2019-2020学年陕西省商洛市高一下学期期末数学试卷 （Word解析版）

2019-2020学年陕西省商洛市高一第二学期期末数学试卷
一、选择题（共12小题）.
1．sin（﹣510°）＝（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
2．若某商场的会员只用现金支付的概率为，既用现金支付也用非现金支付的概率为，则不用现金支付的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．现要完成下列3项抽样调查：
①从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查；
②从2000名学生中抽取100名进行课后阅读情况调查；
③从某社区100户高收人家庭，270户中等收入家庭，80户低收入家庭中选出45户进行消费水平调查．
较为合理的抽样方法是（　　）
A．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
C．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
D．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
4．据市场调查的数据可知，某商品受季节影响，各月的价格波动比较大，2019年1月到12月，该商品价格的涨跌幅度的折线图如图所示．根据折线图，下列结论错误的是（　　）
A．2019年1月该商品价格涨幅最大
B．2019年12月该商品价格跌幅最大
C．2019年该商品2月的价格低于1月的价格
D．2019年从9月开始该商品的价格一直在下跌
5．已知扇形的圆心角为θ，其周长是其半径的3倍，则下列不正确的是（　　）
A．sinθ＞0 B．sin2θ＞0 C．cos3θ＜0 D．tan3θ＞0
6．执行如图所示的程序框图，若输入的x∈（0，2），则输出的y∈（　　）
A．（0，6） B．（0，3] C．（3，6） D．（1，7）
7．将标有数字3，4，5的三张扑克牌随机分给甲、乙、丙三人，每人一张，事件A：“甲得到的扑克牌数字小于乙得到的扑克牌数字”与事件B：“乙得到的扑克牌数字为3”是（　　）
A．互斥但不对立事件 B．对立事件
C．既不互斥又不对立事件 D．以上都不对
8．十进位制的数14转换成三进位制数应为（　　）
A．101（3） B．112（3） C．111（3） D．121（3）
9．已知﹣cos（x+φ）＝sinx+2cosx对x∈R恒成立，则cos2φ＝（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
10．计算1+++……+，执行如图所示的程序框图，若输入的N＝10，则图中①②应分别填入（　　）
A．T＝，k＞N B．T＝，k≥N C．T＝，k＞N D．T＝，k≥N
11．已知函数f（x）满足f（x）＝f（π﹣x），若函数y＝sinx与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6），则x1+x2+…+x6＝（　　）
A．0 B．3π C． D．6π
12．已知正方形ABCD的边长为2，EF为该正方形内切圆的直径，P在ABCD的四边上运动，则的最大值为（　　）
A． B．1 C．2 D．2
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．一位男同学和两位女同学随机排成一列，则男同学不站在中间的概率为　 　．
14．如图，在△ABC中，D为AB的中点，，若，则x﹣y＝　 　．
15．＝　 　．
16．1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图所示的直角梯形ABCD中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”推证出勾股定理，人们把这一证明方法称为“总统证法”．设tan∠BEC＝，在梯形ABCD中随机取一点，则此点取自等腰直角△CDE中（阴影部分）的概率是　 　．
三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知点P（1，m）是角α终边上的一点，且tanα＝3．
（1）求m的值；
（2）求的值．
18．某校高一年级举行“抗击新冠肺炎”在线知识问答比赛，现将60名参赛学生的成绩（满分100分）统计如表：
