第1章
有理数
1.1
正数和负数
学习要求
1、了解正数、负数、有理数的概念，会用正数和负数表示相反意义的量．
知识点一：正数和负数的定义
例1．在﹣2、+、﹣3、2、0、4、5、﹣1中，负数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
变式1．下列各数：（﹣3）2，0，﹣（﹣）2，，（﹣1）2009，﹣22，﹣（﹣8），﹣|﹣|中，负数有（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
变式2．在下列数：+3、+（﹣2.1）、﹣、﹣π、0、﹣|﹣9|中，正数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
知识点二：用正数和负数表示具有相反意义的量
例2．在下列选项中，具有相反意义的量是（ ）
A．收入20元与支出30元
B．上升了6米和后退了7米
C．卖出10斤米和盈利10元
D．向东行30米和向北行30米
变式1．中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，如果收入120元记作+120元，那么﹣100元表示（ ）
A．支出20元
B．收入20元
C．支出100元
D．收入100元
变式2．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利50元记作+50元，那么亏本30元记作：（ ）
A．﹣30元
B．﹣50元
C．+50元
D．+30元
变式3．如果“盈利5%”记作+5%，那么﹣3%表示（ ）
A．亏损3%
B．亏损8%
C．盈利2%
D．少赚3%
变式4．某乡白梨的包装质量为每箱10千克，现抽取8箱样品进行检测，结果称重如下（单位：千克）：10.2，9.9，9.8，10.1，9.6，10.1，9.7，10.2，为了求得8箱样品的总质量，我们可以选取的一个恰当的基准数进行简化运算．
原质量（千克）
10.2
9.9
9.8
9.6
10.1
9.7
10.2
与基准数的差距（千克）
（1）你认为选取的一个恰当的基准数为 10 千克；
（2）根据你选取的基准数，用正、负数填写上表；
（3）这8箱水果的总质量是多少？
拓展点一：正负数的分类
例3．在数﹣8，+4.3，﹣|﹣2|，0，﹣（﹣50），﹣，3
中负数有
，整数有
．
变式1．下列各数：6，﹣3，8，123，﹣12，0，﹣57，3，0.3中，是正数的有
个．
拓展点二：用正负数表示海拔高度
例4．吐鲁番盆地低于海平面155m，记作﹣155m，屏山县五指山主峰老君山高于海平面2008m，记作：
m．
变式1．上升了﹣5米，实际上是
了
米；如果比海平面低100米记作﹣100米，那么+3800米表示
．
变式2．陆地上最高处是珠穆朗玛峰顶，高出海平面约8848m，记为+8848m；陆地上最低处是地处亚洲西部的死海，低于海平面约415m，记为
m．
变式3．如果规定海平面以上的高度为正，则海鸥在海面以上2.5米处，可记为
米，鱼在海面以下3米处，可记为
米．
拓展点三：用正负数表示数据是否达到合格要求
例5．有四包真空包装的火腿肠，每包以标准质量450g为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数．下面的数据是记录结果，其中与标准质量最接近的是（ ）
A．+2
B．﹣3
C．+4
D．﹣1
变式1．某部分检测一种零件，零件的标准长度是6cm，超过的长度用正数表示，不足的长度用负数表示，抽查了5个零件，其结果如下：①﹣0.002，②+0.015，③+0.02，④﹣0.018
⑤﹣0.008，这5个零件中最接近标准长度的是
（填序号）．
变式2．为迎接2008年北京奥运会，某体育用品公司通过公开招标，接到一批生产比赛用的篮球业务，而比赛用的篮球质量有严格规定，其中误差±5g符合要求，现质检员从中抽取6个篮球进行检查，检查结果如下表：单位：g
①
②
③
④
⑤
⑥
+3
﹣2
+4
﹣6
+1
﹣3
（1）有几个篮球符合质量要求？
（2）其中质量最接近标准的是几号球？为什么？
变式3．在一次食品安检中，抽查某企业10袋奶粉，每袋取出100克，检测每100克奶粉蛋白质含量与规定每100克含量（蛋白质）比较，不足为负，超过为正，记录如下：（注：规定每100g奶粉蛋白质含量为15g）
