12.3
角的平分线的性质
一、教学目标
（1）知识与技能目标：会作一个角的平分线，并掌握角平分线的性质及判定；
（2）过程与方法目标：综合运用角的平分线的性质及判定解决相关问题；
（3）情感态度与价值观：通过作三角形的角平分线，了解三角形三条角平分线交于一点的事实；
2、教学重难点
（1）教学重点：角平分线的性质及其应用
（2）教学难点：灵活应用两个性质解决问题
知识点一：作已知角的平分线
用尺规作图法作已知角的平分线的步骤：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OA，OB于M、N两点；
（2）分别以点M,N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；
（3）画射线OC.
则射线OC就是∠AOB的平分线.
提醒：①作已知角的平分线的方法很多，主要有折叠法和尺规作图法，尺规作图法是常用的方法.
②用尺规作图法作已知角的平分线是依据“SSS”定理构造一对全等的三角形.
③在上面的步骤（2）中，若以小于MN的长为半径画弧时，两弧没有交点；以等于MN的长为半径画弧时，两弧虽有交点，但交点不明显，不利于下一步的作图.
所以必须要求“以大于MN的长为半径”.
例1.如图，已知∠AOB，求作一个角等于∠AOB的补角，并作出这个补角的平分线.
解析：根据补角的定义，只要反向延长线∠AOB的一边即可得到其补角，然后再按作已知角的平分线的步骤进行即可.
作法：（1）如图，反向延长射线OB，得射线OC，则∠AOC与∠AOB互补；
（2）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OC，OA于E，F两点；
（3）分别以点E，F为圆心，以大于EF的长为半径画弧，两弧交于点D；
（4）作射线OD，射线OD为∠AOB的补角∠AOC的平分线.
点评：在用尺规作图法作图时，要充分利用已有知识，通过分析与比较找出最优操作步骤，如本题运用邻补角的知识，通过一步就作出了已知角的补角.
变式1.如图，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠A0B,作法的合理顺序是：①作射线0C；②以O为圆心，适当长为半径画弧交0A,OB于D,E；③分别以D,E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C.
A.①
②
③
B.②
①
③
C.②
③
①
D.③
②
①
答案：C
变式2.观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ ）
A．OE是∠AOB的平分线
B．OC=OD
C．点C、D到OE的距离不相等
D．∠AOE=∠BOE
答案：C
解析：解：根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线．
A、OE是∠AOB的平分线，A正确；
B、OC=OD，B正确；
C、点C、D到OE的距离相等，C不正确；
D、∠AOE=∠BOE，D正确．
故选：C．
点评：本题考查了尺规作图中的作角的平分线以及角平分线的性质，解题的关键是逐项分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，牢记尺规作图的方法和步骤是关键．
知识点二：角的平分线的性质
1.
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
2.
书写格式：如图所示，∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
提醒:1.该性质可以直接作为证明两条线段相等的依据，不需要再通过证全等三角形来推导.
2.这一定理的条件是“点在角的平分线上”，结论是“这一点到角的两边的距离相等”.
3.利用角的平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”，而不是“垂直于角平分线的线段”.
例1.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（
）
A.6
B.5
C.4
D.3
答案：A
解析：过点P
作PE⊥OB于点E，线段PE的长即为点P到OB的距离，又OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PD=6，故选A.
点评：本题考查了角平分线的性质、点到直线的距离定义，是道基础题，过点P作PE⊥OB于点E,找到点P到OB的距离是线段PE长是解决本题的关键.
变式1.如图所示，在Rt△ACB中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若BC=16，BD=10，则点D到AB的距离是（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
答案：D
解析：解：∵BC=16，BD=10
∴CD=6
由角平分线的性质，得点D到AB的距离等于CD=6．
故选：D．
点评：本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到AB的距离即为CD长是解决的关键.