分组 频数 频率
[50，60） 18 0.30
[60，70） 24 0.40
[70，80） 9 0.15
[80，90） 6 0.10
[90，100] 3 0.05
（1）根据上面的统计表，作出这些数据的频率分布直方图；
（2）求这60名参赛学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）和中位数．
19．已知单位向量，的夹角为，向量＝λ﹣，向量＝2+3．
（1）若∥，求λ的值；
（2）若⊥，求||．
20．已知向量＝（2cos（﹣x），1），＝（cos（﹣x），0），函数f（x）＝?．
（1）求f（x）图象的对称中心；
（2）若动直线x＝t（t∈[，]）与函数f（x）和函数g（x）＝cos2x+1的图象分别交于M，N两点，求线段MN的长度的取值范围．
21．“城管喊你摆地摊啦!”为了释放地摊经济活力，为市民提供灵活多样化的便民服务，某地区为市民在城区设置了流动摊贩临时摆放点．小张为参与地摊创业，调查了该地区甲、乙两个行业地摊摊主5年内的年收入，制作了如下统计数据表：
年份x 2015 2016 2017 2018 2019
甲行业年收入y（万元） 7.8 8.6 10.0 11.1 12.5
乙行业年收入z（万元） 6.2 10.6 8.2 6.6 13.4
（1）根据表格，对比甲、乙两个行业摊主这5年的年收入情况（已知甲、乙两个行业的年收入的5个数据的方差分别为2.852，7.232），判断小张在这两个地摊行业中选择哪个创业更合适；
（2）根据甲行业摊主这5年年收入的数据，求其年收入y关于年份x的线性回归方程，并据此估计甲行业摊主在2020年的年收入．
附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝＝，＝﹣．
22．将函数y＝Asin（x+φ）图象的横坐标缩短为原来的，得到函数y＝f（x）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象，且y＝f（x）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设θ∈（0，），且f（θ）＝﹣，求cos（2θ+）的值．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．sin（﹣510°）＝（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
解：sin（﹣510°）＝sin（﹣150°）＝﹣sin150°＝﹣sin30°＝﹣，
故选：C．
2．若某商场的会员只用现金支付的概率为，既用现金支付也用非现金支付的概率为，则不用现金支付的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由已知结合对立事件的概率性质即可求解．
解：由题意可得，不用现金支付的概率P＝1﹣＝
故选：C．
3．现要完成下列3项抽样调查：
①从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查；
②从2000名学生中抽取100名进行课后阅读情况调查；
③从某社区100户高收人家庭，270户中等收入家庭，80户低收入家庭中选出45户进行消费水平调查．
较为合理的抽样方法是（　　）
A．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
C．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
D．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
【分析】根据抽样方法的特点及适用范围来选择抽样方法即可．
解：在①中，由于总体个数较少，故采用简单随机抽样即可；
在②中，由于总体个数较多，故采用系统抽样比较好；
在③中，由于高收入家庭、中收入家庭和低收入家庭的消费水平的差异明显，故采用分层抽样较好．
故选：D．
4．据市场调查的数据可知，某商品受季节影响，各月的价格波动比较大，2019年1月到12月，该商品价格的涨跌幅度的折线图如图所示．根据折线图，下列结论错误的是（　　）
A．2019年1月该商品价格涨幅最大
B．2019年12月该商品价格跌幅最大
C．2019年该商品2月的价格低于1月的价格
