第1章
有理数
1.4
有理数的乘除法
学习要求
1、会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算．
2、理解除法与乘法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算．
知识点一：有理数的乘法法则
例1．计算﹣1×2的结果是（ ）
A．1
B．2
C．﹣3
D．﹣2
变式1．（﹣15）×7．
变式2．（﹣3）×|﹣2|
知识点二：倒数
例2．的倒数是（ ）
A．﹣3
B．
C．3
D．
变式1．﹣2017的倒数是（ ）
A．2017
B．﹣2017
C．
D．﹣
变式2．已知□×（﹣）=﹣1，则□等于（ ）
A．
B．2016
C．2017
D．2018
变式3．填表：
原 数
﹣2.5
相反数
3
﹣7
倒 数
绝对值
变式4．写出下列各数的倒数：
（1）﹣15；
（2）；
（3）﹣0.25；
（4）0.13；
（5）4；
（6）﹣5．
知识点三：多个有理数的乘法
例3．算式（﹣1）×（﹣3）×之值为何？（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1．（2014秋?宝坻区校级期末）1.6×（﹣1）×（﹣2.5）×（﹣）
变式2．计算．
（1）；
（2）（﹣0.1）×1000×（﹣0.01）；
（3）2.3×4.1×0×（﹣7）；
（4）．
知识点四：有理数的乘法运算律
例4．计算
（1）（﹣2）×4×（﹣3）
（2）（+﹣）×12．
变式1．用简便方法计算：
①；
②；
③；
④﹣989×（﹣9）+989×（﹣19）﹣（﹣989）×10．
变式2．计算：
（1）
（2）．
变式3．（1）；
（2）；
（3）；
（4）（﹣8）×（﹣12）×（﹣0.125）×（﹣）×（﹣0.1）．
变式4．计算下列各式：
（1）（﹣4）×1.25×（﹣8）；
（2）×（﹣2.4）×；
（3）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×（0.01）；
（4）9×15；
（5）﹣100×﹣0.125×35.5+14.5×（﹣12.5%）；
（6）（1﹣2）×（2﹣3）×（3﹣4）×（4﹣5）×…（19﹣20）．
知识点五：有理数的除法
例5．计算（﹣16）÷8的结果等于（ ）
A．
B．﹣2
C．3
D．﹣1
变式1．（2014秋?山西校级月考）（1）两数的积是1，已知一数是﹣2，求另一数；
（2）两数的商是﹣3，已知被除数4，求除数．
变式2．计算：
（1）（﹣36）÷9
（2）（﹣）×（﹣3）÷（﹣1）÷3．
变式3．计算：
（1）﹣5÷（﹣1）；
（2）（﹣）÷（﹣）÷（﹣1）．
知识点六：有理数乘除混合运算
例6．计算
（1）（﹣）×（﹣）×0×
（2）
（3）（﹣﹣）×（﹣24）
（4）．
知识点七：有理数四则混合运算
例7．计算
（1）（﹣3）×（﹣9）﹣8×（﹣5）
（2）﹣63÷7+45÷（﹣9）
（3）（﹣）×1÷（﹣1）
（4）（1﹣+）×（﹣48）．
变式1．计算
（1）；
（2）．
（3）；
（4）．
变式2．怎样算简便就怎样算
（1）2÷+3×
（2）÷25%﹣÷0.75．
变式3．计算：
（1）（﹣）÷（﹣﹣）；
（2）（﹣28+14）÷7．
变式4．计算
（1）5.02﹣1.37﹣2.63
（2）72×（﹣+﹣）
（3）×[÷（﹣）]
（4）[﹣（﹣）÷]÷．
变式5．计算
（1）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13
（2）﹣22+|5﹣8|+24÷（﹣3）×．
变式6．计算下列各题
①（﹣7）+5﹣（﹣3）+（﹣4）；
②4×（﹣3）﹣|﹣|×（﹣2）+6；
③（﹣+）×（﹣42）；
④﹣1+5÷（﹣）×4．
拓展点一：概念、法则的理解问题
例8．若a+b＜0，ab＜0，则（ ）
A．a＞0，b＞0
B．a＜0，b＜0
C．a，b两数一正一负，且正数的绝对值大于负数的绝对值
D．a，b两数一正一负，且负数的绝对值大于正数的绝对值
变式1．若a+b＜0，ab＜0，则下列说法正确的是（ ）
A．a、b同号
B．a、b异号且负数的绝对值较大
C．a、b异号且正数的绝对值较大
D．以上均有可能
变式2．下列说法中错误的是（ ）
A．一个数同0相乘，仍得0
B．一个数同1相乘，仍是原数
C．一个数同﹣1相乘得原数的相反数
D．互为相反数的积是1
变式3．如果两个数的和是正数，这两个数的积是负数，那么这两个数（ ）
A．都是正数
B．都是负数
C．异号的两个数，并且正数的绝对值较大
D．异号的两个数，并且负数的绝对值较大
变式4．若a、b为两个有理数，且ab＜0，a+b＜0，则（ ）
A．a、b都是正数
B．a、b都是负数
C．a、b异号，且正数的绝对值大
D．a、b异号，且负数的绝对值大
变式5．不计算，只判断下列结果的符号：
（1）（﹣6）+（﹣4）
（2）（+9）+（﹣4）
（3）（﹣7）﹣（﹣4）
（4）（﹣6）×（+3）×2×（﹣1）
拓展点二：学科内知识的综合
例9．写出符合下列条件的数：
（1）最小的正整数：
；
（2）绝对值最小的有理数：
；
（3）绝对值大于3且小于6的所有负整数：
；
（4）在数轴上，与表示﹣1的点距离为5的所有数：
；
（5）倒数等于本身的数：
；
（6）绝对值等于它的相反数的数：
．
变式1．如图，已知点A在数轴上，从点A出发，沿数轴向右移动3个单位长度到达点C，点B所表示的有理数是5的相反数，按要求完成下列各小题．
（1）请在数轴上标出点B和点C；
（2）求点B所表示的有理数与点C所表示的有理数的乘积；
（3）若将该数轴进行折叠，使得点A和点B重合，则点C和数
所表示的点重合．
变式2．已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，m是绝对值等于2的数，求式子（a+b）+m﹣cd+m．
拓展点三：乘除运算中的一些技巧
例10．﹣99×36．
变式1．用简便方法计算：
（1）﹣13×﹣0.34×+×（﹣13）﹣×0.34
（2）（﹣﹣+﹣）×（﹣60）
变式2．简便计算
（1）（﹣48）×0.125+48×
（2）（）×（﹣36）
变式3．用简便算法计算下列各题．
（1）
（2）．
拓展点四：有理数乘除法在实际生活中的应用问题
例11．小刘、小张两位同学玩数学游戏，小刘说“任意选定一个数，然后按下列步骤进行计算：加上20，乘以2，减去4，除以2，再减去你所选定的数”，小张说“不用算了，无论我选什么数，结果总是18”，小张说得对吗？说明理由．
变式1．某班抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：
+8，﹣3，+12，﹣7，﹣10，﹣3，﹣8，+1，0，+10．
（1）这10名同学中最高分是多少？最低分是多少？
（2）10名同学中，低于80分的所占的百分比是多少？
（3）10名同学的平均成绩是多少？
变式2．某自行车厂一周计划每日生产400辆自行车，由于人数和操作原因，每日实际生产量分别为405辆、393辆、397辆、410辆、391辆、385辆、405辆．
