课时训练（十一）
【22.2
第二课时
相似三角形的判定定理1】
基础闯关
务实基础
达标检测
一、选择题
1.在下列四个图形中，已知∠1＝∠2，则四个图形中不一定有相似三角形的是( )
2.如图，在△ABC中，∠AED＝∠B，则下列等式成立的是( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
3.如图，在△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD∶DC＝5∶3，则DE的长为( )
A.
B.
C.
D.
4.如图22－2－25，在矩形ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点．若∠AEF＝90°，则一定有( )
A．△ADE∽△ECF
B．△ECF∽△AEF
C．△ADE∽△AEF
D．△AEF∽△ABF
5.如图，在△ABC中，AB＝AC＝a，BC＝b(a＞b)．在△ABC内依次作∠CBD＝∠A，∠DCE＝∠CBD，∠EDF＝∠DCE.则EF的值为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（ ）
A．∠AED=∠B
B．
∠ADE=∠C
C．
=
D．
=
二、填空题
7.如图，在△ABC中，P为AB上一点，则下列四个条件中
（1）∠ACP=∠B；（2）∠APC=∠ACB；（3）AC2=AP?AB；（4）AB?CP=AP?CB，
其中能满足△APC和△ACB相似的条件有
．
8.如图，在△ABC中，D是边AC上的一点，∠ABC＝∠BDC，AD＝2，CD＝3，则BC的长为
9.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，图中与△ABC相似的三角形为________(填一个即可)．
10.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，P是斜边AB上的一点，且AP＝2.过点P作一直线，与Rt△ABC另一边的交点为D，并且截得的三角形与Rt△ABC相似，则PD的长为________．
三、解答题
11.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M是斜边BC的中点，BN⊥AM，垂足为N，且BN的延长线交AC于点D.
（1）求证：△ABC∽△ADB；
（2）如果BC＝20，BD＝15，求AB的长．
12.如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，且，求证：BD⊥CD．
13.如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F.若BC＝4，∠CBD＝30°，求DF的长．
14.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC＝6，BC＝8，求线段AD的长．
能力提升
思维拓展
探究重点
1.如图，△ABC和△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠PDE＝90°.
（1）若将△DEP的顶点P放在BC上(如图①)，PD，PE分别与AC，AB相交于点F，G.求证：△PBG∽△FCP；
（2）若使△DEP的顶点P与顶点A重合(如图②)，PD，PE分别与BC相交于点F，G.试问△PBG与△FCP还相似吗？为什么？
2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(0，6)，C是线段AB的中点．在x轴上是否存在一点P，使得以P，A，C为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．课时训练（十一）
【22.2
第二课时
相似三角形的判定定理1】
基础闯关
务实基础
达标检测
一、选择题
1.在下列四个图形中，已知∠1＝∠2，则四个图形中不一定有相似三角形的是( )
解析：由相似三角形判定定理可知，ABC都是相似的，而D选项是角平分线，不满足相似的条件，故选D
2.如图，在△ABC中，∠AED＝∠B，则下列等式成立的是( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
解析：根据“一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似”可以判定△ADE∽△ACB，再根据相似三角形的对应边成比例，可知等式＝正确．故选C
3.如图，在△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD∶DC＝5∶3，则DE的长为( )
A.
B.
C.
D.
解析：∵BD∶DC＝5∶3，BC＝8，∴BD＝5，DC＝3.∵∠ADC＝∠BDE，∠C＝∠E，
∴△ADC∽△BDE，∴＝，即＝，解得DE＝.故选D
4.如图22－2－25，在矩形ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点．若∠AEF＝90°，则一定有( )
A．△ADE∽△ECF
B．△ECF∽△AEF
C．△ADE∽△AEF
D．△AEF∽△ABF
解析：由三角形内角和和互余的性质可知，△ADE∽△ECF，故选A
5.如图，在△ABC中，AB＝AC＝a，BC＝b(a＞b)．在△ABC内依次作∠CBD＝∠A，∠DCE＝∠CBD，∠EDF＝∠DCE.则EF的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
即∠ABC＝∠BCD.
又∵∠CBD＝∠A，∴△ABC∽△BCD，
∴＝，则CD＝＝.同理，△BCD∽△CDE，DE＝＝＝()2·＝.同理，△DEF∽△CDE，EF＝＝()2·＝.故选C
6.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（ ）
A．∠AED=∠B
B．
∠ADE=∠C
C．
=
D．
=
解析：∵∠DAE=∠CAB，
∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED；
当=时，△ABC∽△AED．故选D．
二、填空题
7.如图，在△ABC中，P为AB上一点，则下列四个条件中
（1）∠ACP=∠B；（2）∠APC=∠ACB；（3）AC2=AP?AB；（4）AB?CP=AP?CB，
其中能满足△APC和△ACB相似的条件有
．
解析：∵∠PAC=∠CAB，
∴当∠ACP=∠B时，△ACP∽△APC，所以（1）正确；
当∠APC=∠ACB时，△ACP∽△APC，所以（2）正确；
当=，即AC2=AP?AB时，△ACP∽△APC，所以（3）正确，（4）错误．
故答案为：（1），（2）（3）．
8.如图，在△ABC中，D是边AC上的一点，∠ABC＝∠BDC，AD＝2，CD＝3，则BC的长为
解析：∵∠ABC＝∠BDC，∠ACB＝∠BDC，∴△ABC∽△BDC，∴BC2＝CD×CA＝3×5＝15，故BC＝.
