北师大版数学七年级上册4.2 比较线段的长短 课件(43张)

4.2 比较线段的长短
如何比较两个人的身高？
我身高1.53米，
比你高3厘米.
我身高1.5米.
导入新知

看下面这三幅图片谁高谁矮？你是依据什么判断的 ？
导入新知
1. 了解两点间距离的意义，理解“两点之间，线段最短”的线段性质，并学会运用.
.
2. 会用尺规画一条线段等于已知线段，会比较两条线段的长短.
素养目标
3. 理解线段中点、等分点的意义，能够运用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度.
A
F
E
D
B
C
如图：从A地到 C 地有四条道路，哪条路最 近？在图上标出.
线段的性质
知识点 1
探究新知
想一想
A
F
E
D
B
C
经过比较，我们可以得到一个关于线段的基本事实：
两点之间的所有连线中，线段最短.
连接两点间的线段的长度，叫做
这两点的距离.
你能举出这条性质在生活中的应用吗？
这一事实可以简述：两点之间，线段最短.
探究新知
两点之间线段最短.
如图，这是 A，B 两地之间的公路，在公路工程
改造计划时，为使 A，B 两地行程最短，应如何
设计线路？请在图中画出，并说明理由.
.
B
A
.
探究新知
议一议
把原来弯曲的河道改直，A，B 两地间的河道长
度有什么变化？
A
B
A，B 两地间的河道长度变短.
探究新知
想一想
如图，AB+BC AC，AC+BC AB，AB+
AC BC (填“>”“<”或“=”). 其中蕴含的数学道理是 .
＞
两点之间线段最短.
＞
＞
A
B
C
巩固练习
在一条笔直的公路两侧，分别有 A，B 两个村庄，
如图，现在要在公路 l 上建一个汽车站 C，使汽
车站到 A，B 两村庄的距离之和最小，请在图中
画出汽车站的位置.
C
A
B
l
巩固练习
比较下图哪棵树高？哪支铅笔长？窗框相邻的两条边哪条边长？你是怎么比较的？
探究新知
知识点 2
线段的比较
如何比较两条线段的长短呢？
思考
猜想交流
观察这三组图形，你能比较出每组图形中线段 a 和 b 的长短吗？
三组图形中，线段a与b的长度均相等
很多时候，眼见未必为实. 准确比较线段的长短还需要更加严谨的办法.
(1)
(2)
(3)
a
b
a
a
b
b
探究新知
合作探究
做手工时，在没有刻度尺的条件下，若想从较长的木棍上截下一段，使截下的木棒等于另一根短木棒的长，我们常采用以上办法.
探究新知
画在黑板上的线段是无法移动的，在只有圆规和无刻度的直尺的情况下，请大家想想办法，如何再画一条与它相等的线段？
思考
小提示：在可打开角度的最大范围内，圆规可截取任意长度，相当于可以移动的“小木棍”.
探究新知
　　 你们平时是如何比较两个同学的身高的？你能从比身高的方法中得到启示来比较两条线段的长短吗？
讨论
160cm
170cm
探究新知
比较两个同学高矮的方法：
——叠合法.
②让两个同学站在同一平地上，脚底平齐，观看
两人的头顶，直接比出高矮.
①用卷尺分别度量出两个同学的身高，将所得的
数值进行比较.
——度量法.
探究新知
D
C
B
试比较线段AB，CD 的长短.
(1) 度量法；
(2) 叠合法
将其中一条线段“移”到另一条线段上，使其一端点与另一线段的一端点重合，然后观察两条线段另外两个端点的位置作比较.
(A)
C D
A B
探究新知
C
D
1. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落
在C，D之间，那么 AB CD.
(A)
B
＜
叠合法结论：
C
D
A
B
B
(A)
2. 若点 A 与点 C 重合，点 B 与
点 D ，那么 AB = CD.
3. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落在 CD 的延长线上，那么 AB
CD.