（1）用正负数表示每日实际生产量与计划量的增减情况；
（2）该车厂本周实际共生产多少辆自行车？平均每日实际生产多少辆自行车？
变式3．已知海拔每升高1
000m，气温下降6℃，某人乘热气球旅行，在地面时测得温度是8℃，当热气球升空后，测得高空温度是﹣1℃．求热气球的高度．
变式4．一辆货车从超市出发，向东走3千米到达小李家，继续向东走1.5千米到达小张家，然后又回头向西走9.5千米到达小陈家，最后回到超市．
（1）以超市为原点，向东为正，以1个单位长表示1千米，在数轴上表示出上述位置．
（2）小陈家距小李家多远？
（3）若货车每千米耗油0.5升，这趟路货车共耗油多少升？
变式5．东东有5张卡片写着不同的数字的卡片：
他想从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大．你知道应该如何抽取吗？最大的乘积是多少吗？
变式6．李老师利用假期带领7名学生到市区社会实践，汽车票每张原价为30元，现在有两种优惠方案：第一种方案是所有成员全部打8折；第二种方案是学生打9折，教师免票．请问李老师他们应该采用哪种方案乘车比较合算？
变式7．某粮食加工厂从生产的粮食中抽出20袋检查质量，以每袋50千克为标准，将超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，结果记录如下：
与标准质量的偏差：
单位（千克）
﹣0.7
﹣0.5
﹣0.2
0
+0.4
+0.5
+0.7
袋数
1
3
4
5
3
3
1
问：这20袋大米共超重或不足多少千克？总质量为多少千克？
变式8．某日下午，出租车司机小王在南北走向的南海大道上运营．如果规定向南为正，向北为负，出租车的行车情况记录如下（单位：千米）：
+15，﹣4，+13，﹣10，﹣12，+3，﹣17．将最后一名乘客送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少千米？如果每百公里耗油10升，那么小王下午耗油多少升？
拓展点五：作商比较两个有理数的大小
例12．比较大小：____________
拓展点六：新型题
例13．设[x]表示不大于的所有整数中最大的整数，例如：[1.7]=1，[﹣1.7]=﹣2，根据此规定，完成下列运算：
（1）[2.3]﹣[6.3]
（2）[4]﹣[﹣2.5]
（3）[﹣3.8]×[6.1]
（4）[0]×[﹣4.5]．
变式1．对于正整数a、b，规定一种新运算﹡，a﹡b等于由a开始的连续b个正整数的积，例如：2﹡3=2×3×4=24，5﹡2=5×6=30，那么7﹡（1﹡2）的值等于多少？
变式2．若定义一种新的运算“
”，规定有理数a
b=4ab，如2
3=4×2×3=24．
（1）求3
（﹣4）的值；
（2）求（﹣2）
（6
3）的值．
变式3．若“！”表示一种新运算，并且1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，那么100！÷99！的商是多少？
变式4．阅读下题解答：
计算：．
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：×（﹣24）=﹣16+18﹣21=﹣19．
所以原式=﹣．
根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：．
易错点一：“加”“乘”运算结果符号确定方法不同，二者莫混
例14．计算：
（1）﹣5﹣1
（2）（﹣20）÷5
（3）6﹣[﹣（﹣2）]
（4）2﹣|﹣0.4|
（5）﹣（+20）+（+45）﹣（+80）﹣（﹣35）
（6）（﹣24）÷2×（﹣3）÷（﹣6）
易错点二：运算顺序应注意
例15．计算：
（1）（﹣85）×（﹣25）×（﹣4）；
（2）﹣；
（3）；
（4）．
易错点三：乘法分配律不适用于除法运算
例16．（﹣）÷（﹣+﹣）
变式1．计算：（﹣）÷（﹣+﹣）．
变式2．计算：﹣÷（+﹣）．
变式3．计算：（﹣45）÷[（﹣）÷（﹣）]．
变式4．计算：12÷（﹣3﹣+）．第1章
有理数
1.4
有理数的乘除法
学习要求
1、会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算．
2、理解除法与乘法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算．
知识点一：有理数的乘法法则
例1．计算﹣1×2的结果是（ ）
A．1
B．2
C．﹣3
D．﹣2
【考点】1C：有理数的乘法．
【分析】根据有理数乘法法则来计算．
【解答】解：﹣1×2=﹣（1×2）=﹣2．
故选D．
【点评】有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
变式1．（﹣15）×7．
【考点】1C：有理数的乘法．
【分析】根据有理数的乘法法则；两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，进行计算即可．
【解答】解：原式=﹣（15×7）
=﹣105．
【点评】此题主要考查了有理数的乘法，关键是首先要判断结果的符号，再把绝对值相乘．
变式2．（﹣3）×|﹣2|
【考点】1C：有理数的乘法．
【专题】11
：计算题．
【分析】原式先计算绝对值，再利用异号两数相乘的法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣3×2=﹣6．
【点评】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法法则是解本题的关键．
知识点二：倒数
例2．的倒数是（ ）
A．﹣3
B．
C．3
D．
【考点】17：倒数．
【分析】根据乘积是1的两数互为倒数，即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：﹣×（﹣3）=1，
可得﹣的倒数为﹣3．
故选A．
【点评】本题考查了倒数的性质：乘积是1的两数互为倒数，可得出答案，属于基础题．
变式1．﹣2017的倒数是（ ）
A．2017
B．﹣2017
C．
D．﹣
【考点】17：倒数．
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．
【解答】解：﹣2017的倒数是﹣，
故选：D．
【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
变式2．已知□×（﹣）=﹣1，则□等于（ ）
A．
B．2016
C．2017
D．2018
【考点】1C：有理数的乘法．
【分析】根据□等于﹣1÷（﹣）进行计算即可．
【解答】解：∵2017×（﹣）=﹣1，
∴□等于﹣1÷（﹣）=2017，
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数的乘法，解题时注意：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
变式3．填表：
原 数
﹣2.5
﹣3
﹣5
7