﹣3，﹣4，﹣5，+1，+3，+2，0，﹣1.5，+1，+2.5
（1）求平均每100克奶粉含蛋白质为多少？
（2）每100克奶粉含蛋白质不少于14克为合格，求合格率为多少？
拓展点四：用正负数的意义表示产品合格的范围
例6．一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，则下列面粉中合格的是（ ）
A．24.70千克
B．25.30千克
C．24.80千克
D．25.51千克
变式1．某种零件，标明要求是φ：20±0.02
mm（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9
mm，该零件
（填“合格”或“不合格”）．
变式2．小明的妈妈在超市买了一瓶消毒液，发现在瓶上印有这样一段文字：“净含量（750±5）ml”，这瓶消毒液至少有
ml．
变式3．一袋面粉上标有30±0.5（kg），说明这袋面粉重量在
和
千克之间．
变式4．一种零件的内径尺寸在图纸上是8±0.04（m），加工要求最大不超过
，最小不低于
．
易错点一：负数的意义理解不清
例7．水面上升-8m的含义是什么？
易错点二：表达信息不准确
例8．珠穆朗玛峰的海拔高度8844m的含义是什么？
易错点三：正负数定义理解不准确
例9．判断：带正号的数是正数，带负号的数是负数。第1章
有理数
1.1
正数和负数
学习要求
1、了解正数、负数、有理数的概念，会用正数和负数表示相反意义的量．
知识点一：正数和负数的定义
例1．在﹣2、+、﹣3、2、0、4、5、﹣1中，负数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【考点】11：正数和负数．
【分析】根据负数的定义逐一判断即可．
【解答】解：在﹣2、+、﹣3、2、0、4、5、﹣1中，负数有在﹣2、﹣3、﹣1共3共个．
故选：C．
【点评】本题考查了负数的定义：小于0的数是负数．
变式1．下列各数：（﹣3）2，0，﹣（﹣）2，，（﹣1）2009，﹣22，﹣（﹣8），﹣|﹣|中，负数有（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【考点】11：正数和负数．
【分析】负数是小于零的数，由此进行判断即可．
【解答】解：（﹣3）2=9，﹣（﹣）2=﹣，（﹣1）2009=﹣1，﹣22=﹣4，﹣（﹣8）=8，﹣|﹣|=，
则所给数据中负数有：﹣（﹣）2、（﹣1）2009、﹣22、﹣|﹣|，共4个．
故选C．
【点评】本题考查了正数和负数的知识，解答本题的关键是掌握负数的定义．
变式2．在下列数：+3、+（﹣2.1）、﹣、﹣π、0、﹣|﹣9|中，正数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【考点】11：正数和负数．
【分析】根据负数和正数的定义即可求解．
【解答】解：+3是正数，
+（﹣2.1）=﹣2.1是负数，
﹣是负数，
﹣π是负数，
0既不是正数也不是负数，
﹣|﹣9|=﹣9是负数．
正数有：+3．
故选：A．
【点评】此题考查了正数与负数，断一个数是正数还是负数，要把它化简成最后形式再判断．
知识点二：用正数和负数表示具有相反意义的量
例2．在下列选项中，具有相反意义的量是（ ）
A．收入20元与支出30元
B．上升了6米和后退了7米
C．卖出10斤米和盈利10元
D．向东行30米和向北行30米
【考点】11：正数和负数．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：A、收入20元与支出30元是相反意义的量，故A正确；
故选：A．
【点评】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
变式1．中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，如果收入120元记作+120元，那么﹣100元表示（ ）
A．支出20元
B．收入20元
C．支出100元
D．收入100元
【考点】11：正数和负数．
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【解答】解：如果收入120元记作+120元，那么﹣100元表示支出100元，
故选：C．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