9.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，图中与△ABC相似的三角形为________(填一个即可)．
解析：答案不唯一，如△ACD，△CBD
10.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，P是斜边AB上的一点，且AP＝2.过点P作一直线，与Rt△ABC另一边的交点为D，并且截得的三角形与Rt△ABC相似，则PD的长为________．
解析：分三种情况考虑：如图①，过点P作PD⊥AC于点D，则∠ADP＝∠C.又∵∠DAP＝∠CAB，∴△ADP∽△ACB，∴＝，即＝，解得PD＝.如图②，过点P作PD⊥BC于点D，则∠PDB＝∠C.又∵∠PBD＝∠ABC，∴△PBD∽△ABC，∴＝，即＝，解得PD＝.如图③，过点P作PD⊥AB交AC于点D，则∠APD＝∠ACB.又∵∠DAP＝∠BAC，∴△ADP∽△ABC，∴＝，即＝，∴PD＝.
三、解答题
11.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M是斜边BC的中点，BN⊥AM，垂足为N，且BN的延长线交AC于点D.
（1）求证：△ABC∽△ADB；
（2）如果BC＝20，BD＝15，求AB的长．
解析：（1）证明：∵M是Rt△ABC中斜边BC的中点，∴AM＝CM，∴∠MAC＝∠C.
∵∠MAC＋∠BAN＝90°，∠ABD＋∠BAN＝90°，
∴∠MAC＝∠ABD，∴∠C＝∠ABD.
又∵∠BAC＝∠DAB，∴△ABC∽△ADB.
（2）∵△ABC∽△ADB，∴＝＝＝.
设AC＝4x，AB＝3x，可得(4x)2＋(3x)2＝202，
解得x＝4(负值已舍去)，∴AB＝3x＝12.
12.如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，且，求证：BD⊥CD．
解析：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，
又∵，∴△ABD∽△DCB，
∴∠A＝∠BDC，
∵∠A＝90°，∴∠BDC＝90°，∴BD⊥CD?．
13.如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F.若BC＝4，∠CBD＝30°，求DF的长．
解析：如图，连接DE.
在Rt△BDC中，BC＝4，∠DBC＝30°，
∴DC＝BC＝2，由勾股定理得BD＝2
.
∵∠BDC＝90°，E是BC的中点，
∴DE＝BE＝CE＝BC＝2.
∵∠DBC＝30°，∴∠BDE＝∠DBC＝30°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°，
∴∠ABD＝∠BDE，∴DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，∴＝.
在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，BD＝2
，
∴AD＝，由勾股定理得AB＝3，
∴＝＝，∴＝，
∴DF＝BD＝×2
＝.
14.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC＝6，BC＝8，求线段AD的长．
解析：（1）证明：∵∠C＝90°，△ACD沿AD折叠得到△AED，
∴∠C＝∠AED＝90°，
∴∠DEB＝∠C＝90°.
又∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAC.
（2）由勾股定理，得AB＝10.
由折叠的性质知，AE＝AC＝6，DE＝CD，∠AED＝∠C＝90°，
∴BE＝AB－AE＝10－6＝4.
∵△BDE∽△BAC，
∴＝，即＝，
∴DE＝3，∴CD＝DE＝3.
在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2＋CD2＝AD2，即62＋32＝AD2，解得AD＝3
.
能力提升
思维拓展
探究重点
1.如图，△ABC和△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠PDE＝90°.
（1）若将△DEP的顶点P放在BC上(如图①)，PD，PE分别与AC，AB相交于点F，G.求证：△PBG∽△FCP；
（2）若使△DEP的顶点P与顶点A重合(如图②)，PD，PE分别与BC相交于点F，G.试问△PBG与△FCP还相似吗？为什么？
解析：（1）证明：∵△ABC和△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠PDE＝90°，
∴∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，
∴∠BPG＋∠CPF＝135°.
在△BPG中，∵∠B＝45°，
∴∠BPG＋∠BGP＝135°，
∴∠BGP＝∠CPF.
又∵∠B＝∠C，∴△PBG∽△FCP.
（2）△PBG与△FCP相似．理由如下：
∵△ABC和△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠PDE＝90°，
∴∠B＝∠C＝∠DPE＝45°.
∵∠BGP＝∠C＋∠CPG＝45°＋∠CAG，
∠CPF＝∠FPG＋∠CAG＝45°＋∠CAG，
∴∠BGP＝∠CPF，
又∵∠B＝∠C，∴△PBG∽△FCP.
2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(0，6)，C是线段AB的中点．在x轴上是否存在一点P，使得以P，A，C为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解析：因为A(8，0)，B(0，6)，C为AB的中点，
所以AO＝8，BO＝6，由勾股定理，得AB＝10，
所以AC＝AB＝5.
（1）若∠CPA＝90°，则△CPA∽△BOA，
此时AP∶AO＝AC∶AB，
即AP∶8＝1∶2，
解得AP＝4，所以OP＝4，
所以点P坐标为(4，0)；
（2）若∠PCA＝90°，则△APC∽△ABO，
所以AP∶AB＝AC∶AO，即AP∶10＝5∶8，
解得AP＝6.25，所以OP＝8－6.25＝1.75，
所以点P的坐标为(1.75，0)．
综上所述，符合条件的点P的坐标为(4，0)或(1.75，0)．
