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第二单元
有理数及其运算
单元培优卷（北师大版）
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·山西初一期中）负数的引入是数学发展史上的一大飞跃，使数的家族得到了扩张，为人们认识世界提供了更多的工具．中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早一千多年，负数最早记载于下列哪部著作中（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·成都市初一期中）下列说法：
①如果两个数的和为1，那么这两个数互为倒数；②如果两个数积为0，那么至少有一个数为0；
③绝对值是其本身的有理数只有0；④倒数是其本身的数是，0，1；
⑤一个数乘就是它的相反数；⑥任何一个有理数a的倒数是．
其中错误的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（2019·全国初一期末模拟）由四舍五入得到的近似数－8.30×104，精确到( )
A．百分位
B．十分位
C．千位
D．百位
4．（2019·河南南召初一期中）如图，关于、、这三部分数集的个数，下列说法正确的是（
）
A．、两部分有无数个，部分只有一个0
B．、、三部分有无数个
C．、、三部分都只有一个
D．部分只有一个，、两部分有无数个
5．（2020·湖北襄城初一期中）下列说法正确的有(
)
①正有理数是正整数和正分数的统称；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和零.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．（2019·全国初一单元测试）若，则M一定是（
）
A．任意一个有理数
B．任意一个非负数
C．任意一个非正数
D．任意一个负数
7．（2019·深圳市高级中学初一期中）若，，且，那么的值是（
）
A．2或12
B．2或
C．或12
D．或
8．（2019·广东省华南师大附中初一期中）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号），，，，…，那么计算的值是（
）
A．2018
B．2019
C．2020
D．2021
9．（2020·江苏相城初一月考）数32019?72020?132021的个位数是
（ ）
A．1
B．3
C．7
D．9
10．（2020·北京顺义初一期末）有一张厚度为0.1毫米的纸片，对折1次后的厚度是毫米，继续对折，2次，3次，4次……假设这张纸对折了20次，那么此时的厚度相当于每层高3米的楼房层数约是（
）（参考数据：，
）
A．3层
B．20层
C．35层
D．350层
11．（19·广东省初一期末）如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到，20第2次移动到，第3次移动到，……，第n次移动到，则△O的面积是（
）
A．504
B．
C．
D．505
12．（2020·珠海市第九中学初三二模）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点，分别表示数，，则，两点之间的距离为．反之，可以理解式子的几何意义是数轴上表示实数与实数3两点之间的距离．则当有最小值时，的取值范围是（
）
A．或
B．或
C．
D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13．（2019·全国初一单元测试）设n是自然数，则的值为_____________.
14．（2020·江苏姜堰初一期末）已知、两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果是____．
15．（2020·湖北省初一月考）已知是有理数，表示不超过的最大整数，如，，，等，那么______.
16．（2019·天津南开中学初一月考）若，则_______．
17．（2020·河北省初一期中）现有七个数将它们填人图(个圆两两相交分成个部分)中，使得每个圆内部的个数之积相等，设这个积为，如图给出了一种填法，此时__________，在所有的填法中，的最大值为__________．
18．（2020·北京中关村中学初三月考）容器中有A，B，C
3种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗B粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子．例如，一颗A粒子和一颗B粒子发生碰撞则变成一颗C粒子．现有A粒子10颗，B粒子8颗，C粒子9颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩1颗粒子．给出下列结论：①最后一颗粒子可能是A粒子；②最后一颗粒子一定是C粒子；③最后一颗粒子一定不是B粒子；④以上都不正确；其中正确结论的序号是
．(写出所有正确结论的序号)
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020·全国初一课时练习）观察下面一列数，探求其规律：
，-，，-，，-，….
(1)这一列属于有理数中的哪一类；
(2)写出第7，8，9项的三个数；
(3)第2
013个数是什么？
(4)如果这一列数无限排列下去，与哪两个数越来越接近？
20.（2020·四川大邑初一期中）计算
（1）
（2）
21．（2019·河北邢台三中初一月考）阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题．
①
–5+（–9）+17+（–3）.