相反数
2.5
3
5
﹣
﹣
﹣7
倒 数
﹣
2
绝对值
2.5
3
5
7
【考点】17：倒数；14：相反数；15：绝对值．
【分析】根据相反数的意义、倒数的意义、绝对值的意义，可得答案．
【解答】解：
原 数
﹣2.5
﹣3
﹣5
7
相反数
2.5
3
5
﹣
﹣
﹣7
倒 数
﹣
2
绝对值
2.5
3
5
7
【点评】本题考查了倒数，根据意义解题是解题关键．
变式4．写出下列各数的倒数：
（1）﹣15；
（2）；
（3）﹣0.25；
（4）0.13；
（5）4；
（6）﹣5．
【考点】17：倒数．
【分析】根据乘积是1的两数互为倒数，求解即可．
【解答】解：（1）﹣15的倒数为：﹣；
（2）的倒数为：；
（3）﹣0.25的倒数为：﹣4；
（4）0.13的倒数为：；
（5）4的倒数为：；
（6）﹣5的倒数为：﹣．
【点评】此题考查倒数的意义和求法：乘积是1的两个数互为倒数，一般在求小数的倒数，先把小数化为分数再求解．
知识点三：多个有理数的乘法
例3．算式（﹣1）×（﹣3）×之值为何？（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】1C：有理数的乘法．
【分析】根据有理数的乘法法则，先确定符号，然后把绝对值相乘即可．
【解答】解：原式=××=．
故选：D．
【点评】本题考查的是有理数的乘法，掌握乘法法则是解题的关键，计算时，先确定符号，然后把绝对值相乘．
变式1．1.6×（﹣1）×（﹣2.5）×（﹣）
【考点】1C：有理数的乘法．
【分析】先把小数化成分数，然后分子与分母进行约分，即可得出答案．
【解答】解：1.6×（﹣1）×（﹣2.5）×（﹣）=×（﹣）×（﹣）×（﹣）=﹣．
【点评】此题考查了有理数的乘法，要把小数化成分数，再进行计算，注意结果的符号．
变式2．计算．
（1）；
（2）（﹣0.1）×1000×（﹣0.01）；
（3）2.3×4.1×0×（﹣7）；
（4）．
【考点】1C：有理数的乘法．
【分析】（1）首先确定积的符号为负，再把绝对值相乘即可；
（2）首先确定积的符号为正，再把绝对值相乘即可；
（3）根据几个数相乘，有一个因数为0，积就为0进行计算即可；
（4）首先确定积的符号为负，再把绝对值相乘即可．
【解答】解：（1）原式=﹣（2××3）=﹣3；
（2）原式=0.1×1000×0.01=1；
（3）原式=0；
（4）原式=﹣（×××）=．
【点评】此题主要考查了有理数的乘法，关键是掌握多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．分别进行计算即可．
知识点四：有理数的乘法运算律
例4．计算
（1）（﹣2）×4×（﹣3）
（2）（+﹣）×12．
【考点】1C：有理数的乘法．
【专题】11
：计算题．
【分析】（1）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；
（2）利用乘法分配律进行计算即可得解．
【解答】解：（1）（﹣2）×4×（﹣3）
=2×4×3
=24；
（2）（+﹣）×12
=×12+×12﹣×12
=3+2﹣6
=﹣1．
【点评】本题考查了有理数的乘法，熟记运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理，能利用运算定律的要利用运算定律使运算更加简便．
变式1．用简便方法计算：
①；
②；
③；
④﹣989×（﹣9）+989×（﹣19）﹣（﹣989）×10．
【考点】1C：有理数的乘法．
【分析】根据乘法分配律简便计算即可求解．
【解答】解：①
=﹣1+×24+×24﹣×24﹣×24
=﹣1+12+16﹣18﹣22
=﹣13；
②
=（﹣100+）×198
=﹣100×198+×198
=﹣19800+2
=﹣19798；
③
=+6.125+
=8；
④﹣989×（﹣9）+989×（﹣19）﹣（﹣989）×10
=989×（9﹣19+10）
=989×0
=0．
【点评】考查了有理数的乘法，注意灵活运用运算律简便计算．
变式2．计算：
（1）
（2）．
【考点】1C：有理数的乘法．
【专题】11
：计算题．
【分析】（1）将带分数化为假分数，然后进行分式乘法运算即可．
（2）运用乘法分配律进行计算即可．
【解答】解：（1）=××=22；
（2）原式=36×﹣36×+36×=24﹣20+21=25．
【点评】此题考查了有理数的乘法运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握乘法的运算法则．
变式3．（1）；
（2）；
（3）；
（4）（﹣8）×（﹣12）×（﹣0.125）×（﹣）×（﹣0.1）．
【考点】1C：有理数的乘法．
【分析】（1）把带分数化为假分数，然后根据有理数的运算法则进行计算即可得解；
（2）把125和8，6和﹣利用乘法交换、结合律进行计算即可得解；
（3）把﹣19写成（﹣20+），然后利用乘法分配律进行计算即可得解；
（4）把（﹣8）与（﹣0.125）交换结合到一起，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：（1）（﹣）××（﹣1）
=﹣××（﹣）
=；
（2）125×3.67×6×8×（﹣）
=125×8×3.67×6×（﹣）
=1000×3.67×（﹣1）
=﹣3670；
（3）36×（﹣19）
=36×（﹣20+）
=﹣20×36+×36
=﹣720+2
=﹣718；
（4）（﹣8）×（﹣12）×（﹣0.125）×（﹣）×（﹣0.1）
=（﹣8）×（﹣0.125）×（﹣12）×（﹣）×（﹣0.1）
=1×4×（﹣0.1）
=﹣0.4．
【点评】本题考查了有理数的乘法，熟记运算法则是解题的关键，注意把带分数化为假分数，利用运算定律可以使计算更加简便．
变式4．计算下列各式：
（1）（﹣4）×1.25×（﹣8）；
（2）×（﹣2.4）×；
（3）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×（0.01）；
（4）9×15；
（5）﹣100×﹣0.125×35.5+14.5×（﹣12.5%）；
（6）（1﹣2）×（2﹣3）×（3﹣4）×（4﹣5）×…（19﹣20）．
【考点】1C：有理数的乘法．
【专题】11
：计算题．
【分析】（1）把带分数化为假分数，小数化为分数，然后根据有理数的乘法法则进行计算即可得解；
（2）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；
（3）利用乘法交换结合律进行计算即可得解；
（4）把9写成（10﹣），然后利用乘法分配律进行计算即可得解；
（5）逆运用乘法分配律进行计算即可得解；
（6）先算小括号里面的，再根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：（1）（﹣4）×1.25×（﹣8）
=（﹣）××（﹣8）
=××8
=；
（2）×（﹣2.4）×
=﹣×2.4×
=﹣1.2；
（3）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×（0.01）