变式2．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利50元记作+50元，那么亏本30元记作：（ ）
A．﹣30元
B．﹣50元
C．+50元
D．+30元
【考点】11：正数和负数．
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案．
【解答】解：如果盈利50元记作+50元，那么亏本30元记作﹣30元，
故选A．
【点评】此题考查了正数与负数，熟练掌握相反意义量的定义是解本题的关键．
变式3．如果“盈利5%”记作+5%，那么﹣3%表示（ ）
A．亏损3%
B．亏损8%
C．盈利2%
D．少赚3%
【考点】11：正数和负数．
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【解答】解：∵“盈利5%”记作+5%，
∴﹣3%表示表示亏损3%．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
变式4．某乡白梨的包装质量为每箱10千克，现抽取8箱样品进行检测，结果称重如下（单位：千克）：10.2，9.9，9.8，10.1，9.6，10.1，9.7，10.2，为了求得8箱样品的总质量，我们可以选取的一个恰当的基准数进行简化运算．
原质量（千克）
10.2
9.9
9.8
9.6
10.1
9.7
10.2
与基准数的差距（千克）
（1）你认为选取的一个恰当的基准数为 10 千克；
（2）根据你选取的基准数，用正、负数填写上表；
（3）这8箱水果的总质量是多少？
【考点】11：正数和负数．
【分析】（1）选取包装质量作为基准数即可．
（2）将8箱样品的质量分别减去基准数，将所得的结果填入表中即可．
（3）利用基准数求和，可根据和=基准数×个数+浮动数，来得出8箱水果的总重量．
【解答】解：（1）选取的一个恰当的基准数为10千克；
（2）10.2﹣10=+0.2，9.9﹣10=﹣0.1，9.8﹣10=﹣0.2，10.1﹣10=+0.1，9.6﹣10=﹣0.4，10.1﹣10=+0.1，9.7﹣10=﹣0.3，10.2﹣10=+0.2，
填表如下：
原质量（千克）
10.2
9.9
9.8
9.6
10.1
9.7
10.2
与基准数的差距（千克）
+0.2
﹣0.1
﹣0.2
﹣0.4
+0.1
﹣0.3
+0.2
（3）10×8+（+0.2﹣0.1﹣0.2+0.1﹣0.4+0.1﹣0.3+0.2）
=80﹣0.4
=79.6（kg）．
答：这8箱水果的总质量是79.6kg．
【点评】考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，弄清基准数、原数、浮动数之间的关系．
拓展点一：正负数的分类
例3．在数﹣8，+4.3，﹣|﹣2|，0，﹣（﹣50），﹣，3
中负数有 ﹣8，﹣|﹣2|，﹣ ，整数有 ﹣8，﹣|﹣2|，0，﹣（﹣50），3 ．
【考点】11：正数和负数．
【分析】根据小于零的数是负数，可得负数；根据分母为1的数是正数，可得整数集合；
【解答】解：在数﹣8，+4.3，﹣|﹣2|，0，﹣（﹣50），﹣，3
中负数有﹣8，﹣|﹣2|，﹣，整数有﹣8，﹣|﹣2|，0，﹣（﹣50），3，
故答案为：﹣8，﹣|﹣2|，﹣；﹣8，﹣|﹣2|，0，﹣（﹣50），3．
【点评】本题考查了正数和负数，小于零的数是负数，先化简再判断．
变式1．下列各数：6，﹣3，8，123，﹣12，0，﹣57，3，0.3中，是正数的有 5 个．
【考点】11：正数和负数．
【分析】根据正数是大于零的数，可得答案．
【解答】解：正数的有
6，8，123，3，0.3，
故答案为：5．
【点评】本题考查了正数和负数，大于零的数是正数是解题关键，注意零既不是正数页不是负数．
拓展点二：用正负数表示海拔高度
例4．吐鲁番盆地低于海平面155m，记作﹣155m，屏山县五指山主峰老君山高于海平面2008m，记作： 2008 m．
【考点】11：正数和负数．
【分析】根据正负数的意义即可求出答案
【解答】解：故答案为：2008
【点评】本题考查正负数的意义，属于基础题型
变式1．上升了﹣5米，实际上是 下降 了 5 米；如果比海平面低100米记作﹣100米，那么+3800米表示 比海平面高3800米 ．
【考点】11：正数和负数．