D．2019年从9月开始该商品的价格一直在下跌
【分析】由折线统计图逐一进行分析即可．
解：由图可得，2019年1月的涨幅大约为7%，是所有月份中最大的，故A正确，
2019年12月跌幅约为6%，是所以月份中最大的，故B正确，
2月的价格涨幅小于1月的涨幅，但价格仍是属于上涨阶段，故2月价格比1月高，故C错误，
从9月开始价格一直在下跌，故D正确．
故选：C．
5．已知扇形的圆心角为θ，其周长是其半径的3倍，则下列不正确的是（　　）
A．sinθ＞0 B．sin2θ＞0 C．cos3θ＜0 D．tan3θ＞0
【分析】设扇形的半径为r，弧长为l，可得l+2r＝3r，解得l＝r，θ＝1，可得sin1＞0，sin2＞0，cos3＜0，tan3＜0，即可逐项判断得解．
解：由题意，设扇形的半径为r，弧长为l，
可得l+2r＝3r，则l＝r，θ＝1，
又sin1＞0，sin2＞0，cos3＜0，tan3＜0．
故D选项错误．
故选：D．
6．执行如图所示的程序框图，若输入的x∈（0，2），则输出的y∈（　　）
A．（0，6） B．（0，3] C．（3，6） D．（1，7）
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用分段函数的定义域计算值域并输出值域，模拟程序的运行过程可得答案．
解：若输入的x∈（0，2），由程序框图可得
y＝，
即求分段函数的值域，
当0＜x≤1时，0＜y≤3；
当1＜x＜2时，3＜y＜6；
综上，y∈（0，6）．
故选：A．
7．将标有数字3，4，5的三张扑克牌随机分给甲、乙、丙三人，每人一张，事件A：“甲得到的扑克牌数字小于乙得到的扑克牌数字”与事件B：“乙得到的扑克牌数字为3”是（　　）
A．互斥但不对立事件 B．对立事件
C．既不互斥又不对立事件 D．以上都不对
【分析】事件A与事件不能同时发生，但能同时不发生，由此得到事件A与事件B是互斥但不对立事件．
解：将标有数字3，4，5的三张扑克牌随机分给甲、乙、丙三人，每人一张，
事件A：“甲得到的扑克牌数字小于乙得到的扑克牌数字”，
事件B：“乙得到的扑克牌数字为3”，
事件A为：（3，4），（3，5），（4，5），
事件B为：（4，3），（5，3），
事件A与事件不能同时发生，但能同时不发生，
∴事件A与事件B是互斥但不对立事件．
故选：A．
8．十进位制的数14转换成三进位制数应为（　　）
A．101（3） B．112（3） C．111（3） D．121（3）
【分析】用14除以3，倒序取余即可得解．
解：14÷3＝4…2
4÷3＝1…1
1÷3＝0…1
故14（10）＝112（3）
故选：B．
9．已知﹣cos（x+φ）＝sinx+2cosx对x∈R恒成立，则cos2φ＝（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】由题意利用两角和的余弦函数公式化简可得﹣cosxcosφ+sinxsinφ＝sinx+2cosx，进而可求cosφ，sinφ的值，进而根据二倍角的余弦函数公式即可求解．
解：由题意可得，﹣cosxcosφ+sinxsinφ＝sinx+2cosx，
则cosφ＝﹣，sinφ＝，
所以cos2φ＝2cos2φ﹣1＝﹣1＝．
故选：D．
10．计算1+++……+，执行如图所示的程序框图，若输入的N＝10，则图中①②应分别填入（　　）
A．T＝，k＞N B．T＝，k≥N C．T＝，k＞N D．T＝，k≥N
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程可得答案．
解：若输入的N＝10，则图中①②应分别是T＝，k＞N，
首先初始化数据：N＝10，k＝1，S＝0，T＝1，
第一次执行循环体，T＝＝1，S＝S+T＝1，k＝k+1＝2，不满足退出循环的条件k＞N；
第二次执行循环体，T＝＝，S＝S+T＝1+，k＝k+1＝3，不满足退出循环的条件k＞N；
第三次执行循环体，T＝＝，S＝S+T＝1++，k＝k+1＝4，
不满足退出循环的条件k＞N；
……
第十次执行循环体，T＝＝，
S＝S+T＝1+++……+，k＝k+1＝11，满足退出循环的条件k＞N；
故输出S值为1+++……+，
故输入的N＝10，则图中①②应分别是T＝，k＞N，
故选：C．
11．已知函数f（x）满足f（x）＝f（π﹣x），若函数y＝sinx与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6），则x1+x2+…+x6＝（　　）