=（﹣100）×（0.01）×（﹣14）×（﹣6）
=﹣1×84
=﹣84；
（4）9×15
=（10﹣）×15
=10×15﹣×15
=150﹣
=149；
（5）﹣100×﹣0.125×35.5+14.5×（﹣12.5%）
=﹣100×0.125﹣0.125×35.5+14.5×（﹣0.125）
=0.125×（﹣100﹣35.5﹣14.5）
=0.125×（﹣150）
=﹣；
（6）（1﹣2）×（2﹣3）×（3﹣4）×（4﹣5）×…×（19﹣20）
=（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）×…×（﹣1）
=﹣1．
【点评】本题考查了有理数的乘法，利用运算定律计算可以使计算更加简便，计算时要注意运算符号的处理．
知识点五：有理数的除法
例5．计算（﹣16）÷8的结果等于（ ）
A．
B．﹣2
C．3
D．﹣1
【考点】1D：有理数的除法．
【分析】根据有理数的除法，同号得负，并把绝对值相除，即可解答．
【解答】解：（﹣16）÷8=﹣2，故选：B．
【点评】本题考查了有理数的除法，解决本题的关键是熟记有理数的除法法则．
变式1．（1）两数的积是1，已知一数是﹣2，求另一数；
（2）两数的商是﹣3，已知被除数4，求除数．
【考点】1C：有理数的乘法；1A：有理数的减法．
【专题】11
：计算题．
【分析】（1）根据“一个因数等于积除以另一个因数”进行计算；
（2）根据“除数等于被除数除以商”进行计算．
【解答】解：（1）1÷（﹣2）=1÷（﹣）=1×（﹣）=﹣；
（2）4÷（﹣3）=﹣1．
【点评】此题考查了有理数乘法和除法的运算法则，要先根据题意列出算式再根据有理数乘除法的法则计算．
变式2．计算：
（1）（﹣36）÷9
（2）（﹣）×（﹣3）÷（﹣1）÷3．
【考点】1D：有理数的除法；1C：有理数的乘法．
【分析】（1）根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数进行计算即可；
（2）首先根据除法法则统一成乘法，然后再确定结果的符号，然后计算即可．
【解答】解：（1）原式=﹣（36+）×，
=﹣（36×+×），
=﹣4；
（2）原式=﹣（×××），
=﹣．
【点评】此题主要考查了有理数的乘除法，关键是正确确定结果的符号，掌握计算法则．
变式3．计算：
（1）﹣5÷（﹣1）；
（2）（﹣）÷（﹣）÷（﹣1）．
【考点】1D：有理数的除法．
【分析】根据有理数的除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数，即可解答．
【解答】解：（1）﹣5÷（﹣1）
=5×
=3．
（2）（﹣）÷（﹣）÷（﹣1）
=﹣
=﹣．
【点评】本题考查了有理数的除法，解决本题的关键是熟记除以一个数等于乘以这个数的倒数．
知识点六：有理数乘除混合运算
例6．计算
（1）（﹣）×（﹣）×0×
（2）
（3）（﹣﹣）×（﹣24）
（4）．
【考点】1D：有理数的除法；1C：有理数的乘法．
【分析】（1）根据任何数同零相乘，都得0可直接得到答案；
（2）首先把除法统一成乘法再进行计算；
（3）利用乘法分配律用﹣24分别乘以括号里的每一项，再约分计算有理数的加减即可；
（4）首先把乘除混合运算统一成乘法，再确定积的符号，把绝对值相乘即可．
【解答】解：（1）原式=0；
（2）原式=（﹣）×（﹣）×（﹣4）=﹣（××4）=﹣；
（3）原式=×（﹣24）﹣×（﹣24）﹣×（﹣24）=﹣20+18+8=6；
（4）原式=3×（﹣）××（﹣）=3×××=．
【点评】此题主要考查了有理数的乘除法，关键是掌握乘除法法则，注意结果符号的判断．
知识点七：有理数四则混合运算
例7．计算
（1）（﹣3）×（﹣9）﹣8×（﹣5）
（2）﹣63÷7+45÷（﹣9）
（3）（﹣）×1÷（﹣1）
（4）（1﹣+）×（﹣48）．
【考点】1D：有理数的除法；1C：有理数的乘法．
【分析】（1）根据有理数的混合运算进行计算，先算乘法，再算加减；
（2）先算除法，再算加法；
（3）把除法转化为乘法，进行计算；
（4）利用乘法的分配律进行简化计算，即可解答．
【解答】解：（1）（﹣3）×（﹣9）﹣8×（﹣5）
=27+40
=67
（2）﹣63÷7+45÷（﹣9）
=﹣9+（﹣5）
=﹣14
（3）
=
=
（4）
=
=﹣48+8﹣36
=﹣76．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是注意运算顺序．
变式1．计算
（1）；
（2）．
（3）；
（4）．
【考点】1D：有理数的除法．
【专题】11
：计算题．
【分析】（1）（2）（3）根据除以一个数等于乘以这数的倒数把除法转化为乘法运算，然后根据有理数的乘法运算法则和加法运算法则进行计算即可得解；
（4）先算小括号里面的，再根据除以一个数等于乘以这数的倒数把除法转化为乘法运算并把带分数化为假分数，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：（1）﹣1÷（﹣）﹣3÷（﹣）
=﹣1×（﹣8）﹣3×（﹣2）
=8+6
=14；
（2）﹣81÷﹣÷（﹣）
=﹣81×3﹣×（﹣9）
=﹣243+3
=﹣240；
（3）﹣1+5÷（﹣）×（﹣6）
=﹣1+5×（﹣6）×（﹣6）
=﹣1+180
=179；
（4）（﹣）÷1÷
=﹣××10
=﹣．
【点评】本题考查了有理数的除法，有理数的乘法，有理数的加减法运算，熟记运算法则和运算顺序是解题的关键，计算时要注意运算符号的处理．
变式2．怎样算简便就怎样算
（1）2÷+3×
（2）÷25%﹣÷0.75．
【考点】1D：有理数的除法；1C：有理数的乘法．
【分析】（1）利用有理数乘除法的法则求解即可，
（2）利用有理数乘除法的法则求解即可．
【解答】解：（1）2÷+3×
=2×+3×，
=3+1，
=4，
（2）÷25%﹣÷0.75．
=÷﹣÷，
=1﹣1，
=0．
【点评】本题主要考查了有理数的除法及有理数的乘法，解题的关键是熟记有理数乘除法的法则．
变式3．计算：
（1）（﹣）÷（﹣﹣）；
（2）（﹣28+14）÷7．
【考点】1D：有理数的除法．
【分析】（1）先算括号内，再用有理数的除法法则运算即；（2）先运用有理数的除法运算法则，然后再运用乘法分配律．
【解答】解：（1）（﹣）÷（﹣﹣）
=（）÷（﹣）
=；
（2）（﹣28+14）÷7
=（+）×
=+×
=+
=．
【点评】本题主要考查了有理数的除法运算法则，掌握运算法则和运算律是解答此题的关键．
变式4．计算
（1）5.02﹣1.37﹣2.63
（2）72×（﹣+﹣）
（3）×[÷（﹣）]
（4）[﹣（﹣）÷]÷．
【考点】1G：有理数的混合运算．
【专题】11
：计算题．
【分析】（1）根据减法的性质计算即可．
（2）根据乘法分配律计算即可．
（3）首先计算小括号里面的减法，然后计算中括号里面的除法，最后计算中括号外面的乘法即可．
（4）首先计算小括号里面的减法，然后计算中括号里面的除法和减法，最后计算中括号外面的除法即可．
【解答】解：（1）5.02﹣1.37﹣2.63
=5.02﹣（1.37+2.63）