重合
＞
B
A
B
A
C
D
(A)
(B)
探究新知
1.为了比较线段AB与CD的大小，小明将点A与点C重合使两条线段在一条直线上，结果点B在CD的延长线上，则(　　 )
A．AB＜CD　　　　　　B．AB＞CD
C．AB＝CD D．以上都不对
2.如图所示，AB＝CD，则AC与BD的大小关系是(　　)
A．AC＞BD B．AC＜BD C．AC＝BD D．无法确定
B
C
巩固练习
已知线段AB,用尺规作一条线段等于已知线段 AB.
A
B
①先作一条射线A 'C '；
A '
C '
②用圆规量取已知线段AB的长度；
③在射线上截取A 'B ' =AB,线段A 'B '就是 所求的线段.
探究新知
作一条线段等于已知线段(尺规作图法)
知识点 3
例
在直线上画出线段 AB=a?，再在 AB 的延长线上画线段BC=b，线段AC 就是 与 的和，记作 AC= . 如果在AB上画线段 BD=b，那么线段 AD 就是 与 的差，记作AD= .
A
B
C
D
a+b
a-b
a
b
b
画一画
a
b
a+b
a
b
a-b
探究新知
1.如图，点B，C在线段 AD 上则AB+BC=____； AD－CD=___；BC＝ ___ －___= ___ － ___.
A
B
C
D
AC
AC
AC
AB
BD
CD
2.如图，已知线段a，b，画一条线段AB，使
AB=2a－b.
a
b
A
B
2a－b
2a
b
巩固练习
在一张纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，折痕与线段的交点处于线段的什么位置？
A
B
M
探究新知
知识点 4
线段的中点
A
B
M
如图，点M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与BM，点 M 叫做线段AB 的中点.类似地，还有线段的三等分点、四等分点等.
线段的三等分点
线段的四等分点
探究新知
A
a
a
M
B
M 是线段AB的中点
几何语言：因为 M 是线段 AB 的中点，
所以 AM = MB = AB.
( 或AB =2AM = 2MB )
反之也成立：因为 AM = MB = AB
( 或AB =2AM =2MB )，
所以 M是线段 AB 的中点.
探究新知
点M , N 是线段AB的三等分点：
AM = MN = NB = ___ AB
(或 AB = ___AM = ___ MN = ___NB)
3
3
3
N
M
B
A
探究新知
例1 若 AB = 6cm，点 C 是线段 AB 的中点，点 D是线段 CB 的中点，求：线段 AD 的长是多少?
解：因为 C 是线段AB的中点，
因为 D 是线段CB 的中点，
所以AC = CB = AB = ×6= 3 (cm).
所以 CD = CB = ×3=1.5 (cm).
所以 AD =AC + CD = 3 + 1.5 = 4.5 (cm).
A C B
D
利用中点求线段的长度
探究新知
素养考点 1
1.如图，点C 是线段AB 的中点，若AB = 8 cm，
则AC = cm.
4
C
A
C
B
2.如图，下列说法，不能判断点C 是线段AB 的中点的是 ( )
A. AC = CB B. AB = 2 AC
C. AC + CB = AB D. CB = AB
A
C
B
巩固练习
变式训练
3.如图，线段AB =4 cm，BC = 6 cm，若点D为线段AB 的中点，点E为线段 BC 的中点，求线段 DE 的长.
A D B E C
答案：DE 的长为 5 cm.
巩固练习
变式训练
例2 如图，B，C是线段AD上两点，且AB：BC：CD=
3：2：5，E，F分别是AB，CD的中点，且EF=24，求线段AB，BC，CD的长．
F
E
C
B
D
A
解析：根据已知条件AB：BC：CD=3：2：5，不妨设AB=3x,BC =2x,CD=5x,然后运用线段的和差倍分，用含x的代数式表示EF的长，从而得到一个关于x的一元一次方程，解方程，得到x的值，即可得到所求各线段的长.