A．0 B．3π C． D．6π
【分析】先根据题意得到函数f（x）与函数y＝sinx都关于直线对称，所以两图象的交点也必然关于直线对称，进而求得结果．
解：因为函数f（x）满足f（x）＝f（π﹣x），
所以函数f（x）关于直线对称，
又因为函数y＝sinx也关于直线对称，
所以．
故选：B．
12．已知正方形ABCD的边长为2，EF为该正方形内切圆的直径，P在ABCD的四边上运动，则的最大值为（　　）
A． B．1 C．2 D．2
【分析】可根据条件知：内切圆的半径为1，并设圆心为O，从而可得出，从而可得出的最大值．
解：根据题意知，内切圆的半径为1，设圆心为O，如图所示，则：
＝＝，
∴当点P为正方形ABCD的顶点时，取得最大值2，
∴的最大值为1．
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．一位男同学和两位女同学随机排成一列，则男同学不站在中间的概率为　　．
【分析】一位男同学和两位女同学随机排成一列共有6种情况，男同学站在中间有2种情况，利用对立事件概率公式能求出男同学不站在中间的概率．
解：一位男同学和两位女同学随机排成一列共有6种情况，
男同学站在中间有2种情况，
∴男同学不站在中间的概率为：
P＝1﹣＝．
故答案为：．
14．如图，在△ABC中，D为AB的中点，，若，则x﹣y＝　﹣　．
【分析】由已知结合向量的线性运算可用表示，进而可求．
解：由题意可得，＝＝+＝，
∴x﹣y＝＝．
故答案为：﹣
15．＝　﹣2　．
【分析】理由诱导公式，二倍角公式化简所求即可求解．
解：＝＝＝＝﹣2．
故答案为：﹣2．
16．1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图所示的直角梯形ABCD中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”推证出勾股定理，人们把这一证明方法称为“总统证法”．设tan∠BEC＝，在梯形ABCD中随机取一点，则此点取自等腰直角△CDE中（阴影部分）的概率是　　．
【分析】tan∠BEC＝，sin，cos，a＝ccos∠BEC，b＝csin∠BEC，P＝＝＝，由此能求出结果．
解：在直线△BCE中，
∵tan∠BEC＝，∴sin，cos，
a＝ccos∠BEC，b＝csin∠BEC，
∴P＝＝＝＝．
故答案为：．
三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知点P（1，m）是角α终边上的一点，且tanα＝3．
（1）求m的值；
（2）求的值．
【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得m的值．
（2）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
解：（1）∵点P（1，m）是角α终边上的一点，且tanα＝3＝，
∴m＝3．
（2）∴＝＝＝．
18．某校高一年级举行“抗击新冠肺炎”在线知识问答比赛，现将60名参赛学生的成绩（满分100分）统计如表：
分组 频数 频率
[50，60） 18 0.30
[60，70） 24 0.40
[70，80） 9 0.15
[80，90） 6 0.10
[90，100] 3 0.05
（1）根据上面的统计表，作出这些数据的频率分布直方图；
（2）求这60名参赛学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）和中位数．
【分析】（1）根据频率统计表能作出这此数据的频率分布直方图．
（2）由表中数据能求出这60名参赛学生成绩的平均数；67名参赛学生成绩在[50，60）的频率为0.3＜0.5，成绩在[50，60）的频率为0.3＜0.5，成绩在[50，70）的频率为0.7＞0.5，由此能求出这60名参赛学生成绩的平均数．
解：（1）根据频率统计表，作出这此数据的频率分布直方图如下：
（2）由表中数据可知这60名参赛学生成绩的平均数为：
＝55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05＝67（分）．
∵67名参赛学生成绩在[50，60）的频率为0.3＜0.5，
成绩在[50，60）的频率为0.3＜0.5，
成绩在[50，70）的频率为0.7＞0.5，
设这60名学生成绩的中位数为x，