=5.02﹣4
=1.02
（2）72×（﹣+﹣）
=72×﹣72×+72×﹣72×
=36﹣24+18﹣6
=12+18﹣6
=24
（3）×[÷（﹣）]
=×[÷]
=×
=4
（4）[﹣（﹣）÷]÷
=[﹣÷]×10
=[﹣]×10
=×10
=1
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意乘法分配律和减法的性质的应用．
变式5．计算
（1）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13
（2）﹣22+|5﹣8|+24÷（﹣3）×．
【考点】1G：有理数的混合运算．
【分析】（1）先化简，再计算即可求解；
（2）按照有理数混合运算的顺序，先乘方后乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的．
【解答】解：（1）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13
=﹣20﹣14+18﹣13
=﹣47+18
=﹣29；
（2）﹣22+|5﹣8|+24÷（﹣3）×
=﹣4+3﹣8×
=﹣4+3﹣2
=﹣3．
【点评】本题考查的是有理数的运算能力．注意：
（1）要正确掌握运算顺序，在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序；
（2）去括号法则：﹣﹣得+，﹣+得﹣，++得+，+﹣得﹣．
变式6．计算下列各题
①（﹣7）+5﹣（﹣3）+（﹣4）；
②4×（﹣3）﹣|﹣|×（﹣2）+6；
③（﹣+）×（﹣42）；
④﹣1+5÷（﹣）×4．
【考点】1G：有理数的混合运算．
【分析】①原式利用减法法则变形，计算即可得到结果；
②原式先计算乘法运算，再计算加减运算即可得到结果；
③原式利用乘法分配律计算即可得到结果；
④原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可得到结果．
【解答】解：①原式=﹣7+5+3﹣4=8﹣11=﹣3；
②原式=﹣12+1+6=﹣5；
③原式=﹣7+30﹣28=﹣5；
④原式=﹣1﹣80=﹣81．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
拓展点一：概念、法则的理解问题
例8．若a+b＜0，ab＜0，则（ ）
A．a＞0，b＞0
B．a＜0，b＜0
C．a，b两数一正一负，且正数的绝对值大于负数的绝对值
D．a，b两数一正一负，且负数的绝对值大于正数的绝对值
【考点】1C：有理数的乘法；19：有理数的加法．
【专题】12
：应用题．
【分析】先根据ab＜0，结合乘法法则，易知a、b异号，而a+b＜0，根据加法法则可知负数的绝对值大于正数的绝对值，解可确定答案．
【解答】解：∵ab＜0，
∴a、b异号，
又∵a+b＜0，
∴负数的绝对值大于正数的绝对值．
故选D．
【点评】本题考查了有理数加法、有理数乘法法则，解题的关键是熟练掌握两个法则的内容，并会灵活运用．
变式1．若a+b＜0，ab＜0，则下列说法正确的是（ ）
A．a、b同号
B．a、b异号且负数的绝对值较大
C．a、b异号且正数的绝对值较大
D．以上均有可能
【考点】1C：有理数的乘法；19：有理数的加法．
【分析】根据有理数的加法和有理数的乘法运算法则进行判断即可．
【解答】解：∵ab＜0，
∴a、b异号，
∵a+b＜0，
∴负数的绝对值较大，
综上所述，a、b异号且负数的绝对值较大．
故选B．
【点评】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法运算，熟记运算法则是解题的关键．
变式2．下列说法中错误的是（ ）
A．一个数同0相乘，仍得0
B．一个数同1相乘，仍是原数
C．一个数同﹣1相乘得原数的相反数
D．互为相反数的积是1
【考点】1C：有理数的乘法．
【分析】根据有理数乘法法则和相反数的定义逐一判断．
【解答】解：A、正确；
B、正确；
C、正确；
D、如0的相反数是0，0×0=0．
故选D．
【点评】解答此题要用到以下概念：
（1）相反数：只有符号不同的两个数称互为相反数，零的相反数是零．
（2）倒数：两数相乘的积为1，这两个数叫互为倒数．
变式3．如果两个数的和是正数，这两个数的积是负数，那么这两个数（ ）
A．都是正数
B．都是负数
C．异号的两个数，并且正数的绝对值较大
D．异号的两个数，并且负数的绝对值较大
【考点】1C：有理数的乘法；19：有理数的加法．
【分析】根据两个数的积是负数得到两个数异号，而两个数的和是正数，由此即可判定这两个数的符号．
【解答】解：∵两个数的积是负数，
∴两个数异号，
而两个数的和是正数，
∴正数的绝对值大于负数的绝对值．
故选C．
【点评】此题比较简单，主要利用了有理数的运算法则来判定两个数的符号．
变式4．若a、b为两个有理数，且ab＜0，a+b＜0，则（ ）
A．a、b都是正数
B．a、b都是负数
C．a、b异号，且正数的绝对值大
D．a、b异号，且负数的绝对值大
【考点】1C：有理数的乘法；19：有理数的加法．
【分析】根据题中已知条件可判断出a、b两个有理数的关系，即可得出答案．
【解答】解：从ab＜0可知，a、b一定异号，从另一个条件a+b＜0可判断出a、b中负数的绝对值较大．
故选D．
【点评】本题考查了有理数的乘法有理数的加法，比较简单，属于基础题，同学们加强训练即可掌握．
变式5．不计算，只判断下列结果的符号：
（1）（﹣6）+（﹣4）
（2）（+9）+（﹣4）
（3）（﹣7）﹣（﹣4）
（4）（﹣6）×（+3）×2×（﹣1）
【考点】1C：有理数的乘法；19：有理数的加法；1A：有理数的减法．
【分析】（1）根据同号两数相加，取相同符号可得答案；
（2）根据异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，可得答案；
（3）根据有理数的减法，先转化成加法，在根据异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号；
（4）根据有理数的乘法，负有理数的个数是偶数个，积为正，可得答案．
【解答】解：（1）（﹣6）+（﹣4）是负号；
（2）9+（﹣4）结果是正号；
（3）（﹣7）﹣（﹣4）=（﹣7）+4结果是负号；
（4）（﹣6）×（+3）×2×（﹣1）结果是正号．
【点评】本题考查了有里数的运算根据法则确定负号是解题关键．
拓展点二：学科内知识的综合
例9．写出符合下列条件的数：
（1）最小的正整数： 1 ；
（2）绝对值最小的有理数： 0 ；
（3）绝对值大于3且小于6的所有负整数： ﹣4，﹣5 ；
（4）在数轴上，与表示﹣1的点距离为5的所有数： 4，﹣6 ；
（5）倒数等于本身的数： ±1 ；
（6）绝对值等于它的相反数的数： 0或负数 ．
【考点】17：倒数；13：数轴；14：相反数；15：绝对值．
【分析】根据正整数、绝对值、负整数、倒数、相反数的定义结合数轴进行解答．
【解答】解：如图．
（1）最小的正整数：1；
（2）绝对值最小的有理数：0；
