课后作业
1．如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A=∠D
B．∠ACB=∠DBC
C．AC=DB
D．AB=DC
【分析】全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．
【解答】解：A、∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
B、∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
C、∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确；
D、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS．
2．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（ ）
A．甲和乙
B．乙和丙
C．甲和丙
D．只有丙
【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．
【解答】解：乙和△ABC全等；理由如下：
在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，
所以乙和△ABC全等；
在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，
所以丙和△ABC全等；
不能判定甲与△ABC全等；
故选：B．
【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3．如图，△ABC中，∠B=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠BCA，AD，CE交于点F，则（ ）
A．AE+CD＞AD
B．AE+CD=AD
C．AE+CD＞AC
D．AE+CD=AC
【分析】通过角之间的转化可得出△AGF≌△AEF，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．
【解答】解：在AC上截取AG=AE，连接GF，如图所示：
∵∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠BCA，
∴∠FAC+∠FCA=60°，
∴∠AFE=∠FAC+∠FCA=60°，
在△AGF和△AEF中，
，
∴△AGF≌△AEF（SAS），
∴FG=FE，∠AFG=∠AFE=60°，
∴∠GFC=∠AFC﹣∠AFG=120°﹣60°=60°，
∵∠CFD=∠AFE=60°，
∴∠CFD=∠CFG
在△CFG和△CFD中，
，
∴△CFG≌△CFD（SAS），
∴CG=CD，
∴AE+CD=AG+CG=AC．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结论．
4．下列条件中不能判定三角形全等的是（ ）
A．两角和其中一角的对边对应相等
B．三条边对应相等
C．两边和它们的夹角对应相等
D．三个角对应相等
【分析】要逐个对选项进行验证，根据各个选项的已知条件结合三角形全等的判定方法进行判定，其中D满足AAA时不能判断三角形全等的．
【解答】解：A、两角和其中一角的对边对应相等是全等三角形，符合AAS，故C不符合题意；
B、三条边对应相等的三角形是全等三角形，符合SSS，故A不符合题意；
C、两边和它们的夹角对应相等的三两个角形是全等三角形，符合SAS，故C不符合题意；
D、三个角对应相等，AAA不能判断两个三角形全等，故符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．如图，在△ABC和△DBE中，BC=BE，还需再添加两个条件才能使△ABC≌△DBE，则不能添加的一组条件是（ ）
A．AC=DE，∠C=∠E
B．BD=AB，AC=DE
C．AB=DB，∠A=∠D
D．∠C=∠E，∠A=∠D
【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．
【解答】解：A、已知BC=BE，再加上条件AC=DE，∠C=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DBE，故此选项不合题意；
B、已知BC=BE，再加上条件BD=AB，AC=DE可利用SSS证明△ABC≌△DBE，故此选项不合题意；
C、已知BC=BE，再加上条件AB=DB，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DBE，故此选项符合题意；
D、已知BC=BE，再加上条件∠C=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DBE，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．某同学不小心把一块玻璃打碎了，变成了如图所示的三块，现在要到玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么应带哪块去才能配好（ ）
A．①
B．②
C．③
D．任意一块
【分析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【解答】解：只有①中包含两角及夹边，符合ASA．故选A．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定，看这3块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定即选哪块．