解：原式=[（–5）+（–）]+[（–9）+（–）]+（17+）+[（–3+（–）]
=[（–5）+（–9）+（–3）+17]+[（–）+（–）+（–）+]
=0+（–1）
=–1．
上述这种方法叫做拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便．
②仿照上面的方法计算：（–2017）+（–2018）+4034+（–）．
22．（2019·山西初一期中）阅读材料并完成任务．
莱昂哈德·欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，瑞士著名的数学家、物理学家，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域；同时，也是数学史上研究成果最多的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学等的课本，《无穷小分析引论》《微分学原理》《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作．因此，被称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔·弗里德里克·高斯）．在数学成就上，欧拉最先把关于的多项式用记号的形式来表示（可用其他字母代替，但不同的字母表示不同的多项式），例如，当时，多项式的值用来表示，即；当时，多项式的值用来表示，记为．
任务：已知；．
请你根据材料中代入求值的方法解决下列问题：（1）求的值；（2）求的值．
23．（2019·浙江鄞州初一期中）先阅读下列材料，然后解答问题：
材料1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同的元素中选取2个元素的排列，排列数记为A32＝3×2＝6．
一般地，从n个不同的元素中选取m个元素的排列数记作Anm．
Anm＝n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n﹣m+1）（m≤n）
例：从5个不同的元素中选取3个元素排成一列的排列数为：A53＝5×4×3＝60．
材料2：从三张不同的卡片中选取两张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数为．
一般地，从n个不同的元素中取出m个元素的组合数记作Cnm，
Cnm＝（m≤n）
例：从6个不同的元素选3个元素的组合数为：．
问：（1）从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有
种不同的选法；
（2）从7个人中选取4人，排成一列，有
种不同的排法．
24．（2020·四川蓬溪初一期中）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|=6+7；|7﹣6|=7﹣6；|6﹣7|=7﹣6；|﹣6﹣7|=6+7．
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：
①|7+21|=______；②|﹣+0.8|=______；③=______；
（2）用合理的方法进行简便计算：
（3）用简单的方法计算：|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣|．
25．（2020·全国初一课时练习）同学们都知道，表示5与2之差的绝对值，也可以利用数轴理解为数轴上5与2这两个数所对的两点之间的距离，如图（1）所示．试回答：
（1）_____，这个算式利用数轴可理解为__________；
（2）求使成立的所有整数；（3）求出使成立的所有整数；
（4）如图（2），在笔直的公路一侧有A，B，C，D四个村庄，且，现要在公路上开一家超市，使各村庄到超市的距离之和最小，则超市的位置应在哪两个村庄之间？
26．（2019·重庆初三一模）数学不仅是一门学科，也是一种文化，即数学文化.数学文化包括数学史、数学美和数学应用等多方面.古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这位大臣的一个要求.大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧.第格放粒米，第格放粒米，第格放粒米，然后是粒、粒、粒······一只到第格.”“你真傻！就要这么一点米粒？”国王哈哈大笑.大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”国王的国库里真没有这么多米吗？题中问题就是求是多少？请同学们阅读以下解答过程就知道答案了.
设,
则
即：
事实上，按照这位大臣的要求，放满一个棋盘上的个格子需要粒米.那么到底多大呢?借助计算机中的计算器进行计算，可知答案是一个位数:
，这是一个非常大的数，所以国王是不能满足大臣的要求.请用你学到的方法解决以下问题:
我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是:一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有多少盏灯?计算:
某中学“数学社团”开发了一款应用软件，推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：
已知一列数：，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，以此类推，求满足如下条件的所有正整数，且这一数列前项和为的正整数幂.请直接写出所有满足条件的软件激活码正整数的值.
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精品试卷·第
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（共
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第二单元
有理数及其运算
单元培优卷（北师大版）
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·山西初一期中）负数的引入是数学发展史上的一大飞跃，使数的家族得到了扩张，为人们认识世界提供了更多的工具．中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早一千多年，负数最早记载于下列哪部著作中（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据负数的发展史作答即可.
【解析】解：中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早（一千多
）年．负数最早记载于中国的《九章算术》（成书于公元一世纪）中．故答案为：C.
【点睛】本题考查数学的发展历史，需要学生对历史上重要的数学成就有所了解.
