北师大版数学七年级上册4.4 角的比较课件（36张）

4.4 角的比较
有一天学生小明和小华各带了一把折扇(如图所示),下面是他们的一段对话:
小明:我的折扇张开大一些,所以我的折扇的角也大一些.
小华:我的折扇长一些,所以我的折扇的角也大一些.
导入新知
聪明的同学们,你们有办法帮他们进行判断吗?
A
B
C
D
E
F
怎样比较∠ABC和∠DEF的大小?
导入新知
1. 会用度量法和叠合法比较两个角的大小.
2. 理解两个角的和、差的意义，会进行角的运算.
素养目标
3.弄清角平分线的含义，会用数学式子表示角平分线，能画出一个角的平分线.
线段长短的比较
AB>CD
ABAB=CD
知识点 1
角的大小与比较
探究新知
温故知新
AB=BC+AC
BC=AB－AC
AC=AB－BC
线段的和、差
线段中点
若点 C 是线段 AB 的中点，则
AC = BC；
AC = BC = AB；
AB = 2 AC = 2 BC.
探究新知
类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？
1. 度量法
探究新知
类比学习
2. 叠合法
A
B
O
(O' )
B'
(A' )
A
B
O
A
B
O
想一想 你能用图形和几何语言说明两个角的大小关系吗？( 两个角分别记作∠AOB，∠A'O'B' )
(O' )
B'
(A' )
∠AOB＜∠A'O'B'
∠AOB =∠A'O'B'
∠AOB＞∠A'O'B'
(O' )
(B' )
(A' )
探究新知
图中有几个角？它们之间有什么关系？
图中有3个角：∠AOC，∠AOB，∠BOC.
∠AOC 是∠AOB 与∠BOC的和，记作∠AOC = ∠AOB +∠BOC；
它们的关系：
∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB = ∠AOC－∠BOC；
类似地，∠AOC－∠AOB= .
∠BOC
A
B
O
C
探究新知
讨论探究
如图所示：
(1) ∠AOC是哪两个角的和？
(2) ∠AOB是哪两个角的差？
(3) 如果∠AOB=∠COD，则∠AOC与∠BOD
的大小关系如何？
B
A
O
C
D
∠AOC =∠AOB +∠BOC.
∠AOB =∠AOC －∠BOC =∠AOD－∠BOD.
∠AOC =∠BOD.
探究新知
练一练
例1 如图，O 是直线 AB 上一点，∠AOC＝53°17′，
求∠BOC 的度数.
解：因为∠AOB 是平角，
∠AOB＝ ∠AOC+∠BOC.
所以∠BOC＝∠AOB－∠AOC
＝180°－53°17′
＝179°60′－53°17′
＝126°43′.
O
C
B
A
如何计算？
可以向180°借1°，
化为60′.
求角的度数
探究新知
素养考点 1
(2) 如图②，若∠AOB= 60°，∠BOC＝40°，则 ∠AOC＝ °．
(1) 如图①，若∠AOC=35°，∠BOC＝40°，则
∠AOB＝ °．
75
20
A
B
O
C
A
B
O
C
图① 图②
计算下列角的度数.
巩固练习
变式训练
(3) 若∠AOB ＝60°，∠AOC ＝30°，则∠BOC＝ °．
90或30
O
B
A
C
C
提示：无图条件下要分情况讨论.
巩固练习
如图，借助一副三角尺可以画出15°和75°的角，你还能画出哪些度数的角？
75°
15°
巩固练习
变式训练
例2 把一个周角7等分，每一份是多少度的角 (精确到分)？
解：360°÷7 = 51°+3°÷7
= 51°+180′÷7
≈ 51°26′.
答：每份是51°26′的角.
有余数，可以把度的余数
化成分后再除.
角的度数的计算
探究新知
素养考点 2
（1） 120°－38°41′；
（2）67°31′+48°49′.
解：原式 = 119°60′－38°41′
= 81°19′ .
解：原式 = (67+48)°+(31+49)′
= 115°97′
= 116°37′ .
