21.2.1 一元二次方程的解法（二）配方法课件（20张PPT）

一元二次方程的解法（二）
------配方法
1、填一填
它们之间有什么关系?
预习检测
学习目标
了解配方的概念；掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.(重点)
探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.（难点）
问题1：你还记得吗？填一填下列完全平方公式.
(1) a2+2ab+b2=( )2；
(2) a2-2ab+b2=( )2.
a+b
a-b
问题2：填上适当的数或式,使下列各等式成立.
（1）x2+4x+ = ( x + )2
（2）x2-6x+ = ( x- )2
（3）x2+8x+ = ( x+ )2
（4）
x2- x+ = ( x- )2
你发现了什么规律？
22
2
32
3
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4
【点睛】二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方. x2+px+( )2=(x+ )2
问题引导下的再学习
怎样解方程: x2+6x+4=0 (1)
问题1 方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？
解：
x2+6x+4=0
x2+6x=-4
移项
x2+6x+9=-4+9
两边都加上9
二次项系数为1的完全平方式：
常数项等于一次项系数一半的平方.
?
知识精讲
在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.
问题2 为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？
不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2ax+a2的形式.
※方程配方的方法
知识精讲
像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.
※配方法的定义
※配方法解方程的基本思路
把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．
知识精讲
例1 解下列方程：
解：移项，得
x2－8x=－1,
配方，得
x2－8x+42=－1+42 ,
( x－4)2=15
由此可得
即
题型一：二次项系数为1
配方，得
由此可得
二次项系数化为1，得
解：移项，得
2x2－3x=－1,
即
题型二：二次项系数不未1
例1 解下列方程：
配方，得
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．
解：移项，得
二次项系数化为1，得
即
例1 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5 的值必定大于零.
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4-4＋5
=（k－2）2＋1
因为（k－2）2≥0，
所以k2－4k＋5的值必定大于零.
所以（k－2）2＋1≥1.
题型三：配方法应用
利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值.
解：－x2－x－1= －(x2+x+1)
=－(x2+x+ － +1)
所以－x2－x－1的值必定小于零.
当 时，－x2－x－1有最大值
当堂练习
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？
思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤.
移项时需注意改变符号.
①移项，二次项系数化为1；
②左边配成完全平方式；
③左边写成完全平方形式；
④降次；
⑤解一次方程.
归纳总结
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2=p.
①当p>0时,则 ,方程的两个根为
②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为
x1=x2=-n.
③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根.
归纳总结
应用配方法求最值.
(1) 2x2 - 4x+5的最小值； (2) -3x2 + 5x +1的最大值.
?
?
当堂练习
?
1.解下列方程：
（1）x2+4x-9=2x-11； （2）x(x+4)=8x+12；
（3）4x2-6x-3=0； （4） 3x2+6x-9=0.
解：x2+2x+2=0，
(x+1)2=-1.
此方程无解；
解：x2-4x-12=0，
(x-2)2=16.
x1=6,x2=-2；
解：x2+2x-3=0，
(x+1)2=4.
x1=-3,x2=1.
达标检测
4.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？?
解：设道路的宽为xm, 根据题意得
（35-x)(26-x)=850，
整理得
x2-61x+60=0.
解得
x1=60（不合题意，舍去）, x2=1.
答：道路的宽为1m.
达标检测
解：对原式配方，得
由非负性可知
所以，△ABC为直角三角形.
若a,b,c为△ABC的三边长，且
试判断△ABC的形状.
达标检测
5.已知实数x、y满足x2+4xy+4y2+x+2y-6=0，求x+2y的值．
解：x2+4xy+4y2+x+2y-6=0
（x+2y）2+（x+2y）-6=0
（x+2y+3）（x+2y-2）=0
∴x+2y+3=0，x+2y-2=0
即：x+2y=-3或2．
一、概念：
二、步骤：
把一元二次方程通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.
①移项，二次项系数化为1；②左边配成完全平方式；③左边写成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程.
特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.
小结梳理