2．（2020·成都市初一期中）下列说法：
①如果两个数的和为1，那么这两个数互为倒数；②如果两个数积为0，那么至少有一个数为0；
③绝对值是其本身的有理数只有0；④倒数是其本身的数是，0，1；
⑤一个数乘就是它的相反数；⑥任何一个有理数a的倒数是．
其中错误的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】根据倒数的概念、有理数乘法法则、绝对值的概念，相反数的概念进行判断即可.
【解析】解：如果两个数的积为1，那么这两个数互为倒数，①错误；
如果两个数积为0，那么至少有一个数为0，②正确；绝对值等于其本身的有理数是0和正有理数，③错误；
倒数等于其本身的有理数只有1和，④错误；因为一个数乘后就得到与其本身只有符号不同的另一个数，所以一个数乘就是它的相反数，⑤正确；0没有倒数，⑥错误．错误的有①③④⑥，共4个．故选D．
【点睛】本题主要考查了倒数的概念，有理数乘法法则和绝对值的概念,相反数的概念，熟记概念和法则是解决此题的关键.
3．（2019·全国初一期末模拟）由四舍五入得到的近似数－8.30×104，精确到( )
A．百分位
B．十分位
C．千位
D．百位
【答案】D
【分析】将科学计数法转换成正常表示,找到小数点对应位置即可.
【解析】解：－8.30×104=-83000
∴－8.30×104精确到百位,
故选D
【点睛】本题考查了近似数和精确数的概念,属于简单题,掌握近似数和精确数的概念是解题关键.
4．（2019·河南南召初一期中）如图，关于、、这三部分数集的个数，下列说法正确的是（
）
A．、两部分有无数个，部分只有一个0
B．、、三部分有无数个
C．、、三部分都只有一个
D．部分只有一个，、两部分有无数个
【答案】A
【分析】根据有理数的分类可以看出A指的是负整数，B指的是整数中除了正整数与负整数外的部分整数，C指的是正整数，最后根据各数性质进一步判断即可.
【解析】由图可得：A指的是负整数，B指的是整数中除了正整数与负整数外的部分整数，C指的是正整数，
∵整数中除了正整数与负整数外的部分整数只有0、负整数与正整数都有无数个，
∴A、C两部分有无数个，B只有一个.故选：A.
【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握相关概念是解题关键.
5．（2020·湖北襄城初一期中）下列说法正确的有(
)
①正有理数是正整数和正分数的统称；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和零.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】此题运用有理数的概念及分类（按正负分：正有理数，0和负有理数或正数、负数、0；按数的性质分：整数、分数）即可解答．
【解析】①正有理数是正整数和正分数的统称，正确；②整数是正整数，零和负整数的统称，故不正确；
③有理数是正整数、负整数、零、正分数、负分数的统称，故不正确；④0是偶数，也是自然数，故不正确；
⑤偶数包括正偶数、负偶数和零，正确.故选B.
【点睛】本题考查有理数的概念及分类，运用时注意分类的依据，还要做到不重不漏．
6．（2019·全国初一单元测试）若，则M一定是（
）
A．任意一个有理数
B．任意一个非负数
C．任意一个非正数
D．任意一个负数
【答案】B
【分析】直接利用绝对值的性质即可解答．
【解析】解：∵M＋｜-20｜＝｜M｜＋｜20｜，∴Ｍ≥0，为非负数．故答案为B．
【点睛】本题考查了绝对值的应用，灵活应用绝对值的性质是正确解答本题的关键．
7．（2019·深圳市高级中学初一期中）若，，且，那么的值是（
）
A．2或12
B．2或
C．或12
D．或
【答案】A
【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义以及有理数的加法法则进一步计算即可.
【解析】∵，，∴
，，
∵，∴，或，，
∴的值为12或2，故选：A.
【点睛】本题主要考查了绝对值代数意义的运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
8．（2019·广东省华南师大附中初一期中）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号），，，，…，那么计算的值是（
）
A．2018
B．2019
C．2020
D．2021
【答案】C
【分析】原式利用题中的新定义化简，约分即可得到结果．
【解析】根据题中的新定义得：原式==2020，故选：C．
【点睛】此题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
9．（2020·江苏相城初一月考）数32019?72020?132021的个位数是
（ ）
A．1
B．3
C．7
D．9
【答案】A
【分析】首先根据规律依次分析出、、的个位数，然后由此进一步结合题意求出答案即可.
