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人教版数学九年级上《矩形的性质和判定（第一课时）》
教学设计
课题
矩形的性质和判定（第一课时）
单元
第一章
学科
数学
年级
九年级上
学习目标
情感态度和价值观目标
采用探究法，在发现中习得矩形的性质，体验学习数学的乐趣
能力目标
能够运用矩形性质进行相关计算
知识目标
掌握矩形性质和直角三角形斜边中线定律
重点
矩形性质和直角三角形斜边中线定律
难点
直角三角形斜边中线定律
学法
自主思考、协作讨论、类比学习法
教法
启发法、讲练结合法
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
观察下列生活中的图形，这些图形与一般的平行四边形区别在哪里？是平行四边形，且它们的四个角都相等，且都等于90度.
观察生活图片，思考问题
结合生活实际，激发兴趣，为本节课教学做好铺垫
讲授新课
探究一：与上图相比较，这些平行四边形特殊在哪里？有一个角是直角的平行四边形叫矩形．
平行四边形的性质有哪些？①平行四边形的对边平行且相等.②平行四边形的对角相等.③平行四边形的对角线互相平分.有哪些相等的角或者是线段①∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;②AC=BD折折矩形图片，有何发现？矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系，它是中心对称吗，对称中心是谁？矩形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是边长的垂直平分线，属于中心对称图形，对称中心是对角线的交点有什么发现：1.矩形具有平行四边形的所有性质；；2.矩形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是对边的垂直平分线矩形还具有特殊的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等.已知：如图，在矩形ABCD中，∠A=90°.
求证：∠A=∠B=∠C=∠D证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠A+∠B=90°
，∠A=∠D=90°,∠C+∠B=90°∵∠A=90∴∠B=∠D=∠C=90°∴∠A=∠B=∠C=∠D已知：如图，矩形ABCD.求证：AC=BD.证明：∵四边形ABCD是矩形,∴
∠ABC=
∠DCB，AB=CD.在△ABC和△DCB中,
AB=DC∵
∠ABC=
∠DCB
BC=CB∴
△
ABC≌△DCB(SAS)∴
AC=BD.探究归纳矩形的特殊性质定理
性质1、矩形的四个角都是直角．性质2、矩形的两条对角线相等．几何语言:∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
AC
=
BD1.如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AO=OC，BO=OD，ABC=90，则四边形ABCD是_____；若AC=5cm，则BD=_______答案：矩形
5cm2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点0，若
AOD=120，AB=2，则BC的长为_______答案：观察上图，完成下列问题：AO=_____AC，BO=______BD呢？BO是Rt△ABC的什么线？由此你可以得到什么结论？
AO=AC，BO=BD，BO是Rt△ABC的中线．
直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BO是AC上的中线.求证:
BO
=AC证明:
延长BO至D,使OD=BO,
连结AD、DC.∵AO=OC,
BO=OD∴四边形ABCD是平行四边形.∵∠ABC=90
∴平行四边形ABCD是矩形∴AC=BD∴
BO=BD=AC直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.例1
在矩形ABCD中，BF=CE，求证：AE=DF.解：∵四边形ABCD是矩形
又因为BF=CE
所以BF+FE=CE+EF
所以BE=CF
在ABE和DCF中
观看动画，归纳矩形的定义
采用探究的方法，让学生主动发现矩形的定义
尝试应用
1.若一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，则斜边上的中线等于_______
.
2.如图，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE。（1）求证：∠AEC=∠C；（2）求证：BD=2AC；证明：（1）∵AD⊥AB，∴△ABD为直角三角形，又∵点E是BD的中点，∴AE=BD，又∵BE=BD，∴AE=BE，∴∠B=∠BAE，又∵∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠AEC=∠B+∠B=2∠B，又∵∠C=2∠B，∴∠AEC=∠C；（2）由（1）可得AE=AC，
又∵AE=BD，
∴BD=AC，
∴BD=2AC，
学生提出自学过程中的疑问，师生共同解答，学生能解答的教师就不要帮忙，学生解决不了的，教师出面点拨。
让学生自学完成，将学习的主动权交给学生，体现学生在教学过程中的主体地位，从而激发学生的求知欲望，培养学生的学习能力。
达标测评
1.已知四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，且AC=10，BD=8，那么顺次连接四边形ABCD各边中点所得到的四边形面积为_____答案：202.如图，矩形ABCD中，0是两对角线交点，AELBD于点E.若OE：OD=1：2，AE=3cm，则BE=______cm.答案：3.如图，在矩形4BCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知
BOC
=120
，DC=3cm，则AC的长为________cm【解答】解：因为四边形ABCD是矩形
因为DC=3cm所以AB=3cm
又
所以在RtABC中，AC=2AB=6cm.故答案为：6cm.4.如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在.AB边的点M处，EF为折痕，AB=1，AD=2,设AM的长为t，用含有的式子表示四边形CDEF的面积解：设DE=EM=x，设CF=y，连接FM所以BF=2-y，又因为FN=
y，NM=1四边形CDEF的面积为：
运用讲练结合法，通过检测题及时巩固矩形的性质和直角三角形中线定律
回归课本，重视基础，突出重、难点。
拓展提升
1.如图，在矩形ABCD中，BC=10，，若点M，N分别是线段DB，AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为多少？解：如图，过A作于G，延长AG，使AG=EG，过E作于N，交BD于M，则AM+MN=EN最短即AM+MN的最小值为15.