【分析】利用正负数的意义：表示意义相反的两种量；上升﹣5米就表示比原来下降5米；以海平面为标准，高于海平面记作正，低于海平面记作负，由此直接填空即可．
【解答】解：上升了﹣5米，实际上是下降了5米；如果比海平面低100米记作﹣100米，那么+3800米表示比海平面高3800米．
故答案为：下降，5；比海平面高3800米．
【点评】此题考查正负数的意义，要找请标准，在标准以上为正，标准以下为负．
变式2．陆地上最高处是珠穆朗玛峰顶，高出海平面约8848m，记为+8848m；陆地上最低处是地处亚洲西部的死海，低于海平面约415m，记为 ﹣415
m．
【考点】11：正数和负数．
【分析】根据题意可以得到低于海平面约415m，记作多少，本题得以解决．
【解答】解：∵高出海平面约8848m，记为+8848m，
∴低于海平面约415m，记为﹣415m，
故答案为：﹣415．
【点评】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义．
变式3．如果规定海平面以上的高度为正，则海鸥在海面以上2.5米处，可记为 +2.5 米，鱼在海面以下3米处，可记为 ﹣3 米．
【考点】11：正数和负数．
【分析】通常把海平面的海拔高度记作0米，海平面以上的高度用正数表示，海平面以下的高度用负数表示．据此可求得答案．
【解答】解：海鸥在海面以上2.5米处，可记为+2.5米，鱼在海面以下3米处，可记为﹣3米．
故答案为：+2.5，﹣3．
【点评】本题主要是考查负数的意义及其应用，是基础题型．
拓展点三：用正负数表示数据是否达到合格要求
例5．有四包真空包装的火腿肠，每包以标准质量450g为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数．下面的数据是记录结果，其中与标准质量最接近的是（ ）
A．+2
B．﹣3
C．+4
D．﹣1
【考点】11：正数和负数．
【分析】根据正负数的意义，绝对值最小的即为最接近标准的．
【解答】解：|2|=2，|﹣3|=3，|+4|=4，|﹣1|=1，
∵1＜2＜3＜4，
∴从轻重的角度来看，最接近标准的是记录为﹣1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
变式1．某部分检测一种零件，零件的标准长度是6cm，超过的长度用正数表示，不足的长度用负数表示，抽查了5个零件，其结果如下：①﹣0.002，②+0.015，③+0.02，④﹣0.018
⑤﹣0.008，这5个零件中最接近标准长度的是 ① （填序号）．
【考点】11：正数和负数．
【分析】根据正负数的意义，与标准尺寸差值的绝对值越小与符合标准解答．
【解答】解：①|﹣0.002|=0.002，②|+0.015|=0.015，③|+0.02|=0.02，④|﹣0.018|=0.018，⑤|﹣0.008|=0.008，
∵|﹣0.002|=0.002在所检查的零件中绝对值最小，
∴它最接近标准长度，
故答案为：①．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
变式2．为迎接2008年北京奥运会，某体育用品公司通过公开招标，接到一批生产比赛用的篮球业务，而比赛用的篮球质量有严格规定，其中误差±5g符合要求，现质检员从中抽取6个篮球进行检查，检查结果如下表：单位：g
①
②
③
④
⑤
⑥
+3
﹣2
+4
﹣6
+1
﹣3
（1）有几个篮球符合质量要求？
（2）其中质量最接近标准的是几号球？为什么？
【考点】11：正数和负数．
【专题】27
：图表型．
【分析】（1）根据题意，只要每个篮球的质量标记的正负数的绝对值不大于5的，即符合质量要求；
（2）篮球的质量标记的正负数的绝对值越小的越接近标准．
【解答】解：（1）|+3|=3，|﹣2|=2，|﹣4|=4，|﹣6|=6，|+1|=1，|﹣3|=3；
只有第④个球的质量，绝对值大于5，不符合质量要求，其它都符合，所以有5个篮球符合质量要求．
（2）因|+1|=1在6个球中，绝对值最小，所以⑤号球最接近标准质量．
【点评】本题主要考查了正负数表示相反意义的量，注意绝对值越小的越接近标准．
变式3．在一次食品安检中，抽查某企业10袋奶粉，每袋取出100克，检测每100克奶粉蛋白质含量与规定每100克含量（蛋白质）比较，不足为负，超过为正，记录如下：（注：规定每100g奶粉蛋白质含量为15g）