7．如图所示，已知AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O，AE⊥BD于E，CF⊥BD于E，图中全等三角形有（ ）
A．3对
B．5对
C．6对
D．7对
【分析】根据题目的意思，可以推出△ABE≌△CDF，△AOE≌△COF，△ABO≌△CDO，△BCO≌△DOA，△ABC≌△CDA，△ABD≌△CDB，△ADE≌△CBF．再分别进行证明．
【解答】解：①△ABE≌△CDF
∵AB∥CD，AD∥BC
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF
∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于E
∴∠AEB=∠CFD
∴△ABE≌△CDF；
②△AOE≌△COF
∵AB∥CD，AD∥BC，AC为ABCD对角线
∴OA=OC，∠EOA=∠FOC
∵∠AEO=∠CFO
∴△AOE≌△COF；
③△ABO≌△CDO
∵AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O
∴OD=OB，∠AOB=∠COD，OA=OC
∴△ABO≌△CDO；
④△BOC≌△DOA
∵AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O
∴OD=OB，∠BOC=∠DOA，OC=OA
∴△BOC≌△DOA；
⑤△ABC≌△CDA
∵AB∥CD，AD∥BC
∴BC=AD，DC=AB，∠ABC=∠CDA
∴△ABC≌△CDA；
⑥△ABD≌△CDB
∵AB∥CD，AD∥BC
∴∠BAD=∠BCD，AB=CD，AD=BC
∴△ABD≌△CDA；
⑦△ADE≌△CBF
∵AD=BC，DE=BF，AE=CF
∴△DEC≌△BFA．
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS，ASA、HL．同时考查了平行四边形的性质，题目比较容易．
8．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，如图，则下列说法正确的有几个，大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是（ ）
（1）AE平分∠DAB；
（2）△EBA≌△DCE；
（3）AB+CD=AD；
（4）AE⊥DE；
（5）AB∥CD．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】此题可以通过作辅助线来得解，取AD的中点F，连接EF．根据平行线的性质可证得（1）（4）（5），根据梯形中位线定理可证得（3）正确．根据全等三角形全等的判定可证得（2）的正误，即可得解．
【解答】解：如图：取AD的中点F，连接EF．
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD；[结论（5）]
∵E是BC的中点，F是AD的中点，
∴EF∥AB∥CD，2EF=AB+CD（梯形中位线定理）①；
∴∠CDE=∠DEF（两直线平等，内错角相等），
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠FDE=∠DEF，
∴DF=EF；
∵F是AD的中点，∴DF=AF，
∴AF=DF=EF②，
由①得AF+DF=AB+CD，即AD=AB+CD；[结论（3）]
由②得∠FAE=∠FEA，
由AB∥EF可得∠EAB=∠FEA，
∴∠FAE=∠EAB，即EA平分∠DAB；[结论（1）]
由结论（1）和DE平分∠ADC，且DC∥AB，可得∠EDA+∠DAE=90°，则∠DEA=90°，即AE⊥DE；[结论（4）]．
由以上结论及三角形全等的判定方法，无法证明△EBA≌△DCE．
正确的结论有4个，故选D．
【点评】本题考查了平行线的判定及性质、梯形中位线定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定等知识点，是一道难度较大的综合题型．
9．下列不能判定三角形全等的是（ ）
A．如图（1），线段AD与BC相交于点O，AO=DO，BO=CO．△ABO与△BCO
B．如图（2），AC=AD，BC=BD．△ABC与△ABD
C．如图（3），∠A=∠C，∠B=∠D．△ABO与△CDO
D．如图（4），线段AD与BC相交于点E，AE=BE，CE=DE，AC=BD．△ABC与△BAD
【分析】全等三角形的判定定理有：SAS、ASA、AAS、SSS，只要具备以上四种方法中的一种，即可判定联三角形全等．
【解答】解：A、因为∠AOB=∠DOC，根据SAS可判断△ABO≌△DCO，故本选项错误；
B、AB=AB，根据SSS可证出△ABC≌△ABD，故本选项错误；
C、全等三角形的判定定理有SAS、ASA、AAS、SSS，根据已知不能得出以上三个条件，即两三角形不全等，故本选项正确；
D、∵AE=BE，CE=DE，
∴BC=AD，
在△ABC与△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（SSS），故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定有：SAS、ASA、AAS、SSS，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．