【解析】∵，，，，…
观察可得计算结果个位数是3，9，7，1，四次一循环，
∵，∴的个位数为7，
同理，通过观察可得，的个位数分别为1，3，
∵，∴的个位数字为1，故选：A.
【点睛】本题主要考查了有理数乘方运算的规律探讨，根据题意找出正确的规律是解题关键.
10．（2020·北京顺义初一期末）有一张厚度为0.1毫米的纸片，对折1次后的厚度是毫米，继续对折，2次，3次，4次……假设这张纸对折了20次，那么此时的厚度相当于每层高3米的楼房层数约是（
）（参考数据：，
）
A．3层
B．20层
C．35层
D．350层
【答案】C
【分析】找到规律表示出楼层高度即可解题.
【解析】解：由题可知：对折1次的厚度=毫米，
对折2次的厚度=毫米...
对折20次的厚度==1048576毫米=104.8576米,
104.8576334.9535层,故选C.
【点睛】本题考查了科学计数法的实际应用,有理数的乘方,属于简单题,熟悉有理数乘方的运算规律是解题关键.
11．（19·广东省初一期末）如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到，20第2次移动到，第3次移动到，……，第n次移动到，则△O的面积是（
）
A．504
B．
C．
D．505
【答案】B
【分析】根据图可得移动4次完成一个循环，观察图形得出OA4n=2n，处在数轴上的点为A4n和A4n-1.由OA2016=1008，推出OA2019=1009，由此即可解决问题．
【解析】解：
观察图形可知：
OA4n=2n，且点A4n和点A4n-1在数轴上，
又2016=504×4，∴A2016在数轴上，且OA2016=1008，
∵2019=505×4-1，∴点A2019在数轴上，OA2019=1009，
∴△OA2A2019的面积=×1009×1=，故选：B．
【点睛】本题考查三角形的面积，数轴等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于常考题型．
12．（2020·珠海市第九中学初三二模）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点，分别表示数，，则，两点之间的距离为．反之，可以理解式子的几何意义是数轴上表示实数与实数3两点之间的距离．则当有最小值时，的取值范围是（
）
A．或
B．或
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意将可以理解为数轴上表示实数x与实数-2的距离，实数x与实数5的距离，两者的和，分三种情况分别化简，根据解答即可得到答案.
【解析】可以理解为数轴上表示实数x与实数-2的距离，实数x与实数5的距离，两者的和，当x<-2时，=（-2-x）+（5-x）=3-2x；
当时，=（x+2）+（5-x）=7；
当x>5时，=（x+2）+（x-5）=2x-3；
∴有最小值，最小值为7，此时，故选：D.
【点睛】此题考查依据绝对值的性质化简绝对值，正确理解题意，得到表示的意义，再利用分类思想解答问题.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13．（2019·全国初一单元测试）设n是自然数，则的值为_____________.
【答案】1或-1.
【分析】分n为奇数和偶数两种情况，根据有理数乘方运算法则计算可得．
【解析】若n为奇数，则n+2也是奇数，此时==-1；
若n为偶数，则n+2也为偶数，此时==1；故答案为1或-1．
【点睛】本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数的乘方的运算法则和分类讨论思想的运算．
14．（2020·江苏姜堰初一期末）已知、两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果是____．
【答案】
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
【解析】解：根据数轴上点的位置得：-2＜b＜-1，2＜a＜3，且|a|＞|b|，
∴a+b＞0，2-a<0，b+2＞0，则原式=a+b-a+2+b+2=2b+4．
【点睛】本题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
15．（2020·湖北省初一月考）已知是有理数，表示不超过的最大整数，如，，，等，那么______.
【答案】-6
【分析】原式根据题中的新定义化简，计算即可得到结果．
【解析】解：∵表示不超过的最大整数，
∴==；故答案为：.
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，新定义的运算，以及有理数的大小比较，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（2019·天津南开中学初一月考）若，则_______．
【答案】2或-2.
