C、A在同一直线上，则DE的长就是A、B之间的距离，请你说明道理．
【分析】根据BC=CD，∠CED=∠CAB，∠ACB=∠ECD，即可求证△ABC≌△EDC，根据全等三角形对应边相等的性质可以求得AB=DE．
【解答】解：
∵DE∥AB，
∴∠CED=∠CAB，
∴△ABC≌△EDC（AAS），
∴AB=ED，
答：DE的长就是A、B之间的距离．
【点评】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，考查了全等三角形的证明和对应边相等的性质，本题中正确的求证△ABC≌△EDC是解题的关键．
变式1．小明不慎将一块三角形的玻璃打碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带 2 去，说明理由．
【分析】根据三角形全等的判定方法作出判断即可．
【解答】解：带2去可以利用“角边角”能配一块与原来大小一样的三角形玻璃．
故答案为：2．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
变式2．如图是小磊家的两个房间甲与乙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB．
（1）当他在甲房间时，测得MA=a，NB=b，求甲房间的宽AB；
（2）当他在乙房间时，测得MA=c，NB=d，且∠MPA=75°，∠NPB=45°
①求∠MPN的度数；
②求乙房间的宽AB．
【分析】（1）证明△AMP≌△BPN，从而得到MA=PB=a，PA=NB=b，即可求出AB=PA+PB=a+b；
（2）①根据平角的定义即可求出∠MPN=60°；
②根据PM=PN以及∠MPN的度数可得到△PMN为等边三角形．利用相应的三角函数表示出MN，MP的长，可得到房间宽AB和AM长相等．
【解答】解：（1）∵∠MPN=180°，
∴∠APM+∠BPN=90°，
∵∠APM+∠AMP=90°，
∴∠AMP=∠BPN．
在△AMP与△BPN中，
，
∴△AMP≌△BPN，
∴MA=PB=a，PA=NB=b，
∴AB=PA+PB=a+b；
（2）①∠MPN=180°﹣∠APM﹣∠BPN=60°；
②过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM．
设AB=x，且AB=ND=x．
∵梯子的倾斜角∠BPN为45°，
∴△BNP为等腰直角三角形，△PNM为等边三角形（180﹣45﹣75=60°，梯子长度相同），∠MND=15°．
∵∠APM=75°，
∴∠AMP=15°．
∴cos15°==．
∵△PNM为等边三角形，
∴NM=PM．
∴x=MA=c．
即乙房间的宽AB是c．
【点评】此题考查了全等三角形的应用，解直角三角形的应用，根据PM=PN以及∠MPN的度数得到△PMN为等边三角形是解题的关键．
拓展点六：图形变换中全等三角形的探究题
例题．（1）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且点B，C在AE的同侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．求证：BD=DE﹣CE；
（2）上题中，变成如图，B，C在AE的异侧时，BD，DE，CE关系如何？并加以证明．
【分析】（1）BD=DE﹣CE，根据已知利用AAS判定△ABD≌△CAE，从而得到BD=AE，AD=CE，因为AD+AE=BD+CE，所以BD=DE﹣CE；
（2）BD=DE+CE成立，根据已知利用AAS判定△ABD≌△CAE，从而得到BD=AE，AD=CE，因为AE=AD+DE，所以BD=DE+CEBD．
【解答】证明：（1）∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∴∠ABD+∠DAB=∠DEB+∠CAE，
∴∠ABD=∠CAE，
∵AB=AC，
在△ABD和△CAE中，
∵，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∴AD+AE=BD+CE，
∵DE=BD+CE，
∴BD=DE﹣CE
（2）BD=DE+CE，理由如下：
∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∵∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90°
∴∠ABD=∠CAE，
∵AB=AC，
在△ABD和△CAE中，
∵，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE=AD+DE，
∴BD=DE+CE；
【点评】本题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有SSS，SAS，AAS等．这种类型的题目经常考到，要注意掌握．
变式1．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
【分析】（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，由已知可得BD=PC，BP=CQ，∠ABC=∠ACB，即据SAS可证得△BPD≌△CQP．
（2）可设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等，则可知PB=3tcm，PC=8﹣3tcm，CQ=xtcm，据（1）同理可得当BD=PC，BP=CQ或BD=CQ，BP=PC时两三角形全等，求x的解即可．
【解答】解：（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，
∵△ABC中，AB=AC，
∴在△BPD和△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）．
（2）设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等；则可知PB=3tcm，PC=8﹣3tcm，CQ=xtcm，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：①当BD=PC，BP=CQ时，②当BD=CQ，BP=PC时，两三角形全等；
①当BD=PC且BP=CQ时，8﹣3t=5且3t=xt，解得x=3，∵x≠3，∴舍去此情况；
②BD=CQ，BP=PC时，5=xt且3t=8﹣3t，解得：x=；
故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等．
【点评】本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
变式2．（1）操究发现：如图1，△ABC为等边三角形，点D为AB边上的一点，∠DCE=30°，∠DCF=60°且CF=CD
①求∠EAF的度数；
②DE与EF相等吗？请说明理由
（2）类比探究：如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点D为AB边上的一点，∠DCE=45°，CF=CD，CF⊥CD，请直接写出下列结果：
①∠EAF的度数
②线段AE，ED，DB之间的数量关系
【分析】（1）①由等边三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=60°，求出∠ACF=∠BCD，证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=60°，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；
②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF即可；
（2）①由等腰直角三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=45°，证出∠ACF=∠BCD，由SAS证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=45°，AF=DB，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；