变式2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：
①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；
其中正确的是（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：D
解析：解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD=DE，故①正确；
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，∠ADC=∠ADE，
∴AC+BE=AE+BE=AB，故②正确；
AD平分∠CDE，故④正确；
∵∠B+∠BAC=90°，
∠B+∠BDE=90°，
∴∠BDE=∠BAC，故③正确；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故选：D．
点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并确定出全等三角形是解题的关键．
知识点三：角的平分线的判定
1.
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
2.
书写格式：如图所示，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，
∴OP是∠AOB的平分线（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）
提醒：1.这一定理的条件是“角的内部的点到角的两边的距离相等”，结论是“该点在角的平分线上”，它可以证明两个角相等.
2.判定角的平分线必须同时具备“距离”和“相等”这两个条件，缺一不可.
3.“角的平分线的判定”与“角的平分线的性质”的题设和结论正好相反.
例1.到三角形三边距离相等的点是（
）
A.三条中线的交点
B.三条高线的交点
C.三条角平分线的交点
D.不能确定
答案:C
解析：因为角的平分线的判定是：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
例2.三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
答案：C
解析：解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，
根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．
故选：C．
点评:本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
变式1.如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．一处
B．二处
C．三处
D．四处
答案：D
解析：解：如图所示，加油站站的地址有四处．
故选：D．
点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并是解题的关键，作出图形更形象直观．
变式2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD=2，AB=8，则△ABD的面积是（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
答案：B
解析：解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AB=8，CD=2，
∵AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°，
∴DE=CD=2，
∴△ABD的面积=AB?DE=×8×2=8．
故选：B．
点评:本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线得到边AB上的高是解题的关键．
知识点四：证明几何命题
一般情况，证明一个几何命题，可按以下步骤进行：
(1)明确命题中的已知和求证；
(2)根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
(3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
提醒：抽象的几何问题有时以纯文字的形式也能得到证明，但为了直观方便地展示说理过程，我们应把简练、抽象的文字命题具体化、图形化、字母化处理，这也是我们运用数学解决问题的一个重要方法.
例1.求证:三角形一边的两端点到这边的中线或中线延长线的距离相等.
解析：如图所示，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线，CE⊥AD于点E，BF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：CE=BF.
变式1.已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．
分析：根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．
解析：证明：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB，
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN．
点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB是解题的关键．
变式2.已知：△ABC内部一点O到两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC．
求证：AB=AC．
分析：证明Rt△BOF≌Rt△COE，根据全等三角形的性质得到∠FBO=∠ECO，根据等腰三角形的性质得到∠CBO=∠BCO，得到∠ABC=∠ACB，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
解析：证明：在Rt△BOF和Rt△COE中，
，
∴Rt△BOF≌Rt△COE，
∴∠FBO=∠ECO，
∵OB=OC，
∴∠CBO=∠BCO，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．
点评：本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理、等腰三角形的判定定理是解题的关键．
拓展点一：角的平分线的性质的综合应用
例1.如图所示,在三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，并交BC于D，DE⊥AB于E，若AB=6cm，求三角形DEB的周长.
答案：6cm
解析：
例2.如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8，若S△ABC=28，求DE的长．
分析：根据角平分线性质得出DE=DF，根据三角形的面积公式得出关于DE的方程，求出即可．
解析：解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∵S△ABC=28，AB=6，BC=8，
∴×6×DE+×8×DF=28，
∴7DE=28．
∴DE=4．
点评：本题考查了角平分线定义的应用，能根据角平分线性质得出DE=DF是解此题的关键．
变式1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．
求证：DE=BF．
分析：根据角平分线的定义得到∠1=∠2，根据角平分线的性质得到DE=BD，∠3=∠4，由平行线的性质得到3=∠5，于是得到结论．
解析：证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠1=∠2，
∵DE⊥AC，∠ABC=90°
∴DE=BD，∠3=∠4，
∵BF∥DE，
∴∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
∴BD=BF，
∴DE=BF．
点评：本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
例3.在ΔABC中，AB=4,AC=3,AD是ΔABC的角平分线，则ΔABD与ΔACD的面积之比是______
答案：4:3
解析：分别作出ΔABD与ΔACD的边AB、AC边上的高DE、DF,又AD是ΔABC的角平分线，根据角平分线的性质，可得DE=DF,即ΔABD与ΔACD的边AB、AC边上的高相等，再由面积公式可得ΔABD与ΔACD的面积之比为底边AB、AC之比，故填4:3.