利用比例或倍分关系求线段的长度
探究新知
素养考点 2
F
E
C
B
D
A
解：设AB=3x，BC=2x，CD=5x，
因为E，F分别是AB，CD的中点，
所以
所以EF=BE+BC+CF=
因为EF=24，所以6x=24,解得x=4.
所以AB=3x=12，BC=2x=8，CD=5x=20.
探究新知
求线段的长度时，当题目中涉及到线段长度的比例或倍分关系时，通常可以设未知数，运用方程思想求解.
探究新知
方法点拨
如图，已知线段AB和CD的公共部分BD= AB= CD，线段AB、CD的中点E、F之间距离是10cm，求AB，CD的长．
F
E
B
D
C
A
解析：根据已知条件，不妨设BD=xcm，则AB=3xcm,CD=4xcm,易得AC=6xcm.在由线段中点的定义及线段的和差关系，用含x的代数式表示EF的长，从而得到一个一元一次方程，求解即可.
巩固练习
变式训练
解：设BD=xcm,则AB=3xcm，CD=4xcm，AC =6xcm，
因为E，F分别是AB，CD的中点，
所以
所以EF=AC-AE-CF=
所以AB=3xcm=12cm，CD=4xcm=16cm.
F
E
B
D
C
A
因为EF=10，所以 x=10,解得x=4.
巩固练习
例3 A，B，C三点在同一直线上，线段AB=5cm，BC=4cm，那么A，C两点的距离是（　　）
A．1cm B．9cm C．1cm或9cm D．以上答案都不对
解析：分以下两种情况进行讨论：?当点C在AB之间上，故AC=AB-BC=1cm；?当点C在AB的延长线上时，AC=AB+BC=9cm．
C
方法总结：无图时求线段的长，应注意分类讨论，一般分以下两种情况：?点在某一线段上；?点在该线段的延长线.
需要分类讨论的问题
探究新知
素养考点 3
已知A，B，C三点共线，线段AB=25cm，BC=16cm，点E，F分别是线段AB，BC的中点，则线段EF的长为（　　）
A．21cm或4cm B．20.5cm
C．4.5cm D．20.5cm或4.5cm
D
巩固练习
变式训练
（2019?吉林）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
A
连接中考
1. 下列说法正确的是 ( )
A. 两点间距离的定义是指两点之间的线段
B. 两点之间的距离是指两点之间的直线
C. 两点之间的距离是指连接两点之间线段的长度
D. 两点之间的距离是两点之间的直线的长度
2. 如图，AC = DB，则图中另外两条相等的线段为_____________.
C
A C D B
AD＝BC
基础巩固题
课堂检测
3.已知线段 AB = 6 cm，延长 AB 到C，使BC = 2AB，若 D为AB 的中点，则线段DC 的长为________.
C
A
D
B
15 cm
4.点A，B，C在同一条数轴上，其中点A，B表示的数分别是-3，1，若BC=5，则AC=_________．
9或1
课堂检测
基础巩固题
如图：AB = 4 cm，BC = 3 cm，如果点O 是线段 AC 的中点．求线段 OB 的长度．
A
B
C
O
解：因为 AC = AB + BC = 4+3=7 (cm)，
点O 为线段 AC 的中点，
所以 OC = AC= ×7 = 3.5 (cm)，
所以OB = OC－BC = 3.5－3 = 0.5 (cm)．
能力提升题
课堂检测
已知，如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM=6，求CM和AD的长．
D
A
C
B
M
AD=10x=20 ．
解：设AB=2x，BC=5x，CD=3x,
所以AD=AB+BC+CD=10x.
因为M是AD的中点，
所以AM=MD=5x，
所以BM=AM-AB=3x.
因为BM=6，
即3x=6，所以x=2.
故CM=MD-CD=2x=4，
拓广探索题
课堂检测
比较线段的长短
线段长短的比较
线段的性质
线段中点的概念

度量法
叠合法
两点之间线段最短
课堂小结
尺规作图法
把一条线段分成相等的两条线段的点，叫做线段的中点
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习