北师大版八年级数学上册1.3勾股定理的应用同步练习（Word版，附答案解析）

八年级数学北师大版（2012教材）第一章1.3勾股定理的应用同步练习
（答题时间：60分钟）
微课程：勾股定理的简单应用同步练习
一、选择题
1.
放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（
）
A.
600米
B.
800米
C.
1000米
D.
不能确定
2.
如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，观测者从测点A、B分别测得∠BAC＝90o，又量得AC＝9m，BC＝15m，则A、B两点之间的距离为（
）
A.
10m
B.
11m
C.
12m
D.
13m
3.
一个三角形三个内角之比为1∶2∶1，则其相对的三边平方之比分别为（
）
A.
1∶2∶2
B.
1∶2∶1
C.
1∶4∶1
D.
2∶1∶2
4.
直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为
（
）
A.
96
B.
49
C.
24
D.
48
5.
将一根长24cm的筷子置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中（如图），设筷子露在杯子外面的长为h
cm，
则h的取值范围是（
）
A.
11≤h≤12
B.
11＜h＜12
C.
h＞11
D.
h＜12
6.
如下图中的一块砖的宽AN＝5cm，长ND＝10cm，CD上的点B距地面的高度BD＝8cm。地面上A处的一只蚂蚁要到B处吃食，需爬行的最短路径是（
）cm
A.
15　　
B.
16　　
C.
17　
D.
23
二、填空题
7.
如图所示（单位：cm）阴影部分的面积是_________。
8.
如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：），计算两圆孔中心和间的距离为______。
9.
如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA＝OB＝1，则第n个等腰直角三角形的面积Sn＝________。
三、解答题
10.
如图，在公路AB旁有一座山，现C处需要爆破，已知点C与公路上停靠站A间的距离为300米，与公路上另一停靠站B间的距离为400米，且CA⊥CB，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否因有危险而需要暂时封锁？
11.
已知长方形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图①所示）时，易证得结论：PA2－PB2＝AB2，PD2－PC2＝DC2，而AB＝CD，则，请你探究：当点P分别运动到图②、图③中的位置时，又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图②证明你的结论。
答：对图②的探究结论为_____________________________________。
对图③的探究结论为_____________________________________。
证明：如图②
微课程：勾股定理及其逆定理的综合题同步练习
一、选择题
1.
下列各组数据可以构成直角三角形的一组是（
）
A.
3，5，6
B.
2，3，4　　
C.
6，7，9
D.
1.5，2，2.5
2.
三角形的三边长分别为a，b，c，且满足等式（a＋b）2－c2＝2ab，则此三角形是（
）
A.
锐角三角形
B.
钝角三角形
C.
直角三角形
D.
等腰直角三角形
3.
如图，点分别把正方形ABCD的四边AB、CD、BC、DA分成1：2两段。若AB＝1，则四边形的面积是（
）
A.
12＋22
B.
2
C.
2
D.
4.
如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直。如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（
）
A.
600m
B.
500m
C.
400m
D.
300m
二、填空题
5.
在△ABC中，设CD是高，若BC=6，CA=8，AB=10，则CD=
。
6.
△ABC的边AC、BC的中垂线交于AB上一点O，且OC=BC，则∠A=
。
7.
如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D，如果AB=25cm，BC=20cm，AC=15cm，且S△ABC=150cm2，那么OD=
cm。
三、解答题
8.
已知：如图所示，四边形ABCD的三边（AB、BC、CD）和BD都为5厘米，动点P从A出发（A→B→D）到
D，速度为
2厘米／秒，动点
Q从点D出发（D→
C→B→A）到A，速度为2.8厘米／秒，5秒后P、Q相距3厘米，试确定5秒时△APQ的形状。
9.
新城校区成立后淮阴中学一共有四个校区，为了有效进行信息沟通和资源共享，淮阴中学将清河、清晏、新城、淮中四个校区的信息中心用笔直的网线管道相接，近似地看成下面如图的图形，度量各校区距离如下：
为了B、C两校区间的交流方便，打算在B、C之间再建一条笔直的网线管道，如果每公里按2万元造价，请预算出B、C之间的工程造价。
10.