【分析】对a、b、c中正数的个数进行讨论，即可求解．
【解析】解：当a、b、c中没有负数时，都是正数，则原式=1+1+1-1=2；
当a、b、c中只有一个负数时，不妨设a是负数，则原式=-1+1+1+1=2；
当a、b、c中有2个负数时，不妨设a、b是负数，则原式=-1-1+1-1=-2；
当a、b、c都是负数时，则原式=-1-1-1+1=-2，
总是代数式的值是2或-2，故答案为：2或-2.
【点睛】本题考查了有理数的除法法则和乘法法则，正确进行讨论是关键．
17．（2020·河北省初一期中）现有七个数将它们填人图(个圆两两相交分成个部分)中，使得每个圆内部的个数之积相等，设这个积为，如图给出了一种填法，此时__________，在所有的填法中，的最大值为__________．
【答案】64
256
【分析】首先根据题意选取一个圆内的四个数相乘即可得出m的值；然后观察图像，七个数中，有的数被乘了1次、2次、3次，要使每个圆内部的4个数之积相等且最大，所以必须放在被乘两次的位置，则与同圆的只能为，其中放在中心位置，然后进一步计算即可.
【解析】图②中，=64；
通过观察图像，七个数中，有的数被乘了1次、2次、3次，要使每个圆内部的4个数之积相等且最大，所以必须放在被乘两次的位置，则与同圆的只能为，其中放在中心位置，如图所示：
∴=256，故答案为：64，256.
【点睛】本题主要考查了有理数的乘法，正确找出相应规律是解题关键.
18．（2020·北京中关村中学初三月考）容器中有A，B，C
3种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗B粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子．例如，一颗A粒子和一颗B粒子发生碰撞则变成一颗C粒子．现有A粒子10颗，B粒子8颗，C粒子9颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩1颗粒子．给出下列结论：①最后一颗粒子可能是A粒子；②最后一颗粒子一定是C粒子；③最后一颗粒子一定不是B粒子；④以上都不正确；其中正确结论的序号是
．(写出所有正确结论的序号)
【答案】①③
【分析】将问题抽象为有理数的符号法则即可解决.
【解析】解：③∵相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗B粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子，
∴设B粒子为1，A、C粒子为-1，碰撞为乘法运算，∴=-1，
故最后一颗粒子一定不是B粒子，∴③是正确的；
①10颗A粒子，8颗C粒子，8颗B粒子，同种粒子两两碰撞，得到13颗B粒子，再所有B粒子一一碰撞，得到一颗B粒子，和剩下的1颗C粒子碰撞，得到A粒子，
∴最后一颗粒子可能是A粒子；∴①是正确的，②是错的.故答案：①③．
【点睛】本题考查了有理数的符号法则，读懂题意是解题的关键.
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020·全国初一课时练习）观察下面一列数，探求其规律：
，-，，-，，-，….
(1)这一列属于有理数中的哪一类；
(2)写出第7，8，9项的三个数；
(3)第2
013个数是什么？
(4)如果这一列数无限排列下去，与哪两个数越来越接近？
【答案】(1)分数.
(2)，-，.
(3).
(4)1或-1.
分析：（1）观察可知，这列数据全是分数；
（2）观察可知该数列的排列有两个规律：①第奇数个数据为正数，第偶数个数据为负数；②第n个数的分子是n，分母是“n+1”；由此可得第7、8、9项的三个数分别是多少；
（3）由（2）中所得排列规律可得第2013个数是多少；
（4）由（2）中所得排列规律可知，这样无限的排列下去，第奇数个数越来越接近1，而第偶数个数越来越接近-1.
【解析】（1）这一列数都属于有理数中的分数；（2）第7、8、9项的三个数分别是：；
（3）第2013个数是；（4）如果这一列数无限的排列下去，会越来越接近1或.
点睛：在确定一列数的排列规律时，我们需从两个方面思考：①每个项的符号是怎样确定的；②每个项的数字部分（除开符号之外的部分）与序号之间是怎样的数量关系；在本题中，观察可得第奇数项的符号为“正”，第偶数项的符号为“负”；而数字部分：第项的数字部分是：.