10．下列命题：（1）有一条斜边对应相等的两个直角三角形全等；（2）腰长相等的两个等腰直角三角形全等；（3）有一个角等于45°的两个等腰三角形全等；（4）两个内角互余的两个等腰三角形全等；（5）两边和一角相等的两个三角形全等．其中真命题有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】熟练运用全等三角形的判定定理解答．做题时根据已知条件，结合全等的判定方法逐一验证．
【解答】解：（1）只有两个元素对应相等，不能判断全等．故错误；
（2）根据SAS可判断全等．故正确；
（3）没有边对应相等不能判断全等．故错误；
（4）没有边对应相等不能判断全等．故错误；
（5）两边和夹角对应相等才能判断全等．故错误．
所以选A．
【点评】本题重点考查了全等三角形的判定定理，做题时要认真仔细，最好画图结合图形进行判断．
二．填空题（共6小题）
11．如图，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件是 ∠B=∠C （填上你认为适当的一个条件即可）．
【分析】根据题意，易得∠AEB=∠AEC，又AE公共，所以根据全等三角形的判定方法容易寻找添加条件．
【解答】解：∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠AEC，
又
AE公共，
∴当∠B=∠C时，△ABE≌△ACE（AAS）；
或BE=CE时，△ABE≌△ACE（SAS）；
或∠BAE=∠CAE时，△ABE≌△ACE（ASA）．
【点评】此题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
12．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B、C作过点A的直线的垂线BD、CE，垂足分别为D、E，若BD=3，CE=2，则DE= 5 ．
【分析】首先证明∠DBA=∠CAE，然后再根据AAS定理证明△BDA≌△AEC，根据全等三角形的性质可得DA=CE，AE=DB，进而得到答案．
【解答】解：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵BD⊥DE，
∴∠BDA=90°，
∴∠BAD+∠DBA=90°，
∴∠DBA=∠CAE，
∵CE⊥DE，
∴∠E=90°，
在△BDA和△AEC中，
，
∴△BDA≌△AEC（AAS），
∴DA=CE=2，AE=DB=3，
∴ED=5．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理．
13．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，点C是AD的中点，也是BE的中点，若DE=20米，则AB= 20米 ．
【分析】根据题目中的条件可证明△ACB≌△DCE，再根据全等三角形的性质可得AB=DE，进而得到答案．
【解答】解：∵点C是AD的中点，也是BE的中点，
∴AC=DC，BC=EC，
∵在△ACB和△DCE中，
，
∴△ACB≌△DCE（SAS），
∴DE=AB=20米，
故答案为：20米．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键掌握全等三角形的判定定理和性质定理．
14．在学习“用直尺和圆规作射线OC，使它平分∠AOB”时，教科书介绍如下：
作法：（1）以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于D，交OB于E；
（2）分别以D，E为圆心，以大于DE的同样长为半径作弧，两弧交于点C；
（3）作射线OC．
则OC就是所求作的射线．
小明同学想知道为什么这样做，所得到射线OC就是∠AOB的平分线．
小华的思路是连接DC、EC，可证△ODC≌△OEC，就能得到∠AOC=∠BOC．其中证明△ODC≌△OEC的理由是 SSS ．
【分析】由作法可知：CD=CE，OD=OE，根据全等三角形的判定定理判断即可．
【解答】解：由作法可知：CD=CE，OD=OE，
又∵OC=OC，
∴根据SSS可推出△OCD和△OCE全等，
故答案为：SSS
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
15．如图，在△ABC中，D为AC边中点，过点D作AC边垂线，与BC边交于点E，以点A为圆心，EC长为半径画圆，交直线ED于点F，有下列结论：①△AFD≌△CED；②∠BAC=∠C；③ED=FD；④AB∥EF，其中正确的结论是 ①③ （请将正确结论的序号都填上）
【分析】①③正确，可以证明根据HL证明△ADF≌△CDE，②④错误，连接AE，可得AE=EC，∠C=∠EAC，推出∠BAC＞∠C，无法判断∠BAC=90°，故④错误；
【解答】解：∵AD=CD，EF⊥AC，
∴∠ADF=∠CDE=90°，
∵AF=EC，
∴△ADF≌△CDE（HL），
∴DF=DE，故①③正确，
连接AE，易知EA=EC，
∴∠EAD=∠C，
∵∠BAC＞∠EAC，
∴∠BAC≠∠C，故②错误，
∵∠BAC≠90°，
∴无法判断AB∥EF，故④错误．
故答案为①③
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16．如图，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线相交于点E，BE交AC于点F，过点E作EG∥BD交AB于点G，交AC于点H，连接AE，有以下结论：
①∠BEC=∠BAC；②△HEF≌△CBF；③BG=CH+GH；④∠AEB+∠ACE=90°，其中正确的结论有 ①③④ （将所有正确答案的序号填写在横线上）．