则0.04×（x﹣60）＝0.2，解得x＝65，
∴这60名参赛学生成绩的平均数为65分．
19．已知单位向量，的夹角为，向量＝λ﹣，向量＝2+3．
（1）若∥，求λ的值；
（2）若⊥，求||．
【分析】（1）由题意利用两个向量共线的性质，求出λ的值．
（2）由题意利用两个向量垂直的性质，求出λ的值，可得，从而求出||．
解：（1）∵单位向量，的夹角为，∴ 与 不共线．
∵向量＝λ﹣，向量＝2+3，
若∥，则 ＝，∴λ＝﹣．
（2）若⊥，∵?＝1×1×cos＝﹣．
∴?＝（λ﹣）?（2+3 ）＝2λ+（3λ﹣2）?﹣3＝2λ+（3λ﹣2）?（﹣）﹣3＝0，
求得λ＝4，∴＝4﹣，∴||＝＝＝＝．
20．已知向量＝（2cos（﹣x），1），＝（cos（﹣x），0），函数f（x）＝?．
（1）求f（x）图象的对称中心；
（2）若动直线x＝t（t∈[，]）与函数f（x）和函数g（x）＝cos2x+1的图象分别交于M，N两点，求线段MN的长度的取值范围．
【分析】（1）进行向量坐标的数量积运算，并根据二倍角的余弦公式，得出f（x）＝sin2x+1，然后得出f（x）的对称中心；
（2）根据题意及两角差的正弦公式，即可得出，然后根据t的范围，得出线段MN的取值范围．
解：（1）＝sin2x+1，
令2x＝kπ（k∈Z），则（k∈Z），
∴f（x）的对称中心为（k∈Z）；
（2）根据题意，
＝，
∵，∴，
∴|MN|∈[1，2]，
即线段MN的长度的取值范围为[1，2]．
21．“城管喊你摆地摊啦!”为了释放地摊经济活力，为市民提供灵活多样化的便民服务，某地区为市民在城区设置了流动摊贩临时摆放点．小张为参与地摊创业，调查了该地区甲、乙两个行业地摊摊主5年内的年收入，制作了如下统计数据表：
年份x 2015 2016 2017 2018 2019
甲行业年收入y（万元） 7.8 8.6 10.0 11.1 12.5
乙行业年收入z（万元） 6.2 10.6 8.2 6.6 13.4
（1）根据表格，对比甲、乙两个行业摊主这5年的年收入情况（已知甲、乙两个行业的年收入的5个数据的方差分别为2.852，7.232），判断小张在这两个地摊行业中选择哪个创业更合适；
（2）根据甲行业摊主这5年年收入的数据，求其年收入y关于年份x的线性回归方程，并据此估计甲行业摊主在2020年的年收入．
附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝＝，＝﹣．
【分析】（1）由已知表格中的数据求得与，结合已知方差，且甲行业摊主这5年的收入情况一直呈现递增趋势，因此小张选择甲行业创业更合适；
（2）求出与的值，可得y关于x的线性回归方程，取x＝2020求得y值即可．
解：（1），
．
，，
∵＞，＜，
且甲行业摊主这5年的收入情况一直呈现递增趋势，因此小张选择甲行业创业更合适；
（2），＝＝1.19．
．
∴年收入y关于年份x的线性回归方程为．
当x＝2020时，．
故甲行业摊主在2020年的年收入估计值为13.57万元．
22．将函数y＝Asin（x+φ）图象的横坐标缩短为原来的，得到函数y＝f（x）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象，且y＝f（x）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设θ∈（0，），且f（θ）＝﹣，求cos（2θ+）的值．
【分析】（1）由题意可得f（x）＝Asin（ωx+φ），由图知A的值，将函数的零点代入，及ω，φ的取值范围可得其值，进而可得函数的解析式；
（2）由题意和（1）的结果可得sin（2θ+）＝﹣＜0，再由θ的取值范围可得cos（2θ+）的值，而2θ+＝（2θ+）+及两角和的余弦公式可得2θ+的余弦值．
解：（1）由题意可得f（x）＝Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），
由图象可得A＝，﹣ω+φ＝2kπ，且πω+φ＝π，k∈Z，）又ω＞0，0＜φ＜π，
解得ω＝2，φ＝，
所以f（x）＝sin（2x+）；
（2）因为θ∈（0，），且2θ+∈（，π），因为f（θ）＝﹣，
由（1）可得﹣＝sin（2θ+），所以sin（2θ+）＝﹣＜0，
所以2θ+∈（π，），
可得cos（2θ+）＝﹣＝﹣
cos（2θ+）＝cos[（2θ+）+]＝[cos（2θ+）﹣sin（2θ+）]＝（﹣+）＝﹣，
所以cos（2θ+）的值为﹣．