讨论交流，思考解题思路。
通过练习巩固本课所学，学会运用知识解答问题。
课堂小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？1．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2．性质归纳：
对边平行且相等，四个角都是直角，对角线互相平分且相等，矩形是轴对称图形．3.直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
学会总结学习收获，巩固知识点，理清知识间的联系。
通过总结学习收获，对于巩固知识很有帮助。
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精品试卷·第
2
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（共
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2020
数学北师版
九年级上
矩形的性质和判定（第一课时）
问题情境：
观察下列生活中的图形，这些图形与一般的平行四边形区别在哪里？
是平行四边形，且它们的四个角都相等，且都等于90度.
有一个角是直角的平行四边形叫矩形．
平行四边形
有一个角是90度
矩形
∠A=90°
ABCD
四边形ABCD是矩形
与上图相比较，这些平行四边形特殊在哪里？
探究一：
回顾：
①平行四边形的对边平行且相等.
②平行四边形的对角相等.
平行四边形的性质有哪些？
③平行四边形的对角线互相平分.
议一议：
①∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;②AC=BD
有哪些相等的角或线段？
想一想：
矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系，它是中心对称吗，对称中心是谁？
折折矩形图片，有何发现？
矩形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是边长的垂直平分线，属于中心对称图形，对称中心是对角线的交点
探究总结：
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是对边的垂直平分线
矩形还具有特殊的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等.
有什么发现？
已知：如图，在矩形ABCD中，∠A=90°.
求证：∠A=∠B=∠C=∠D
结论论证：
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠A+∠B=90°
，∠A=∠D=90°,∠C+∠B=90°
∵∠A=90
∴∠B=∠D=∠C=90°
∴∠A=∠B=∠C=∠D
已知：如图，矩形ABCD.求证：AC=BD.
结论论证：
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴
∠ABC=
∠DCB，AB=CD.
在△ABC和△DCB中,
AB=DC
∵
∠ABC=
∠DCB
BC=CB
∴
△
ABC≌△DCB(SAS)
∴
AC=BD.
矩形的特殊性质定理
探究归纳：：
性质1、矩形的四个角都是直角．
性质2、矩形的两条对角线相等．
几何语言:∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
AC
=
BD
尝试应用
1.如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AO=OC，BO=OD，
ABC=90，则四边形ABCD是_____；若AC=5cm，则BD=_______
答案：矩形
5cm
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点0，若
AOD=
1200，AB=2，则BC的长为_______
答案：
观察上图，完成下列问题：
AO=_____AC，BO=______BD呢？BO是Rt△ABC的什么线？由此你可以得到什么结论？
探究二;
直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
AO=
AC，BO=
BD，BO是Rt△ABC的中线．
已知：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BO是AC上的中线.
求证:
BO
=
AC
结论证明：
证明:
延长BO至D,使OD=BO,
连结AD、DC.
∵AO=OC,
BO=OD
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=900
∴
ABCD是矩形
∴AC=BD
∴
BO=
BD=
AC
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
探究总结：
典例探究
例1
在矩形ABCD中，BF=CE，求证：AE=DF.
解：∵四边形ABCD是矩形
又因为BF=CE
所以BF+FE=CE+EF
所以BE=CF
在
ABE和
DCF中
尝试应用
1.若一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，则斜边上的中线等于_______
.
2.如图，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE。
（1）求证：∠AEC=∠C；
（2）求证：BD=2AC；
尝试应用
证明：
（1）∵AD⊥AB，
∴△ABD为直角三角形，
又∵点E是BD的中点，
∴AE=BD，又∵BE=BD，
∴AE=BE，∴∠B=∠BAE，
又∵∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠AEC=∠B+∠B=2∠B，
又∵∠C=2∠B，
∴∠AEC=∠C；
（2）由（1）可得AE=AC，
又∵AE=BD，
∴BD=AC，
∴BD=2AC，
达标测评：
1.已知四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，且AC=10，BD=8，那么顺次连接四边形ABCD各边中点所得到的四边形面积为_____
答案：20
2.如图，矩形ABCD中，0是两对角线交点，AELBD于点E.若OE：OD=1：2，AE=3cm，则BE=______cm.
答案：
3.如图，在矩形4BCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知
BOC
=120
，DC=3cm，则AC的长为________cm
【解答】解：因为四边形ABCD是矩形
因为DC=3cm
所以AB=3cm
又
所以在Rt
ABC中，AC=2AB=6cm.
故答案为：6cm.
4.如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在.AB边的点M处，EF为折痕，AB=1，AD=2,设AM的长为t，用含有的式子表示四边形CDEF的面积
解：设DE=EM=x，
设CF=y，连接FM
所以BF=2-y，又因为FN=
y，NM=1
四边形CDEF的面积为：
拓展提升：
1.如图，在矩形ABCD中，BC=10，
，若点M，N分别是线段DB，AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为多少？
解：如图，过A作
于G，延长AG，使AG=EG，过E作
于N，交BD于M，则AM+MN=EN最短
即AM+MN的最小值为15.
体验收获
3.直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
1．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
2．性质归纳：
对边平行且相等，四个角都是直角，对角线互相平分且相等，矩形是轴对称图形．
习题1.4第3题，第4题。
七、布置作业
谢谢观看