点评：本题考查了角平分线的性质和三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键.
拓展点二：角的平分线的判定的综合应用
1.
求角度
例1.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE=DC．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若∠A=38°，求∠DBC的度数．
分析：（1）根据角平分线的判定定理证明；
（2）根据角平分线的定义计算即可．
解析：（1）证明：∵∠C=90°，DE⊥AB于E，DE=DC，
∴BD平分∠ABC；
（2）∵∠C=90°，∠A=38°，
∴∠ABC=52°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABC=26°．
点评：本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键．
2.
3.
证明角相等
例2.如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2.求证：∠BAD=∠CAD.
解析：如图，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°.
点评：用角平分线的判定定理证明平分角时，要从垂直和相等的两条线段入手，若没有这样的两条线段，则可先作垂直再证相等，或先作相等再证垂直.
拓展点三：利用面积解决有关角平分线的问题
例1.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，
CD=3．
（1）求DE的长；
（2）求AB的长．
分析：（1）利用角平分线定理得到CD=DE，即可求出DE的长；
（2）根据三角形ADB的面积两种求法，确定出AB长即可．
解析：解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE，
∵CD=3，
∴DE=3；
（2）∵BC=8，CD=3，
∴BD=BC﹣CD=5，
∵△ADB的面积为S△ADB=DB?AC=×5×6=15，
∴S△ADB=AB?DE=×AB×3=15，
∴AB=10．
点评：此题考查了角平分线的性质，以及三角形面积，熟练掌握角平分线性质是解本题的关键．
变式1.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是18cm2，AC=8cm，DE=2cm，求AB的长．
分析：先依据角平分线的性质得到DF=DE=2，然后再依据S△ABC=S△ABD+S△ACD列方程求解即可．
解析：解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE=2cm
∴DF=DE=2，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=AB?DE+AC?DF，
∴×2AB+×8×2=18，解得：AB=10cm．
点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的面积，利用面积法列出关于x的方程是解题的关键．
拓展点四：实际应用问题
例1.如图，三条公路L1，L2，L3两两相交于A,B,C三点，现计划修建一个超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？你能在图中找出来吗？
答案：4处
解析：（1）如图，作出△ABC两内角∠BAC，∠ABC的平分线的交点O1,
(2)
分别作出∠ACB，∠ABC的外角平分线的交点O2，∠BAC,∠ACB的外角平分线的交点03,∠BAC,∠ABC的外角平分线的交点04，
故满足条件的修建点有四处，即点O1,02,03,04
点评：因为直线L1，L2，L3表示三条相互交叉的公路，要修建的超市到三条公路的距离相等，实际上就是寻求一个到三条直线的距离相等的点，注意不要忽视△ABC的外角平分线的三个交点.12.3
角的平分线的性质
一、教学目标
（1）知识与技能目标：会作一个角的平分线，并掌握角平分线的性质及判定；
（2）过程与方法目标：综合运用角的平分线的性质及判定解决相关问题；
（3）情感态度与价值观：通过作三角形的角平分线，了解三角形三条角平分线交于一点的事实；
2、教学重难点
（1）教学重点：角平分线的性质及其应用
（2）教学难点：灵活应用两个性质解决问题
知识点一：作已知角的平分线
用尺规作图法作已知角的平分线的步骤：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OA，OB于M、N两点；
（2）分别以点M,N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；
（3）画射线OC.
则射线OC就是∠AOB的平分线.
提醒：①作已知角的平分线的方法很多，主要有折叠法和尺规作图法，尺规作图法是常用的方法.
②用尺规作图法作已知角的平分线是依据“SSS”定理构造一对全等的三角形.
③在上面的步骤（2）中，若以小于MN的长为半径画弧时，两弧没有交点；以等于MN的长为半径画弧时，两弧虽有交点，但交点不明显，不利于下一步的作图.