【分析】①根据角平分线的定义得到∠EBC=∠ABC，∠DCE=ACD，根据外角的性质即可得到结论；
②根据相似三角形的判定定理得到两个三角形相似，不能得出全等；
③由于E是两条角平分线的交点，根据角平分线的性质可得出点E到BA、AC、BC和距离相等，从而得出AE为∠BAC外角平分线这个重要结论，再利用三角形内角和性质与外角性质进行角度的推导即可轻松得出结论；
④由BG=GE，CH=EH，于是得到BG﹣CH=GE﹣EH=GH．即可得到结论．
【解答】解：①BE平分∠ABC，
∴∠EBC=∠ABC，
∵CE平分∠ACD，
∴∠DCE=ACD，
∵∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠DCE=∠CBE+∠BEC，
∴∠EBC+∠BEC=（∠BAC+∠ABC）=∠EBC+BAC，
∴∠BEC=∠BAC，故①正确；
∵②△HEF与△CBF只有两个角是相等的，能得出相似，但不含相等的边，所有不能得出全等的结论，故②错误．
③过点E作EN⊥AC于N，ED⊥BC于D，EM⊥BA于M，如图，
∵BE平分∠ABC，
∴EM=ED，
∵CE平分∠ACD，
∴EN=ED，
∴EN=EM，
∴AE平分∠CAM，
设∠ACE=∠DCE=x，∠ABE=∠CBE=y，∠MAE=∠CAE=z，如图，
则∠BAC=180°﹣2z，∠ACB=180﹣2x，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴2y+180°﹣2z+180°﹣2x=180°，
∴x+z=y+90°，
∵z=y+∠AEB，
∴x+y+∠AEB=y+90°，
∴x+∠AEB=90°，
即∠ACE+∠AEB=90°，故④正确；
④BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵GE∥BC，
∴∠CBE=∠GEB，
∴∠ABE=∠GEB，
∴BG=GE，
同理CH=HE，
∴BG﹣CH=GE﹣EH=GH，
故③正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，角平分线的性质与判定，等腰三角形的判定，三角形内角和定理、三角形外角性质等多个知识点，难度中等．判断出AE是∠BAC外角平分线是关键，事实上，点E就是△ABC的旁心．
三．解答题（共8小题）
17．如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．
【分析】可通过证△ABF≌△DCE，来得出∠A=∠D的结论．
【解答】证明：∵BE=FC，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE；
又∵AB=DC，∠B=∠C，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠A=∠D．
【点评】此题考查简单的角相等，可以通过全等三角形来证明，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
18．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．
①求证：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．
【分析】①利用SAS即可得证；
②由全等三角形对应角相等得到∠AEB=∠CDB，利用外角的性质求出∠AEB的度数，即可确定出∠BDC的度数．
【解答】①证明：在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
②解：∵在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
由①得：△ABE≌△CBD，
∴∠AEB=∠BDC，
∵∠AEB为△AEC的外角，
∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=30°+45°=75°，
则∠BDC=75°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
19．如图，点F、C在BE上，BF=CE，AB=DE，∠B=∠E．
求证：∠A=∠D．
【分析】易证BC=EF，即可证明△ABC≌△DEF，可得∠A=∠D．即可解题．
【解答】证明：∵BF=CE，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A=∠D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△ABC≌△DEF是解题的关键．
20．如图，△ABC中，D为BC边上一点，BE⊥AD的延长线于E，CF⊥AD于F，BE=CF．求证：D为BC的中点．
【分析】欲证明D为BC的中点，只要证明BD=CD，即证明△BED≌△CFD即可．
【解答】证明：∵BE⊥AD的延长线于E，CF⊥AD于F，
∴∠CFD=∠BED=90°，
在△BED和△CFD中，
∴△CDF≌△BDE（AAS）
∴CD=BD．
∴D为BC的中点．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键．
21．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．
（1）求证：AE=CD；
（2）若AC=12cm，求BD的长．
【分析】（1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的AE和CD分别在三角形AEC和三角形CDB中，在这两个三角形中，已经有一组边相等，一组角相等了，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答．