（3）绝对值大于3且小于6的所有负整数：﹣4，﹣5；
（4）在数轴上，与表示﹣1的点距离为5的所有数：4，﹣6；
（5）倒数等于本身的数：±1；
（6）绝对值等于它的相反数的数：0或负数．
故答案为：1；0；﹣4，﹣5；4，﹣6；±1；0或负数．
【点评】本题考查了正整数、绝对值、负整数、倒数、相反数的定义，利用数形结合是解题的关键．
变式1．如图，已知点A在数轴上，从点A出发，沿数轴向右移动3个单位长度到达点C，点B所表示的有理数是5的相反数，按要求完成下列各小题．
（1）请在数轴上标出点B和点C；
（2）求点B所表示的有理数与点C所表示的有理数的乘积；
（3）若将该数轴进行折叠，使得点A和点B重合，则点C和数 ﹣8 所表示的点重合．
【考点】1C：有理数的乘法；13：数轴；14：相反数．
【分析】（1）将点A向右移动3个单位长度得到点C的位置，依据相反数的定义得到点B表示的数；
（2）依据有理数的乘法法则计算即可；
（3）找出AB的中点，然后可得到与点C重合的数．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）﹣5×2=﹣10．
（3）A、B中点所表示的数为﹣3，点C与数﹣8所表示的点重合．
故答案为：﹣8．
【点评】本题主要考查的是数轴、相反数、有理数的乘法，在数轴上确定出点A、B、C的位置是解题的关键．
变式2．已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，m是绝对值等于2的数，求式子（a+b）+m﹣cd+m．
【考点】17：倒数；14：相反数；15：绝对值．
【分析】根据相反数之和为0，倒数之积等于1，可得a+b=0，cd=1，再根据绝对值的性质可得m=±2，然后代入计算即可．
【解答】解：∵a和b互为相反数，c和d互为倒数，m是绝对值等于2的数，
∴当m=2时，原式=0+2﹣1+2=3；
当m=﹣2时，原式=0﹣2﹣1﹣2=﹣5．
【点评】此题主要考查了代数式求值，关键是掌握相反数之和为0，倒数之积等于1是解题的关键．
拓展点三：乘除运算中的一些技巧
例10．﹣99×36．
【考点】1C：有理数的乘法．
【分析】首先把﹣99×36变为﹣（100﹣）×36，再利用乘法分配律进行计算即可．
【解答】解：原式=﹣（100﹣）×36
=﹣（100×36﹣×36）
=﹣（3600﹣）
=﹣3599．
【点评】此题主要考查了有理数的乘法，关键是注意寻找简便计算方法．
变式1．用简便方法计算：
（1）﹣13×﹣0.34×+×（﹣13）﹣×0.34
（2）（﹣﹣+﹣）×（﹣60）
【考点】1C：有理数的乘法．
【专题】11
：计算题；511：实数．
【分析】（1）首先应用乘法交换律，把﹣13×﹣0.34×+×（﹣13）﹣×0.34化成﹣13×﹣×13﹣×0.34﹣0.34×，然后应用乘法分配律，求出算式的值是多少即可．
（2）应用乘法分配律，求出算式（﹣﹣+﹣）×（﹣60）的值是多少即可．
【解答】解：（1）﹣13×﹣0.34×+×（﹣13）﹣×0.34
=﹣13×﹣×13﹣×0.34﹣0.34×
=﹣13×（+）﹣（+）×0.34
=﹣13×1﹣1×0.34
=﹣13﹣0.34
=﹣13.34
（2）（﹣﹣+﹣）×（﹣60）
=（﹣）×（﹣60）﹣×（﹣60）+×（﹣60）﹣×（﹣60）
=20+15﹣12+28
=51
【点评】（1）此题主要考查了有理数的乘法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）此题还考查了乘法运算定律的应用，要熟练掌握．
变式2．简便计算
（1）（﹣48）×0.125+48×
（2）（）×（﹣36）
【考点】1C：有理数的乘法．
【分析】（1）利用乘法的分配律先提取48，再进行计算即可得出答案；
（2）运用乘法分配律进行计算即．
【解答】解：（1）（﹣48）×0.125+48×
=48×（﹣+﹣）
=0；
（2）（）×（﹣36）
=﹣20+27﹣2
=5．
【点评】此题考查了有理数的乘法，用到的知识点是乘法的分配律，解题的关键是运用乘法分配律进行计算．
变式3．用简便算法计算下列各题．
（1）
（2）．
【考点】1C：有理数的乘法．
【分析】（1）利用乘法的分配律，进行简化计算；
（2）利用乘法的分配律，进行简化计算．
【解答】解：（1）
=（﹣24）
=6﹣4+3﹣2
=3
（2）
=（100﹣）×（﹣13）
=﹣1300+
=﹣1298．
【点评】本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是利用乘法的分配律进行简化计算．
拓展点四：有理数乘除法在实际生活中的应用问题
例11．小刘、小张两位同学玩数学游戏，小刘说“任意选定一个数，然后按下列步骤进行计算：加上20，乘以2，减去4，除以2，再减去你所选定的数”，小张说“不用算了，无论我选什么数，结果总是18”，小张说得对吗？说明理由．
【考点】1D：有理数的除法；19：有理数的加法；1A：有理数的减法．
【分析】设此整数是a，再根据题意列出式子即可．
【解答】解：正确．
理由：设此整数是a，=18．
【点评】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．
变式1．某班抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：
+8，﹣3，+12，﹣7，﹣10，﹣3，﹣8，+1，0，+10．
（1）这10名同学中最高分是多少？最低分是多少？
（2）10名同学中，低于80分的所占的百分比是多少？
（3）10名同学的平均成绩是多少？
【考点】1D：有理数的除法；11：正数和负数．
【专题】12
：应用题．
【分析】（1）根据题意分别让80分加上记录结果中最大的数就是最高分，加上最小数就是最低分；
（2）共有5个负数，即不足80分的共5人，计算百分比即可；
（3）直接让80加上记录结果的平均数即可求算平均成绩．
【解答】解：（1）最高分是80+12=92分，最低分是80﹣10=70分；
（2）低于80分的有5个，所占的百分比是5÷10×100%=50%；
（3）平均分是80+（8﹣3+12﹣7﹣10﹣3﹣8+1+0+10）÷10=80分．
【点评】主要考查了正负数的基本运算，要掌握数的加法和减法法则，才能准确的计算结果．要注意基本数和记录结果之间的关系．
变式2．某自行车厂一周计划每日生产400辆自行车，由于人数和操作原因，每日实际生产量分别为405辆、393辆、397辆、410辆、391辆、385辆、405辆．
（1）用正负数表示每日实际生产量与计划量的增减情况；
（2）该车厂本周实际共生产多少辆自行车？平均每日实际生产多少辆自行车？
【考点】1D：有理数的除法；11：正数和负数；19：有理数的加法．
【专题】12
：应用题．
【分析】（1）在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．比400辆多出的数记作正数，比400辆少的记作负数；
（2）本周实际共生产自行车的辆数=本周内每日实际生产量之和，再除以7即得平均每日实际生产自行车的辆数．