②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF；在Rt△AEF中，由勾股定理得出AE2+AF2=EF2，即可得出结论．
【解答】解：（1）①∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠BAC=∠B=60°，
∵∠DCF=60°，
∴∠ACF=∠BCD，
在△ACF和△BCD中，
，
∴△ACF≌△BCD（SAS），
∴∠CAF=∠B=60°，
∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；
②DE=EF；理由如下：
∵∠DCF=60°，∠DCE=30°，
∴∠FCE=60°﹣30°=30°，
∴∠DCE=∠FCE，
在△DCE和△FCE中，
，
∴△DCE≌△FCE（SAS），
∴DE=EF；
（2）①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC=BC，∠BAC=∠B=45°，
∵∠DCF=90°，
∴∠ACF=∠BCD，
在△ACF和△BCD中，
，
∴△ACF≌△BCD（SAS），
∴∠CAF=∠B=45°，AF=DB，
∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；
②AE2+DB2=DE2，理由如下：
∵∠DCF=90°，∠DCE=45°，
∴∠FCE=90°﹣45°=45°，
∴∠DCE=∠FCE，
在△DCE和△FCE中，
，
∴△DCE≌△FCE（SAS），
∴DE=EF，
在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，
又∵AF=DB，
∴AE2+DB2=DE2．
【点评】本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．
易错点一：弄错对应关系
例题．如图，点A，D，C，F在一条直线上，AB=DE，∠A=∠EDF，下列条件不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AD=CF
B．∠BCA=∠F
C．∠B=∠E
D．BC=EF
【分析】根据各个选项中的条件和全等三角形的判定可以解答本题．
【解答】解：已知点A、D、C、F在同一直线上，AB=DE，∠A=∠EDF，添加的一个条件是AD=CF，可以得到AC=DF，根据SAS可以证明△ABC≌△DEF，故选项A不符合题意；
已知点A、D、C、F在同一直线上，AB=DE，∠A=∠EDF，添加的一个条件是∠BCA=∠EFD，根据AAS可以证明△ABC≌△DEF，故选项B不符合题意；
已知点A、D、C、F在同一直线上，AB=DE，∠A=∠EDF，添加的一个条件是∠B=∠E，根据ASA可以证明△ABC≌△DEF，故选项C不符合题意；
已知点A、D、C、F在同一直线上，AB=DE，∠A=∠EDF，添加的一个条件是BC=EF，根据SSA不可以证明△ABC≌△DEF，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用全等三角形的判定解答．
变式1．如图，在△ABC和△DCB中，∠ABC=∠DCB，要使△ABC≌△DCB，还需添加一个条件，这个条件不一定是（ ）
A．∠A=∠D
B．∠ACB=∠DBC
C．AB=DC
D．AC=DB
【分析】根据全等三角形的判定定理判断即可．
【解答】解：A、在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB，故本选项正确；
B、在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB，故本选项正确；
C、在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB，故本选项正确；
D、根据两边和其中一边的对角不能判断两三角形全等；故本选项错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查对全等三角形的判定的理解和掌握，能熟练地根据全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键．
变式2．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
A．∠B=∠C
B．AD=AE
C．BD=CE
D．BE=CD
【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．
【解答】解：∵AB=AC，∠A为公共角，
A、如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
B、如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
C、如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
D、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．
故选：D．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理．
易错点二：错用等式性质证全等
12.2
三角形全等的判定
教学目标：
1、理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”
2、理解和掌握全等三角形判定方法2——“边角边”．
3、理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”，判定方法4——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．
4、掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法一“斜边、直角边”
（即“HL”）
教学重难点：判定全等的思路，及全等判定和性质的综合应用
知识点一：“SSS”定理（重点）
判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．
例题．如图，EF=BC，DF=AC，DA=EB．求证：∠F=∠C．
变式1．已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥BF．
变式2．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别为两腰AB，AC的中点，F，G是BC边上的两点，且BF=CG，连结DG，EF，交点为H，求证：HF=HG．
知识点二：“SAS”定理（重点）
判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
例题．如图，点B，D，C，F在一条直线上，AB=EF，∠ABC=∠EFD，BD=CF．
证明：AC=DE．
变式1．如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC．
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=
°．
变式2．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB=AC，点E是BD上一点，且AE=AD，∠EAD=∠BAC．
（1）求证：∠ABD=∠ACD；
（2）若∠ACB=65°，求∠BDC的度数．
知识点三：“ASA”定理（重难点）
判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
例题．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2．
求证：BC=DE．
变式1．如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．求证：AD与BE互相平分．
变式2．如图，已知：AD是BC上的中线，BE∥CF．求证：DF=DE．
知识点四：“AAS”定理（重难点）
判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
例题．如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，求证：AD=CF．