20.（2020·四川大邑初一期中）计算
（1）
（2）
【答案】（1）0；（2）
【分析】（1）根据有理数的加减法法则及加法运算律计算即可；
（2）根据有理数的乘方的意义、乘法法则、加减法法则及绝对值的代数意义计算即可．
【解析】解：（1）原式＝[4﹣（﹣2.75）]+[﹣1.5+（﹣5）]
＝7+（﹣7）＝0；
（2）原式＝＝＝．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则、运算顺序及有理数的加法运算律是解决本题的关键．
21．（2019·河北邢台三中初一月考）阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题．
①
–5+（–9）+17+（–3）.
解：原式=[（–5）+（–）]+[（–9）+（–）]+（17+）+[（–3+（–）]
=[（–5）+（–9）+（–3）+17]+[（–）+（–）+（–）+]
=0+（–1）
=–1．
上述这种方法叫做拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便．
②仿照上面的方法计算：（–2017）+（–2018）+4034+（–）．
【答案】﹣3．
【分析】根据阅读材料中的运算方法，将所求式子先拆项，再计算即可．
【解析】解：原式=（﹣2017﹣）+（﹣2018﹣）+4034+（﹣）
=（﹣2017﹣2018+4034）+（﹣﹣﹣）
=（﹣1）+（﹣2）
=﹣3．
【点睛】本题主要考查的是有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键．
22．（2019·山西初一期中）阅读材料并完成任务．
莱昂哈德·欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，瑞士著名的数学家、物理学家，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域；同时，也是数学史上研究成果最多的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学等的课本，《无穷小分析引论》《微分学原理》《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作．因此，被称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔·弗里德里克·高斯）．在数学成就上，欧拉最先把关于的多项式用记号的形式来表示（可用其他字母代替，但不同的字母表示不同的多项式），例如，当时，多项式的值用来表示，即；当时，多项式的值用来表示，记为．
任务：已知；．
请你根据材料中代入求值的方法解决下列问题：（1）求的值；（2）求的值．
【答案】(1)3；(2)
.
【分析】(1)根据的定义，将代入求解即可；
(2)根据的定义，将代入求解即可.
【解析】解：(1)将代入中得到：
，故答案为：3.
(2)
将代入中得到：
==.
故答案为：.
【点睛】本题属于新定义题型，借助新定义考查了有理数的加减乘除及乘方的混合运算；新定义题型就是按照题目中定义的步骤来演算即可.
23．（2019·浙江鄞州初一期中）先阅读下列材料，然后解答问题：
材料1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同的元素中选取2个元素的排列，排列数记为A32＝3×2＝6．
一般地，从n个不同的元素中选取m个元素的排列数记作Anm．
Anm＝n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n﹣m+1）（m≤n）
例：从5个不同的元素中选取3个元素排成一列的排列数为：A53＝5×4×3＝60．
材料2：从三张不同的卡片中选取两张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数为．
一般地，从n个不同的元素中取出m个元素的组合数记作Cnm，
Cnm＝（m≤n）
例：从6个不同的元素选3个元素的组合数为：．
问：（1）从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有
种不同的选法；
（2）从7个人中选取4人，排成一列，有
种不同的排法．
【答案】（1）56；（2）840.
【分析】（1）根据材料，利用组合公式来计算即可；
（2）根据材料，利用排列公式来计算．
【解析】解：（1）从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有：；
（2）从7个人中选取4人，排成一列，有：；
【点睛】本题为材料信息题，根据题中所给的排列组合公式求解．解题的关键是熟读材料.