（2）由（1）得BD=EC=BC=AC，且AC=12，即可求出BD的长．
【解答】（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，
∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．
∴∠D=∠AEC．
又∵∠DBC=∠ECA=90°，
且BC=CA，
在△DBC和△ECA中，
∵
∴△DBC≌△ECA（AAS）．
∴AE=CD．
（2）解：∵△CDB≌△AEC，
∴BD=CE，
∵AE是BC边上的中线，
∴BD=EC=BC=AC，且AC=12cm．
∴BD=6cm．
【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
22．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD、CE，求证：△ABD≌△AEC．
【分析】求出∠EAC=∠DAB，根据SAS推出两三角形全等即可．
【解答】证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE，
∴∠EAC=∠DAB．
在△ABD和△AEC中
，
∴△ABD≌△AEC（SAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能正确应用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，难度适中．
23．（1）如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A点的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD=DE+CE．
（2）若直线AE绕点A旋转到图2的位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请予以证明．
【分析】根据已知利用AAS判定△ABD≌△CAE从而得到BD=AE，AD=CE，因为AE=AD+DE，所以BD=DE+CE；
根据已知利用AAS判定△ABD≌△CAE从而得到BD=AE，AD=CE，因为AD+AE=BD+CE，所以BD=DE﹣CE．
【解答】解：（1）∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∵∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90°
∴∠ABD=∠CAE，
∵AB=AC，
在△ABD和△CAE中，
∵，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE=AD+DE，
∴BD=DE+CE；
（2）BD=DE﹣CE；
∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∴∠ABD+∠DAB=∠DAB+∠CAE，
∴∠ABD=∠CAE，
∵AB=AC，
在△ABD和△CAE中，
∵，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∴AD+AE=BD+CE，
∵DE=BD+CE，
∴BD=DE﹣CE．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有SSS，SAS，AAS等．这种类型的题目经常考到，要注意掌握．
24．已知，如图1，BD、CE是锐角△ABC的高，点F在BD上，BF=AC，点G在CE的延长线上，CG=AB．
（1）求证：∠BAF=∠CGA；
（2）在图1中，过点F、G分别作过点A的直线的垂线，垂足分别为点M、N（如图2），试判断线段MN与线段FM、GN之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）根据垂直求出∠BEO=∠CDO=90°，根据三角形的内角和定理求出∠ABF=∠ACG，推出△ABF≌△GCA，根据全等三角形的性质得出∠CGA=∠BAF即可；
（2）根据全等三角形的性质得出AG=AF，∠GAN=∠AFM，进而得出△AGN≌△AFM，利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BEO=∠CDO=90°，
∵∠EOB=∠DOC，∠ABF+∠EOB+∠BEO=180°，∠ACG+∠CDO+∠DOC=180°，
∴∠ABF=∠ACG，
在△ABF和△GCA中，
，
∴△ABF≌△GCA，
∴∠CGA=∠BAF；
（2）MN+MF=GN，理由如下：
∵△ABF≌△GCA，
∴∠G=∠BAF，AG=AF，
∵∠GEA=∠CEB=90°，
∴∠G+∠GAB=90°，
∴∠BAF+∠GAB=90°，
∴∠GAF=90°，
∴∠GAN=∠AMF，
在△AGN与△AFM中，
，
∴△AGN≌△AFM，
∴AM=GN=MN+AN，AN=MF，
∴MN+MF=GN．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ABF≌△GCA，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
上堂测试
1．如图，已知∠1=∠2，则下列条件中，不能使△ABC≌△DBC成立的是（ ）
A．AB=CD
B．AC=BD
C．∠A=∠D
D．∠ABC=∠DCB
【分析】根据条件和图形可得∠1=∠2，BC=BC，再根据全等三角形的判定定理分别添加四个选项正所给条件进行分析即可．
