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北师大版数学七年级上4.5
多边形和圆的初步认识
导学案
课题
4.5
多边形和圆的初步认识
单元
第四章
学科
数学
年级
七年级
学习
目标
1.认识多边形与正多边形，会求多边形对角线的条数;
2.认识圆和扇形，会求扇形的圆心角的度数和扇形的面积。
重点
难点
求扇形的圆心角的度数和扇形的面积。
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
1.多边形:由若干条_________________的线段首尾_________组成的封闭平面图形.
2.多边形的对角线:多边形中连接_______两个顶点的线段.
3.正多边形:各边_____,各角也_____的多边形.
4.圆:平面上,一条线段绕着它固定的一个端点__________,另一个端点形成的图形.
5.圆弧:圆上任意_____间的部分叫做圆弧，简称___.
6.扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条_____所组成的图形.
7.圆心角：顶点在_____的角.
8.扇形的面积公式:圆心角为n°,半径为R的扇形的面积为______.
合
作
探
究
探究1
1、观察下图，总结多边形的概念。
2、根据教材内容，试着连点A的对角线。
3、做一做
（1）n边形有多少个顶点、多少条边、多少个内角？
（2）试填下表，总结：过n边形的每一个顶点有几条对角线？共有多少条对角线？
多边形条数过一个顶点的对角线条数45678N
总结：多边形从一个顶点出发可以画_____条对角线,所以n个顶点可以画_________条对角线,但每两条就有一条重复,所以一个n边形可以画____________条对角线。
探究2
1、议一议：
观察下图中的多边形，它们的边、角有什么特点？与同伴交流。
2、下面的图形中有我们熟悉的圆和扇形，你还记得用哪些方法可以画一个圆吗？你能用一根细绳和笔画出一个圆吗？
总结：如下图，在一个平面内，
绕它固定的一个
旋转一周，
所形成的图形叫做
。固定的端点O叫做
。线段OA叫做
。
3、例：将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为1:2:3，求这三个扇形的圆心角的度数。
探究3
议一议:
（1）如图，将一个圆分成三个大小相同的扇形，你能算出它们的圆心角的度数吗？你知道每个扇形的面积和整个圆的面积的关系吗？与同伴进行交流。
（2）画一个半径是2cm的圆，并在其中画一个圆心角为60°的扇形，你会计算这个扇形的面积吗？与同伴进行交流。
当
堂
检
测
1、下列说法正确的是（
）
A.由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
B.多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角
C.各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形
D.连接多边形两个顶点的线段，叫做多边形的对角线
2、已知扇形AOB的圆心角为240。，其面积为8cm2，求扇形AOB所在圆的面积．
3、一个四边形的周长是46
cm，已知第一条边长是a
cm，第二条边长比第一条边长的3倍还少5cm，第三条边长等于第一、第二条边长的和．
（1）写出表示第四条边长的式子；
（2）当a=7cm还能得到四边形吗？为什么？此时的图形是什么形状？
课
堂
小
结
1、认识了多边形、扇形、弧。
2、n边形有n个顶点、n条边、n个内角。过n边形的每一个顶点有(n-3)条对角线。
3、会求扇形的圆心角的度数。
参考答案
自主学习：
1、不在同一条直线上；顺次相连
2、不相邻；
3、相等；相等
4、旋转一周
5、两点；弧
6、半径
7、圆心
8、
合作探究：
探究1
略
略
（1）略
（2）
多边形条数
过一个顶点的对角线条数
4
1
5
2
6
3
7
4
8
5
N
n-3
总结：n-3；n（n-3）；
探究2
1、议一议：略
2、略
总结：线段OA；端点O，另一个端点，圆；圆心；半径。
3、解：因为一个周角为360°，所以分成的三个扇形的圆心角分别是：
360°×
=60°
360°×
=120°
360°×
=180°
探究3
议一议：解：(1)360÷3=120
每个扇形占整个圆面积的三分之一。
(2)面积=
=≈2.09cm?
①因为一个圆被分成了大小相同的扇形，所以每个扇形的圆心角相同，又因为圆周角是360?，所以每个扇形的圆心角是360?÷3=120?，每个扇形的面积为整个圆的面积的三分之一。?
②先求出这个圆的面积S=πR?=4π，60÷360=
,
扇形面积=4π×
=
当堂检测：
C；
解：设圆的半径为r，根据题意得8=，
解得r=，
所以圆的面积=π×r?=12π（cm?）
3、解：（1）根据题意得：第二条边是3a-5，第三条边是a+3a-5=4a-5，
则第四条边是46-a-（3a-5）-（4a-5）=56-8a．
答：第四条边长的式子是56-8a．
（2）当a=7cm时不是四边形，
因为此时第四边56-8a=0，只剩下三条边，
三边长为：a=7cm，3a-5=16cm，4a-5=23cm，
由于7+16=23，所以，图形是线段．
答：当a=7cm不能得到四边形，此时的图形是线段．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
.