【解答】解：（1）以每日生产400辆自行车为标准，多出的数记作正数，不足的数记作负数，则有
+5，﹣7，﹣3，+10，﹣9，﹣15，+5；
（2）405+393+397+410+391+385+405=2786，2786÷7=398辆．
即总产量为2786辆，平均每日实际生产398辆．
【点评】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学．
变式3．已知海拔每升高1
000m，气温下降6℃，某人乘热气球旅行，在地面时测得温度是8℃，当热气球升空后，测得高空温度是﹣1℃．求热气球的高度．
【考点】1D：有理数的除法．
【专题】11
：计算题．
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：[8﹣（﹣1）]×（1000÷6）=1500（m），
则热气球的高度为1500m．
【点评】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式4．一辆货车从超市出发，向东走3千米到达小李家，继续向东走1.5千米到达小张家，然后又回头向西走9.5千米到达小陈家，最后回到超市．
（1）以超市为原点，向东为正，以1个单位长表示1千米，在数轴上表示出上述位置．
（2）小陈家距小李家多远？
（3）若货车每千米耗油0.5升，这趟路货车共耗油多少升？
【考点】1C：有理数的乘法；11：正数和负数．
【专题】12
：应用题．
【分析】（1）根据数轴与点的对应关系，可知超市在原点，小李家所在的位置表示的数是+3，小张家所在的位置表示的数是+4.5，小陈家所在的位置表示的数是﹣5；（2）3﹣（﹣5）=8；（3）先算这趟路一共有多少千米，再乘以货车每千米耗油的升数．
【解答】解：（1）如下图：点O表示超市，点A表示小李家，点B表示小张家，点C表示小陈家．
（2）从图中可看出小陈家距小李家8千米．
故小陈家距小李家8千米．
（3）0.5×（|+3|+|+1.5|+|﹣9.5|+|﹣5|）=0.5×19=9.5（升）．
故这趟路货车共耗油9.5升．
【点评】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学．
变式5．东东有5张卡片写着不同的数字的卡片：
他想从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大．你知道应该如何抽取吗？最大的乘积是多少吗？
【考点】1C：有理数的乘法．
【专题】11
：计算题．
【分析】分析几个数可知要使抽取的数字乘积最大，需同时抽两个最大正数或两个最小的负数，即可使乘积最大．
【解答】解：抽取﹣4和﹣5，最大的乘积是（﹣4）×（﹣5）=20．
【点评】本题考查了有理数的乘法．两个负数的乘积为正数，且这两个负数越小，其乘积越大．
变式6．李老师利用假期带领7名学生到市区社会实践，汽车票每张原价为30元，现在有两种优惠方案：第一种方案是所有成员全部打8折；第二种方案是学生打9折，教师免票．请问李老师他们应该采用哪种方案乘车比较合算？
【考点】1C：有理数的乘法；18：有理数大小比较．
【专题】12
：应用题．
【分析】根据有理数的乘法运算，可得计算结果，根据有理数的比较，可得答案．
【解答】解：方案一：8×30×0.8=192（元），
方案二：7×30×0.9=189（元），
∵189＜192，
答：采用方案二乘车比较合算．
【点评】本题考查了有理数的乘法，先计算出每种方案，再进行比较，得出答案．
变式7．某粮食加工厂从生产的粮食中抽出20袋检查质量，以每袋50千克为标准，将超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，结果记录如下：
与标准质量的偏差：
单位（千克）
﹣0.7
﹣0.5
﹣0.2
0
+0.4
+0.5
+0.7
袋数
1
3
4
5
3
3
1
问：这20袋大米共超重或不足多少千克？总质量为多少千克？
【考点】1C：有理数的乘法；11：正数和负数．
【专题】12
：应用题；27
：图表型．
【分析】求出偏差的和，依据和的正负即可判断，以每袋50千克为标准，计算出总质量，再加上偏差即可解决．
【解答】解：﹣0.7×1﹣0.5×3﹣0.2×4+0+0.4×3+0.5×3+0.7×1=+0.4千克，
即这20袋大米共超重0.4千克；
这20袋大米的总质量是：50×20+0.4=1000.4千克；
答：这20袋大米共超重0.4千克，总质量为1000.4千克．
【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．依据这一点可以简化数的求和计算．
变式8．某日下午，出租车司机小王在南北走向的南海大道上运营．如果规定向南为正，向北为负，出租车的行车情况记录如下（单位：千米）：
+15，﹣4，+13，﹣10，﹣12，+3，﹣17．将最后一名乘客送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少千米？如果每百公里耗油10升，那么小王下午耗油多少升？
【考点】1C：有理数的乘法；11：正数和负数；19：有理数的加法．
【专题】12
：应用题．
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【解答】解：（1）根据题意，知：向南为“+”，向北为“﹣”；则：
（+15）+（﹣4）+（+13）+（﹣10）+（﹣12）+（+3）+（﹣17）=﹣12；
故小王将最后一名乘客送到目的地时，在南海大道的正北方，距出车地点的距离是12千米．
（2）小王将最后一名乘客送到目的地时，一共行驶的距离为：
|+15|+|﹣4|+|+13|+|﹣10|+|﹣12|+|+3|+|﹣17|=74（千米）；
所以小王下午的耗油量为74×0.1=7.4升．
【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
拓展点五：作商比较两个有理数的大小
例12．比较大小：____________
拓展点六：新型题
例13．设[x]表示不大于的所有整数中最大的整数，例如：[1.7]=1，[﹣1.7]=﹣2，根据此规定，完成下列运算：
（1）[2.3]﹣[6.3]
（2）[4]﹣[﹣2.5]
（3）[﹣3.8]×[6.1]
（4）[0]×[﹣4.5]．
【考点】1C：有理数的乘法；18：有理数大小比较；1A：有理数的减法．
【专题】23
：新定义．
【分析】根据对于实数x我们规定[x]不大于x最大整数，可得答案．
【解答】解：（1）[2.3]﹣[6.3]=2﹣6=﹣4；
（2）[4]﹣[﹣2.5]=4﹣（﹣3）=7；
（3）[﹣3.8]×[6.1]=﹣4×6=﹣24；
（4）[0]×[﹣4.5]=0×（﹣5）=0．
【点评】本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是明确[x]表示不大于的所有整数中最大的整数．
变式1．对于正整数a、b，规定一种新运算﹡，a﹡b等于由a开始的连续b个正整数的积，例如：2﹡3=2×3×4=24，5﹡2=5×6=30，那么7﹡（1﹡2）的值等于多少？