【解答】解：根据条件和图形可得∠1=∠2，BC=BC，
A、添加AB=CD不能判定△ABC≌△DBC，故此选项符合题意；
B、添加AC=BD可利用SAS定理判定△ABC≌△DBC，故此选项不合题意；
C、添加∠A=∠D可利用AAS定理判定△ABC≌△DBC，故此选项不合题意；
D、添加∠ABC=∠DCB可利用ASA定理判定△ABC≌△DBC，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
二．填空题（共2小题）
2．如图，AB=DE，∠B=∠E，使得△ABC≌△DEC，请你添加一个适当的条件 BC=EC等 （填一个即可）．
【分析】本题要判定△ABC≌△DEC，已知AB=DE，∠B=∠E，具备了一边一角对应相等，利用SAS即可判定两三角形全等了．
【解答】解：添加条件是：BC=EC，
在△ABC与△DEC中，，
∴△ABC≌△DEC．
故答案为：BC=EC．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定这一知识点的理解和掌握，关键是用SAS即可判定两三角形全等．
3．在学习“用直尺和圆规作射线OC，使它平分∠AOB”时，教科书介绍如下：
作法：（1）以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于D，交OB于E；
（2）分别以D，E为圆心，以大于DE的同样长为半径作弧，两弧交于点C；
（3）作射线OC．
则OC就是所求作的射线．
小明同学想知道为什么这样做，所得到射线OC就是∠AOB的平分线．
小华的思路是连接DC、EC，可证△ODC≌△OEC，就能得到∠AOC=∠BOC．其中证明△ODC≌△OEC的理由是 SSS ．
【分析】由作法可知：CD=CE，OD=OE，根据全等三角形的判定定理判断即可．
【解答】解：由作法可知：CD=CE，OD=OE，
又∵OC=OC，
∴根据SSS可推出△OCD和△OCE全等，
故答案为：SSS
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
三．解答题（共2小题）
4．已知：如图，点A，F，C，D在同一直线上，AF=DC，AB∥DE，AB=DE，点F，求证：BC∥EF．
【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出△ABC≌△DEF（SAS），进而得出答案．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠A=∠D，
∵AF=CD，
∴AC=DF，
在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠BCA=∠EFD，
∴BC∥EF．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
5．如图，AB=AE，∠B=∠AED，∠1=∠2，求证：△ABC≌△AED．
【分析】根据SAS只要证明∠BAC=∠EAD即可解决问题；
【解答】证明∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠EAD，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，属于中考常考题型．课后巩固
1．如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A=∠D
B．∠ACB=∠DBC
C．AC=DB
D．AB=DC
2．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（ ）
A．甲和乙
B．乙和丙
C．甲和丙
D．只有丙
3．如图，△ABC中，∠B=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠BCA，AD，CE交于点F，则（ ）
A．AE+CD＞AD
B．AE+CD=AD
C．AE+CD＞AC
D．AE+CD=AC
4．下列条件中不能判定三角形全等的是（ ）
A．两角和其中一角的对边对应相等
B．三条边对应相等
C．两边和它们的夹角对应相等
D．三个角对应相等
5．如图，在△ABC和△DBE中，BC=BE，还需再添加两个条件才能使△ABC≌△DBE，则不能添加的一组条件是（ ）
A．AC=DE，∠C=∠E
B．BD=AB，AC=DE
C．AB=DB，∠A=∠D
D．∠C=∠E，∠A=∠D
6．某同学不小心把一块玻璃打碎了，变成了如图所示的三块，现在要到玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么应带哪块去才能配好（ ）
A．①
B．②
C．③
D．任意一块
7．如图所示，已知AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O，AE⊥BD于E，CF⊥BD于E，图中全等三角形有（ ）
A．3对
B．5对
C．6对
D．7对
8．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，如图，则下列说法正确的有几个，大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是（ ）
（1）AE平分∠DAB；
（2）△EBA≌△DCE；
（3）AB+CD=AD；
（4）AE⊥DE；
（5）AB∥CD．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．下列不能判定三角形全等的是（ ）