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4.5
多边形和圆的初步认识
北师大版
七年级上
新知导入
找一找：你能在我们生活周围找出这些平面图形吗？
新知导入
新知讲解
多边形
(polygon)
都是由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形。
我们平常所说的多边形都是指凸多边形，即多边形总在任何一条边所在直线的同一侧。
新知讲解
如图，在多边形ABCDE中，点A、点B，点C,点D,点E是多边形的顶点；线段AB
,
BC
,
CD
,
DE
,
EA是多边形的边；∠EAB、∠ABC,
∠BCD,
∠CDE,
∠DEA是多边形的内角；连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线，如线段AC、线段AD等。
A
B
C
D
E
新知讲解
做一做
1、n边形有多少个顶点、多少条边、多少个内角？
2、过n边形的每一个顶点有几条对角线？共有多少条对角线？
n边形有n个顶点，n条边，n个内角
新知讲解
多边形条数
过一个顶点的
对角线条数
4
5
6
7
8
n
多边形从一个顶点出发可以画_____条对角线,所以n个顶点可以画_________条对角线,但每两条就有一条重复,所以一个n边形可以画____________条对角线。
n-3
n（n-3）
1
2
3
4
5
n-3
新知讲解
议一议：
观察下图中的多边形，它们的边、角有什么特点？与同伴交流。
各边相等，各角也相等
在平面内，各内角都相等、各边也都相等的多边形叫做正多边形。如上图分别是正三角形，正四边形（正方形），正五边形，正六边形。
新知讲解
上面的图形中有我们熟悉的圆和扇形，你还记得用哪些方法可以画一个圆吗？你能用一根细绳和笔画出一个圆吗？
圆规画圆
新知讲解
·
r
O
如图，观察画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个
端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。
A
O
固定的端点O叫做圆心。
线段OA叫做半径。
新知讲解
A
O
B
如图，圆上任意两点A、B间的部分叫做圆弧，
简称弧，记作
AB,读作“圆弧AB”或“弧AB”；由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA、OB所组成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。
⌒
新知讲解
例：将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为1:2:3，求这三个扇形的圆心角的度数。
解：因为一个周角为360°，所以分成的三个扇形的圆心角分别是：
360°×
=60°
360°×
=120°
360°×
=180°
新知讲解
议一议:
如图，将一个圆分成三个大小相同的扇形，你能算出它们的圆心角的度数吗？你知道每个扇形的面积和整个圆的面积的关系吗？与同伴进行交流。
2.画一个半径是2cm的圆，并在其中画一个圆心角为60°的扇形，你会计算这个扇形的面积吗？与同伴进行交流。
新知讲解
解：(1)360÷3=120每个扇形占整个圆面积的三分之一
(2)面积=
=≈2.09cm?
①因为一个圆被分成了大小相同的扇形，所以每个扇形的圆心角相同，又因为圆周角是360?，所以每个扇形的圆心角是360?÷3=120?，每个扇形的面积为整个圆的面积的三分之一。?
②先求出这个圆的面积S=πR?=4π，60÷360=
,
扇形面积=4π×
=
课堂练习
1、下列图形为正多边形的是( )
D
2、下列说法中不正确的是( )
A．正多边形的各边都相等
B．各边都相等的多边形是正多边形
C．正三角形就是等边三角形
D．六条边、六个内角都相等的六边形是正六边形
B
课堂练习
3．如图所示的多边形中，已知AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E.
(1)说出这个多边形的名称．
解：这个多边形是正五边形．
(2)画出这个多边形所有的对角线，数一数，一共有多少条？
解：画出的对角线如图所示，一共有5条．
课堂练习
4．如图，用三种方法分割五边形．
(1)三种分割方法将多边形分成的三角形的个数与多边形的边数有没有关系？若有关系，具体是什么关系？
课堂练习
解：有关系．
题图①中，三角形的个数＝多边形的边数－2；
题图②中，三角形的个数＝多边形的边数；
题图③中，三角形的个数＝多边形的边数－1.
(2)若是n边形，请分别写出用上述三种方法分割所得三角形的个数．
解：若是n边形，用三种方法分割所得三角形的个数依次为n－2，n，n－1.
拓展提高
5.一个凸n边形的边数与对角线条数的和小于20，且能被5整除，则n为( )
A．4
B．5
C．6
D．5或6
分析：当n＝4时，边数与对角线条数的和为4＋
＝6，不符合；当n＝5时，边数与对角线条数的和为5＋
＝10，符合；当n＝6时，边数与对角线条数的和为6＋
＝15，符合．故选D.
D
课堂总结
1、认识了多边形、扇形、弧。
2、n边形有n个顶点、n条边、n个内角。过n边形的每一个顶点有(n-3)条对角线。
3、会求扇形的圆心角的度数。
板书设计
课题：4.5
多边形和圆的初步认识
?
?
教师板演区
?
学生展示区
一、认识了多边形、扇形、弧。
二、n边形的特征
三、求扇形的圆心角的度数
作业布置
基础作业
教材第125页作业题第1、2题
能力作业
教材第125页作业题第3题
谢谢
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