24．（2020·四川蓬溪初一期中）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|=6+7；|7﹣6|=7﹣6；|6﹣7|=7﹣6；|﹣6﹣7|=6+7．
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：
①|7+21|=______；②|﹣+0.8|=______；③=______；
（2）用合理的方法进行简便计算：
（3）用简单的方法计算：|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣|．
【答案】（1）①7+21；②
；③；（2）9；（3）．
【分析】（1）根据绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值是0即可得出结论；
（2）首先根据有理数的运算法则判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简即可；
（3）首先根据有理数的运算法则判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简即可．
【解析】解：（1）①|7+21|=21+7；故答案为：21+7；
②；故答案为：；
③=
故答案为：；
（2）原式==9
（3）原式
===
【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，此题的难点把互为相反的两个数相加，使运算简便．做题时，要注意多观察各项之间的关系．
25．（2020·全国初一课时练习）同学们都知道，表示5与2之差的绝对值，也可以利用数轴理解为数轴上5与2这两个数所对的两点之间的距离，如图（1）所示．试回答：
（1）_____，这个算式利用数轴可理解为__________；
（2）求使成立的所有整数；（3）求出使成立的所有整数；
（4）如图（2），在笔直的公路一侧有A，B，C，D四个村庄，且，现要在公路上开一家超市，使各村庄到超市的距离之和最小，则超市的位置应在哪两个村庄之间？
【答案】（1）可以利用数轴理解为数轴上与2这两个数所对的两点之间的距离；（2）所有整数有2，；（3）所有整数有；（4）由（3）可知超市的位置应在B，C两个村庄之间．
【分析】（1）根据题中给出的例子可得出结论；
（2）使|x＋5|＝7成立的所有整数，就是?5到数轴上任意一点的距离都等于7的点都符合，找出此点即可；
（3）在数轴上找出符合条件的点即可；
（4）由题意可知，AB＝BC＝CD，则有A到BC之间距离较近，D到BC之间的距离也较近，所以超市的位置应在BC两个村庄之间使得各村庄到超市的距离和最小．
【解析】（1）如图（1），可以利用数轴理解为数轴上与2这两个数所对的两点之间的距离，
；
（2）∵使成立的所有整数，就是数轴上到表示的点距离为7的点所表示的数，
∴如图（2）所示，使成立的所有整数有2，，
；
（3）使成立，即数轴上x表示的点到和2.6表示的点的距离和为7.9，
∵，∴和2.6之间的所有整数均符合要求，
故所有整数有；
（4）由题意可知，且AB＝BC＝CD，则有A到BC之间距离较近，D到BC之间的距离也较近，
∴超市的位置应在BC两个村庄之间使得各村庄到超市的距离和最小．
【点睛】本题考查的是绝对值，熟知绝对值的几何意义是解答此题的关键．
26．（2019·重庆初三一模）数学不仅是一门学科，也是一种文化，即数学文化.数学文化包括数学史、数学美和数学应用等多方面.古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这位大臣的一个要求.大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧.第格放粒米，第格放粒米，第格放粒米，然后是粒、粒、粒······一只到第格.”“你真傻！就要这么一点米粒？”国王哈哈大笑.大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”国王的国库里真没有这么多米吗？题中问题就是求是多少？请同学们阅读以下解答过程就知道答案了.
设,
则
即：
事实上，按照这位大臣的要求，放满一个棋盘上的个格子需要粒米.那么到底多大呢?借助计算机中的计算器进行计算，可知答案是一个位数:
，这是一个非常大的数，所以国王是不能满足大臣的要求.请用你学到的方法解决以下问题:
我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是:一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有多少盏灯?
计算:
某中学“数学社团”开发了一款应用软件，推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：
已知一列数：，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，以此类推，求满足如下条件的所有正整数，且这一数列前项和为的正整数幂.请直接写出所有满足条件的软件激活码正整数的值.
【答案】（1）3；（2）；（3）
【分析】设塔的顶层共有盏灯，根据题意列出方程，进行解答即可.
参照题目中的解题方法进行计算即可.
由题意求得数列的每一项，及前n项和Sn=2n+1-2-n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将-2-n消去即可，分别分别即可求得N的值
【解析】设塔的顶层共有盏灯，由题意得.
解得，顶层共有盏灯.
设,
,
即：
.
即
由题意可知：20第一项,20,21第二项,20,21,22第三项,…20,21,22…,2n?1第n项，
根据等比数列前n项和公式,求得每项和分别为：
每项含有的项数为：1，2，3，…，n，
总共的项数为
所有项数的和为
由题意可知：为2的整数幂，只需将?2?n消去即可，
则①1+2+(?2?n)=0,解得：n=1,总共有，不满足N>10，
②1+2+4+(?2?n)=0,解得：n=5,总共有
满足，
③1+2+4+8+(?2?n)=0,解得：n=13,总共有
满足，
④1+2+4+8+16+(?2?n)=0,解得：n=29,总共有
不满足，
∴
【点睛】考查归纳推理，读懂题目中等比数列的求和方法是解题的关键.
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精品试卷·第
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