A．如图（1），线段AD与BC相交于点O，AO=DO，BO=CO．△ABO与△BCO
B．如图（2），AC=AD，BC=BD．△ABC与△ABD
C．如图（3），∠A=∠C，∠B=∠D．△ABO与△CDO
D．如图（4），线段AD与BC相交于点E，AE=BE，CE=DE，AC=BD．△ABC与△BAD
10．下列命题：（1）有一条斜边对应相等的两个直角三角形全等；（2）腰长相等的两个等腰直角三角形全等；（3）有一个角等于45°的两个等腰三角形全等；（4）两个内角互余的两个等腰三角形全等；（5）两边和一角相等的两个三角形全等．其中真命题有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二．填空题（共6小题）
11．如图，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件是
（填上你认为适当的一个条件即可）．
12．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B、C作过点A的直线的垂线BD、CE，垂足分别为D、E，若BD=3，CE=2，则DE=
．
13．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，点C是AD的中点，也是BE的中点，若DE=20米，则AB=
．
14．在学习“用直尺和圆规作射线OC，使它平分∠AOB”时，教科书介绍如下：
作法：（1）以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于D，交OB于E；
（2）分别以D，E为圆心，以大于DE的同样长为半径作弧，两弧交于点C；
（3）作射线OC．
则OC就是所求作的射线．
小明同学想知道为什么这样做，所得到射线OC就是∠AOB的平分线．
小华的思路是连接DC、EC，可证△ODC≌△OEC，就能得到∠AOC=∠BOC．其中证明△ODC≌△OEC的理由是 SSS ．
15．如图，在△ABC中，D为AC边中点，过点D作AC边垂线，与BC边交于点E，以点A为圆心，EC长为半径画圆，交直线ED于点F，有下列结论：①△AFD≌△CED；②∠BAC=∠C；③ED=FD；④AB∥EF，其中正确的结论是 ①③ （请将正确结论的序号都填上）
16．如图，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线相交于点E，BE交AC于点F，过点E作EG∥BD交AB于点G，交AC于点H，连接AE，有以下结论：
①∠BEC=∠BAC；②△HEF≌△CBF；③BG=CH+GH；④∠AEB+∠ACE=90°，其中正确的结论有
（将所有正确答案的序号填写在横线上）．
三．解答题（共8小题）
17．如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．
18．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．
①求证：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．
19．如图，点F、C在BE上，BF=CE，AB=DE，∠B=∠E．
求证：∠A=∠D．
20．如图，△ABC中，D为BC边上一点，BE⊥AD的延长线于E，CF⊥AD于F，BE=CF．求证：D为BC的中点．
21．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．
（1）求证：AE=CD；
（2）若AC=12cm，求BD的长．
22．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD、CE，求证：△ABD≌△AEC．
23．（1）如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A点的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD=DE+CE．
（2）若直线AE绕点A旋转到图2的位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请予以证明．
24．已知，如图1，BD、CE是锐角△ABC的高，点F在BD上，BF=AC，点G在CE的延长线上，CG=AB．
（1）求证：∠BAF=∠CGA；
（2）在图1中，过点F、G分别作过点A的直线的垂线，垂足分别为点M、N（如图2），试判断线段MN与线段FM、GN之间的数量关系，并证明你的结论．
上堂测试
1．如图，已知∠1=∠2，则下列条件中，不能使△ABC≌△DBC成立的是（ ）
A．AB=CD
B．AC=BD
C．∠A=∠D
D．∠ABC=∠DCB
2．如图，AB=DE，∠B=∠E，使得△ABC≌△DEC，请你添加一个适当的条件
（填一个即可）．
3．在学习“用直尺和圆规作射线OC，使它平分∠AOB”时，教科书介绍如下：
作法：（1）以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于D，交OB于E；
（2）分别以D，E为圆心，以大于DE的同样长为半径作弧，两弧交于点C；
（3）作射线OC．
则OC就是所求作的射线．
小明同学想知道为什么这样做，所得到射线OC就是∠AOB的平分线．
小华的思路是连接DC、EC，可证△ODC≌△OEC，就能得到∠AOC=∠BOC．其中证明△ODC≌△OEC的理由是
．
4．已知：如图，点A，F，C，D在同一直线上，AF=DC，AB∥DE，AB=DE，点F，求证：BC∥EF．
5．如图，AB=AE，∠B=∠AED，∠1=∠2，求证：△ABC≌△AED．