变式1．如图所示，已知BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF相交于点，BD=CD，连接AD并延长，求证：AD平分∠BAC．
变式2．如图，四边形ABCD中，DC∥AB，BD⊥AD，∠A=45°，E，F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．
（1）求证：BO=DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AE的长．
知识点五：“HL”定理（重难点）
判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
例题．如图所示，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．
变式1．如图，AD⊥BC于D，AD=BD，AC=BE．
（1）请说明∠1=∠C；
（2）猜想并说明DE和DC有何特殊关系．
变式2．如图，AB=AC，∠BAC=90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE．
求证：BD=EC+ED．
拓展点一：判定三角形全等的思路
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
例题．如图，已知：∠B=∠DEF，BC=EF，现要证明△ABC≌△DEF，
若要以“SAS”为依据，还缺条件
；
若要以“ASA”为依据，还缺条件
；
若要以“AAS”为依据，还缺条件
，并说明理由．
变式1．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC中点，且AE=CF．求证：△AED≌△CFD．
变式2．已知：如图，AC=EC，E、A、D在同一条直线上，∠1=∠2=∠3．试说明：△ABC≌△EDC．
变式3．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，连接CD，过B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，连接AE，过A作AF⊥AE交CD于点F．
（1）求证：AE=AF；
（2）求证：CD=2BE+DE．
拓展点二：全等三角形性质与判断的综合应用
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
例题．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB=AC，点E是BD上一点，且AE=AD，∠EAD=∠BAC．
（1）求证：∠ABD=∠ACD；
（2）若∠ACB=65°，求∠BDC的度数．
变式1．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC．
（1）证明：BC=DE；
（2）若AC=12，CE经过点D，求四边形ABCD的面积．
变式2．已知：如图1所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN经过点A，BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E．
（1）试判断线段DE、BD、CE之间的数量关系，并说明理由；
（2）当直线MN运动到如图2所示位置时，其余条件不变，判断线段DE、BD、CE之间的数量关系．
拓展点三：全等三角形的计数问题
例题．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，CD、BE分别是∠ACB，∠ABC的平分线，CD、BE相交于F点，连接DE，则图中全等的三角形有多少组（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
变式1．如图，在△ABC中，AB=AC，高BD，CE交于点O，AO交BC于点F，则图中共有全等三角形（ ）
A．7对
B．6对
C．5对
D．4对
变式2．如图，△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，AE=AF，则图中全等三角形的对数有（ ）
A．5对
B．6对
C．7对
D．8对
拓展点四：全等三角形中的计算与推理
例题．如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于D，E为AC上一点，AE=AB，连接DE．
（1）求证：△ABD≌△AED；
（2）已知BD=5，AB=9，求AC长．
变式1．如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF．
（1）请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？并证明你的结论．
（2）在（1）的条件下，若AB=6，AC=4，请确定AD的值范围．
变式2．在△ABC中，AB=AC，点D是BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）如图1，若∠BAC=90°，
①求证；△ABD≌△ACE；
②求∠BCE的度数．
（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．如图2，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
拓展点五：实际应用问题
例题．如图，A、B两建筑物位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B点出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC=CD，过D作DE∥AB，使E、C、A在同一直线上，则DE的长就是A、B之间的距离，请你说明道理．
变式1．小明不慎将一块三角形的玻璃打碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带
去，说明理由．
变式2．如图是小磊家的两个房间甲与乙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB．
（1）当他在甲房间时，测得MA=a，NB=b，求甲房间的宽AB；
（2）当他在乙房间时，测得MA=c，NB=d，且∠MPA=75°，∠NPB=45°
①求∠MPN的度数；
②求乙房间的宽AB．
拓展点六：图形变换中全等三角形的探究题
例题．（1）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且点B，C在AE的同侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．求证：BD=DE﹣CE；
（2）上题中，变成如图，B，C在AE的异侧时，BD，DE，CE关系如何？并加以证明．
变式1．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
变式2．（1）操究发现：如图1，△ABC为等边三角形，点D为AB边上的一点，∠DCE=30°，∠DCF=60°且CF=CD
①求∠EAF的度数；
②DE与EF相等吗？请说明理由
（2）类比探究：如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点D为AB边上的一点，∠DCE=45°，CF=CD，CF⊥CD，请直接写出下列结果：
①∠EAF的度数
②线段AE，ED，DB之间的数量关系
易错点一：弄错对应关系
例题．如图，点A，D，C，F在一条直线上，AB=DE，∠A=∠EDF，下列条件不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AD=CF
B．∠BCA=∠F
C．∠B=∠E
D．BC=EF
变式1．如图，在△ABC和△DCB中，∠ABC=∠DCB，要使△ABC≌△DCB，还需添加一个条件，这个条件不一定是（ ）
A．∠A=∠D
B．∠ACB=∠DBC
C．AB=DC
D．AC=DB
变式2．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
A．∠B=∠C
B．AD=AE
C．BD=CE
D．BE=CD
易错点二：错用等式性质证全等