【考点】1C：有理数的乘法．
【专题】23
：新定义．
【分析】根据新运算﹡的运算方法进行计算即可得解．
【解答】解：7﹡（1﹡2），
=7﹡（1×2），
=7﹡2，
=7×8，
=56．
【点评】本题考查了有理数的乘法，读懂题目信息，理解新运算的运算方法是解题的关键．
变式2．若定义一种新的运算“
”，规定有理数a
b=4ab，如2
3=4×2×3=24．
（1）求3
（﹣4）的值；
（2）求（﹣2）
（6
3）的值．
【考点】1C：有理数的乘法．
【专题】23
：新定义．
【分析】分别根据运算“
”的运算方法列式，然后进行计算即可得解．
【解答】解：（1）3
（﹣4），
=4×3×（﹣4），
=﹣48；
（2）（﹣2）
（6
3），
=（﹣2）
（4×6×3），
=（﹣2）
（72），
=4×（﹣2）×（72），
=﹣576．
【点评】本题考查了有理数的乘法，是基础题，理解新运算的运算方法是解题的关键．
变式3．若“！”表示一种新运算，并且1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，那么100！÷99！的商是多少？
【考点】1D：有理数的除法；1C：有理数的乘法．
【专题】23
：新定义．
【分析】根据新定义得到100！÷99！=，然后约分即可．
【解答】解：100！÷99！==100，
即100！÷99！的商是100．
【点评】本题考查了有理数的除法：除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数．
变式4．（2016秋?富顺县校级期中）阅读下题解答：
计算：．
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：×（﹣24）=﹣16+18﹣21=﹣19．
所以原式=﹣．
根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：．
【考点】1D：有理数的除法；17：倒数．
【专题】21
：阅读型．
【分析】原式根据阅读材料中的计算方法变形，计算即可即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：[﹣++（﹣）2×（﹣6）]÷（﹣）
=[﹣++×（﹣6）]×（﹣42）
=﹣21+14﹣30+112
=75，
则原式=．
【点评】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
易错点一：“加”“乘”运算结果符号确定方法不同，二者莫混
例14．计算：
（1）﹣5﹣1
（2）（﹣20）÷5
（3）6﹣[﹣（﹣2）]
（4）2﹣|﹣0.4|
（5）﹣（+20）+（+45）﹣（+80）﹣（﹣35）
（6）（﹣24）÷2×（﹣3）÷（﹣6）
【考点】1G：有理数的混合运算．
【分析】（1）根据有理数减法的运算，即可得出结论；
（2）根据有理数除法的运算，即可得出结论；
（3）消去括号后，再根据有理数减法的运算，即可得出结论；
（4）消去绝对值符号，再根据有理数减法的运算，即可得出结论；
（5）消去括号后，再根据有理数加、减混合运算，即可得出结论；
（6）根据有理数乘、除混合运算，即可得出结论．
【解答】解：（1）﹣5﹣1=﹣6；
（2）（﹣20）÷5=﹣4；
（3）6﹣[﹣（﹣2）]=6﹣2=4；
（4）2﹣|﹣0.4|=2﹣0.4=1.6；
（5）﹣（+20）+（+45）﹣（+80）﹣（﹣35）=﹣20+45﹣80+35=﹣20；
（6）（﹣24）÷2×（﹣3）÷（﹣6）=﹣6．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，牢记有理数混合运算的运算顺序和法则是解题的关键．
易错点二：运算顺序应注意
例15．计算：
（1）（﹣85）×（﹣25）×（﹣4）；
（2）﹣；
（3）；
（4）．
【考点】1D：有理数的除法；1C：有理数的乘法．
【分析】（1）把后两项结合，利用乘法结合律进行计算即可得解；
（2）把带分数化为假分数，除法转化为乘法，然后进行计算即可得解；
（3）先通分计算括号里面的，再根据除以一个数等于乘以这数的倒数进行计算即可得解；
（4）利用乘法分配律进行计算即可得解．
【解答】解：（1）（﹣85）×（﹣25）×（﹣4），
=（﹣85）×[（﹣25）×（﹣4）]，
=﹣85×100，
=﹣8500；
（2）﹣2×2÷（﹣2），
=﹣××（﹣），
=2；
（3）（﹣）÷（1﹣+），
=（﹣）÷（﹣+），
=（﹣）÷，
=（﹣）×，
=﹣；
（4）（﹣+﹣）×36，
=×36﹣×36+×36﹣×36，
=28﹣30+27﹣14，
=55﹣44，
=11．
【点评】本题考查了有理数的除法，有理数的乘法，利用运算定律可以使计算更加简便，（3）需要注意除法没有分配律．
易错点三：乘法分配律不适用于除法运算
例16．（﹣）÷（﹣+﹣）
【考点】1D：有理数的除法．
【分析】把第二个括号内的分数通分并计算，再利用有理数的除法运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：（﹣）÷（﹣+﹣），
=（﹣）÷（﹣+﹣），
=（﹣）÷，
=﹣×3，
=﹣．
【点评】本题考查了有理数的除法，难点在于通分并进行分数的加减运算，切忌利用乘法分配律．
变式1．计算：（﹣）÷（﹣+﹣）．
【考点】1D：有理数的除法．
【分析】先把小括号内的数分成两组通分并计算，再根据有理数的除法运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：（﹣）÷（﹣+﹣），
=（﹣）÷（+﹣﹣），
=（﹣）÷（+﹣﹣），
=（﹣）÷（﹣），
=（﹣）÷，
=（﹣）×3，
=﹣．
【点评】本题考查了有理数的除法，除式分组通分计算更简便，易错点在于利用乘法分配律．
变式2．计算：﹣÷（+﹣）．
【考点】1D：有理数的除法．
【专题】11
：计算题．
【分析】先求出除数除以被除数的结果，再求出倒数即可得到结果．
【解答】解：（+﹣）÷（﹣）
=（+﹣）×（﹣126）
=﹣45﹣7+42
=﹣10，
则原式=﹣．
【点评】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式3．计算：（﹣45）÷[（﹣）÷（﹣）]．
【考点】1D：有理数的除法．
【分析】首先根据有理数的除法法则，求出（﹣）÷（﹣）的值是多少；然后用﹣45除以所得的商，求出算式（﹣45）÷[（﹣）÷（﹣）]的值是多少即可．
【解答】解：（﹣45）÷[（﹣）÷（﹣）]
=（﹣45）÷
=﹣54．
【点评】此题主要考查了有理数的除法，要熟练掌握，解答此题的关键是要熟练掌握有理数的除法法则．
变式4．计算：12÷（﹣3﹣+）．
【考点】1D：有理数的除法．
【分析】先把括号内的分数相加减，再根据有理数的除法运算，除以一个数等于乘以这个数的倒数进行计算即可得解．
【解答】解：12÷（﹣3﹣+）
=12÷（﹣）
=12×（﹣）
=﹣．
【点评】本题考查了有理数的除法，有理数的加减运算，易错点在于利用乘法分配律进行计算．