如果（1）所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图（2）所示，已知展开图中每个正方形的边长为1。
（1）求在该展开图中可画出的最长线段的长度的平方？这样的线段可以画几条？
（2）求∠B′A′C′的度数？说明理由。
（3）在图（1）中若蚂蚁从点A1沿着正方体的表面爬行到点C，试求爬行的最短路程的平方。
11.
如图，P为等边△ABC内的一点，以PB为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ。
（1）猜想AP与CQ的大小关系，并证明结论。
（2）若PA：PB：PC=5：12：13，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由。
八年级数学北师大版（2012教材）第一章1.3勾股定理的应用同步练习参考答案
微课程：勾股定理的简单应用同步练习参考答案
1.
C
解析：画出方位角，可发现他们的方向构成直角，再用勾股定理计算。
2.
C
解析：用勾股定理计算，AB＝12。
3.
B
解析：设最小内角为x°，可求出这是等腰直角三角形，用勾股定理得其相对的三边平方之比为1∶2∶1。
4.
C
解析：设两直角边为a、b，由题意得a＋b＝24－10＝14
（1），a2＋b2＝102
（2）。把（1）式两边平方，再把（2）式代入得ab＝48，所以该三角形的面积＝ab＝24。
5.
A
解析：当筷子竖直时，h有最大值（24－12），当筷子斜放到与底面圆周边接触时，h有最小值，而在圆柱形水杯内的部分构成一个直角三角形，一边为12cm，一边为底面直径5cm，得杯内筷子的长度为13cm，则h＝24－13＝11cm。
6.
C
解析：在砖的侧面展开图（下图）上，连接AB，则AB长即为蚂蚁从A处到B处的最短路程。在Rt△ABD中，因为
AD＝AN＋ND＝5cm＋10cm＝15cm，BD＝8cm。所以AB2＝AD2＋BD2＝152cm2＋82cm2＝289cm2，所以AB
＝17
cm。因此蚂蚁爬行的最短路程为l7cm。
7.
45cm2
解析：用勾股定理求出直角边长，再求长方形的面积。
8.
150
解析：由图形知AC＝150－60＝90，BC＝180－60＝120，在Rt△ABC中，，则150。
9.
解析：要探求第n个等腰直角三角形的面积，根据图形提供的数据和等腰直角三角形的变化规律，我们可以看到：下一个等腰直角三角形的直角边是前一个等腰直角三角形的斜边，因此在解题时，先考虑特殊情形，根据勾股定理得一系列等腰直角三角形的面积和下一个直角三角形的斜边长为：
OB＝1，S1＝OA×OB＝×
OB2＝×（AB2）＝；
AB2＝2，S2＝AA1×AB＝AB2＝1；
A1B2＝4＝22，S3＝A1B×BB1＝A1B＝2；
A1B12＝A1B2＋BB12＝8＝23，S4＝A1B1×A1B2＝A1B12＝4＝22；
……
所以第n个等腰直角三角形的面积为。
10.
解析：作CD⊥AB于D，因为BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，根据勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，即3002＋4002＝AB2，所以AB＝500米。根据三角形的面积得AB·CD＝BC·AC，所以500·CD＝400×300，所以CD＝240。因为240<250，即点C到AB的距离小于250米，所以有危险，公路AB段需要暂时封锁。
11.
结论均为
证明：如图2过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N，
图②
因为AD∥BC，MN⊥AD，所以MN⊥BC
在Rt△AMP中，PA2＝PM2＋MA2
在Rt△BNP中，PB2＝PN2＋BN2
在Rt△DMP中，PD2＝DM2＋PM2
在Rt△CNP中，PC2＝PN2＋NC2
所以PA2＋PC2＝PM2＋MA2＋PN2＋NC2
PB2＋PD2＝PM2＋DM2＋BN2＋PN2
因为MN⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC，所以四边形MNCD是矩形
所以MD＝NC，同理AM＝BN，
所以PM2＋MA2＋PN2＋NC2＝PM2＋DM2＋BN2＋PN2
即PA2＋PC2＝PB2＋PD2
当点P运动到形外，方法应一样！
微课程：勾股定理及其逆定理的综合题同步练习参考答案
1.