所以必须要求“以大于MN的长为半径”.
例1.如图，已知∠AOB，求作一个角等于∠AOB的补角，并作出这个补角的平分线.
变式1.如图，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠A0B,作法的合理顺序是：①作射线0C；②以O为圆心，适当长为半径画弧交0A,OB于D,E；③分别以D,E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C.
A.①
②
③
B.②
①
③
C.②
③
①
D.③
②
①
变式2.观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ ）
A．OE是∠AOB的平分线
B．OC=OD
C．点C、D到OE的距离不相等
D．∠AOE=∠BOE
知识点二：角的平分线的性质
1.
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
2.
书写格式：如图所示，∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
提醒:1.该性质可以直接作为证明两条线段相等的依据，不需要再通过证全等三角形来推导.
2.这一定理的条件是“点在角的平分线上”，结论是“这一点到角的两边的距离相等”.
3.利用角的平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”，而不是“垂直于角平分线的线段”.
例1.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（
）
A.6
B.5
C.4
D.3
变式1.如图所示，在Rt△ACB中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若BC=16，BD=10，则点D到AB的距离是（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
变式2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：
①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；
其中正确的是（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
知识点三：角的平分线的判定
1.
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
2.
书写格式：如图所示，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，
∴OP是∠AOB的平分线（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）
提醒：1.这一定理的条件是“角的内部的点到角的两边的距离相等”，结论是“该点在角的平分线上”，它可以证明两个角相等.
2.判定角的平分线必须同时具备“距离”和“相等”这两个条件，缺一不可.
3.“角的平分线的判定”与“角的平分线的性质”的题设和结论正好相反.
例1.到三角形三边距离相等的点是（
）
A.三条中线的交点
B.三条高线的交点
C.三条角平分线的交点
D.不能确定
例2.三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
变式1.如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．一处
B．二处
C．三处
D．四处
变式2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD=2，AB=8，则△ABD的面积是（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
知识点四：证明几何命题
一般情况，证明一个几何命题，可按以下步骤进行：
(1)明确命题中的已知和求证；
(2)根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
(3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
提醒：抽象的几何问题有时以纯文字的形式也能得到证明，但为了直观方便地展示说理过程，我们应把简练、抽象的文字命题具体化、图形化、字母化处理，这也是我们运用数学解决问题的一个重要方法.
例1.求证:三角形一边的两端点到这边的中线或中线延长线的距离相等.
变式1.已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．
变式2.已知：△ABC内部一点O到两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC．
求证：AB=AC．
拓展点一：角的平分线的性质的综合应用
例1.如图所示,在三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，并交BC于D，DE⊥AB于E，若AB=6cm，求三角形DEB的周长.
例2.如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8，若S△ABC=28，求DE的长．
变式1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．
求证：DE=BF．
例3.在ΔABC中，AB=4,AC=3,AD是ΔABC的角平分线，则ΔABD与ΔACD的面积之比是______
答案：4:3
解析：分别作出ΔABD与ΔACD的边AB、AC边上的高DE、DF,又AD是ΔABC的角平分线，根据角平分线的性质，可得DE=DF,即ΔABD与ΔACD的边AB、AC边上的高相等，再由面积公式可得ΔABD与ΔACD的面积之比为底边AB、AC之比，故填4:3.
点评：本题考查了角平分线的性质和三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键.
拓展点二：角的平分线的判定的综合应用
1.
求角度
例1.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE=DC．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若∠A=38°，求∠DBC的度数．
2.
证明角相等
例2.如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2.求证：∠BAD=∠CAD.
拓展点三：利用面积解决有关角平分线的问题
例1.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，
CD=3．
（1）求DE的长；
（2）求AB的长．
变式1.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是18cm2，AC=8cm，DE=2cm，求AB的长．
拓展点四：实际应用问题
例1.如图，三条公路L1，L2，L3两两相交于A,B,C三点，现计划修建一个超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？你能在图中找出来吗？