﹣3，﹣4，﹣5，+1，+3，+2，0，﹣1.5，+1，+2.5
（1）求平均每100克奶粉含蛋白质为多少？
（2）每100克奶粉含蛋白质不少于14克为合格，求合格率为多少？
【考点】11：正数和负数．
【分析】（1）平均每100克奶粉含蛋白质为：标准克数+其余数的平均数，把相关数值代入即可求解；
（2）找到合格的奶粉的数目，除以总数目即为所求的合格率．
【解答】解：（1）+15=14.6（g）；
（2）其中﹣3，﹣4，﹣5，﹣1.5为不合格，那么合格的有6个，合格率为=60%．
【点评】用到的等量关系为：平均数=标准+和标准相比其余数的平均数；合格率等于合格数目与总数目之比．
拓展点四：用正负数的意义表示产品合格的范围
例6．一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，则下列面粉中合格的是（ ）
A．24.70千克
B．25.30千克
C．24.80千克
D．25.51千克
【考点】11：正数和负数．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：“25±0.25千克”表示合格范围在25上下0.25的范围内的是合格品，即24.75到25.25之间的合格，
故只有24.80千克合格．
故选：C．
【点评】此题考查正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
变式1．某种零件，标明要求是φ：20±0.02
mm（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9
mm，该零件 不合格 （填“合格”或“不合格”）．
【考点】11：正数和负数．
【专题】12
：应用题．
【分析】φ20±0.02
mm，知零件直径最大是20+0.02=20.02，最小是20﹣0.02=19.98，合格范围在19.98和20.02之间．
【解答】解：零件合格范围在19.98和20.02之间．19.9＜19.98，所以不合格．
故答案为：不合格．
【点评】本题考查数学在实际生活中的应用．
变式2．小明的妈妈在超市买了一瓶消毒液，发现在瓶上印有这样一段文字：“净含量（750±5）ml”，这瓶消毒液至少有 745 ml．
【考点】11：正数和负数．
【专题】12
：应用题．
【分析】根据瓶体上净含量的说明，可判断出瓶内消毒液的质量范围，从而可求出这瓶消毒液的最少含量．
【解答】解：根据“净含量（750±5）ml”，可得：消毒液的质量在745ml至755ml之间；故这瓶消毒液至少还有745ml．
【点评】能够根据正、负数的性质，正确的判断出消毒液的质量范围是解答此题的关键．
变式3．一袋面粉上标有30±0.5（kg），说明这袋面粉重量在 29.5 和 30.5 千克之间．
【考点】11：正数和负数．
【分析】根据正数和负数的意义进行填空即可．
【解答】解：袋面粉上标有30±0.5（kg），
责面粉最多为30+0.5=30.5千克，
最少为30﹣0.5=29.5千克；
故答案为29.5；30.5．
【点评】本题主要考查了正数和负数的知识，理解正数和负数的意义是解题的关键．
变式4．一种零件的内径尺寸在图纸上是8±0.04（m），加工要求最大不超过 8.04 ，最小不低于 7.96 ．
【考点】11：正数和负数．
【分析】根据正数与负数表示相反意义的量得到8±0.04（m）的含义为最大不超过8+0.04m，最小不超过8﹣0.04m，然后回答问题．
【解答】解：零件的内径尺寸在图纸上是8±0.04（m），加工要求最大不超过8+0.04=8.04m，最小不低于8﹣0.04=7.96m，
故答案为8.04；7.96．
【点评】本题考查了正数和负数：用正数与负数表示相反意义的量，此题基础题，比较简单．
易错点一：负数的意义理解不清
例7．水面上升-8m的含义是什么？
【解答】上升-8m的含义是水面下降8m。
【点评】常见错误以为上升8m，没有掌握负数的意义。
易错点二：表达信息不准确
例8．珠穆朗玛峰的海拔高度8844m的含义是什么？
【解答】珠穆朗玛峰比海平面高8844m。
【点评】常见错误珠穆朗玛峰高8844m，珠穆朗玛峰比海面高8844m，珠穆朗玛峰比地面高8844m。
易错点三：正负数定义理解不准确
例9．判断：带正号的数是正数，带负号的数是负数。
【解答】说法错误。
【点评】判断一个数正负性，不是看符号，而是与0比较大小。