D
解析：用勾股定理的逆定理一一计算。
2.
C
解析：（a＋b）2－c2＝2ab，化简整理得：，所以是直角三角形。
3.
D
解析：注意不能把“一点将线段分成1：2两段”错误理解成“一点把一条线段分成长为1、2的两段”，得出四边形ABCD的面积是12＋22这样一个错误的结果。由题意知AB＝1，且AA＇：A＇B＝1：2，则AA＇＝，＝，故＝（）2＋（）2＝。
4.
B
解析：如图，解直角三角形△ABC，因为AB＝400m，AC＝300m，所以BC＝500m。因为∠BAC＝∠BED＝90°；∠EBD与∠ACB都是∠ABC的余角，所以∠EBD＝∠ACB，AB＝ED＝400m，得到△ABC≌△EDB（AAS），所以BE＝AC＝300m，则CE＝BC－BE＝200m.比较①A→C→E，AC＋CE＝500m，②A→B→E，AB＋BE＝700m.得出最近的路程为500m。
5.
解：已知BC=6，CA=8，AB=10，
且BC2+CA2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，且AB为斜边，
所以Rt△ABC面积=BC?CA=AB?CD，
解得CD=4.8。
故答案为：4.8。
6.
解：如图所示，OE，OF分别是边AC，BC的中垂线
∵OE，OF分别是边AC，BC的中垂线
∴△AEO≌△CEO，△OCF≌△OBF
∴AO=CO，CO=BO
∴△ACB为直角三角形。
∵CO=BC
∴△OBC为等边三角形
∴∠B=60°
∴∠A=30°，
故∠A为30°。
7.
解：连接OA，过点O分别作AC，AB的垂线，垂足分别为E、F，
∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D，
∴OD=OE=OF，
∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=AB?OF+BC?OD+AC?OE=OD（AB+BC+AC）
=?OD×（25+20+15）=150，解得OD=5cm。
故答案为：5
8.
解析：5秒时P运动的距离为2×5＝10（厘米），所以P点运动到D点，与D重合，如下图所示，动点Q运动的距离为2.8×5＝14（厘米）。
因为DC＝BC＝BA＝5，所以BQ＝14－10＝4（厘米）。
在△BPQ中，因为BD＝5，BQ＝4，DQ＝3，所以。
所以△BPQ是直角三角形.所以∠BQP＝90°，
所以∠AQD＝90°，即△AQP是直角三角形。
9.
解：由题意得：AB=20千米，AD=16千米，BD=12千米，
∵AD2+BD2=162+122=202=AB2，
∴△ADB是直角三角形，
∴BD⊥DC
∵DC=5千米，∴BC2=BD2+CD2
∴BC=13千米，
∴造价为：13×2=26万元。
故B、C之间的工程造价为26万元。
10.
解：（1）如图（2），A′H=1+1+1=3，C′H=1，
即最长线段A′C′2=10，这样的线段可以画4条，如图（2）线段EB′、线段FM、线段A′C′、线段GH；且线段的长度的平方都是10；
（2）连接B′C′，
由图形可知：∠A′B′E=∠C′B′E=45°，A′B′2=B′C′2=5，
∴∠A′B′C′=90°，
即△A′B′C′是等腰直角三角形，
∴∠B′A′C′=45°；
（3）
如图所示展开：连接A1C，则线段A1C的长就是蚂蚁从点A1沿着正方体的表面爬行到点C的最短路程，
在Rt△A1C1C中，A1C1=1+1=2，C1C=1，∠A1C1C=90°，
由勾股定理得：A1C2=5。
11.
解：（1）猜想：AP=CQ，
证明：∵∠ABP+∠PBC=60°，∠CBQ+∠PBC=60°，
∴∠ABP=∠CBQ。
又∵AB=BC，BP
=
BQ，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴AP=CQ；
（2）由PA：PB：PC=5：12：13
可设PA=5a，PB=12a，PC=13a，
在△PBQ中
由于PB=BQ=12a，且∠PBQ=60°，
∴△PBQ为正三角形。
∴PQ=12a。
于是在△PQC中
∵PQ2+QC2=144a2+25a2=169a2=PC2
∴△PQC是直角三角形。