计算:
巩固练习
变式训练
提示：涉及到度、分、秒的角度的加与减，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减，分秒相加时逢60要进位，相减时要借1作60.
（1） 20°30′×8；
（2） 106°6′÷5.
解：原式 = (106÷5)°+(6÷5)′= 21°+1°÷5
+(6÷5)′= 21°+(66÷5)′=21°+13′+1′÷5
=21°+13′+60″÷5=21°13′12″
解：原式 = 20°×8+30′×8
= 160°240′
= 164°
计算:
巩固练习
变式训练
角的平分线
B
A
O
C
动手做一做：在纸上画∠AOB，然后将其剪下来，将其沿经过顶点的线对折，使边OA与OB重合.将角展开，折痕上任取一点记作点C.类比线段中点的定义，填空：
∠AOC_____∠COB;
∠AOB=_____∠AOC.
=
2
知识点 2
探究新知
交流探究
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
应用格式：
O
B
A
C
因为OC 是∠AOB 的角平分线，
所以 ∠AOC ＝∠BOC ＝ ∠AOB，
∠AOB ＝2∠BOC ＝2∠AOC.
探究新知
例3 如图，OB 是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线.
(1) 如果∠AOC=80°，那么∠BOC 是多少度？
解：因为 OB 平分∠AOC，
∠AOC=80°，
O
A
B
C
D
E
所以∠BOC= ∠AOC
= ×80°=40°.
利用角平分线求角的度数
探究新知
素养考点 3
(2) 如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD
是多少度？

解：因为 OB 平分∠AOC，
所以 ∠BOC=∠AOB = 40°.
因为 OD 平分∠COE，
所以∠COD=∠DOE = 30°，
所以∠BOD =∠BOC+∠COD = 40°+30°= 70°.
O
A
B
C
D
E
探究新知
(3) 如果∠AOE=140°， ∠COD=30°，那么∠AOB
是多少度？
解：因为 ∠COD=30°，
OD 平分∠COE，
所以 ∠COE=2∠COD=60°，
所以 ∠AOC=∠AOE－∠COE
=140°－60°= 80°.
又因为 OB 平分∠AOC，
O
A
B
C
D
E
所以∠AOB= ∠AOC= ×80°= 40°.
探究新知
如图：OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平
分线，那么下列各式中正确的是 ( )
A
O
A
B
C
D
巩固练习
变式训练
例4 如图，已知∠AOB=40°，自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB=2：3．求OC与∠AOB的平分线所成的角的度数．
O
A
B
解：分以下两种情况：
设∠AOC=2x，∠COB=3x，
因为∠AOB=40°，所以2x+3x=40°，得x=8°，
所以∠AOC=2x=2×8°=16°.
因为OD平分∠AOB，所以∠AOD=20°，
所以∠COD=∠AOD-∠AOC=20°-16°=4°．
C
D
?如图，OC在∠AOB内部，OD平分∠AOB，
利用比例或倍分求角的度数
探究新知
素养考点 4
所以设∠AOC=2x，∠COB=3x，
因为∠AOB=40°，
所以3x-2x=40°，得x=40°，
所以∠AOC=2x=2×40°=80°，
因为OD平分∠AOB，所以∠AOD=20°，
所以∠COD=∠AOC+∠AOD=80°+20°=100°．
O
A
B
C
D
?如图，OC在∠AOB外部，OD平分∠AOB，
所以OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为4°或100°．
探究新知
涉及到角度的计算时，除常规的和差倍分计算外，通常还需运用方程思想和分类讨论思想解决问题.
探究新知
方法点拨
已知如图∠AOB＝ ∠BOD，OC平分∠BOD，
∠AOC＝75°,则∠BOD=_______.
解析：设∠BOD＝x°,则∠AOB＝
所以 解得x=90，故∠BOD=90°.
答案：90°.
90°
巩固练习
变式训练
B
D
C
A
O
∠BOC＝ x°,
x°，
解析：因为∠BOC=29°18′，
所以∠AOC的度数为：180°﹣29°18′=150°42′．
故答案为：150°42′．
（2018?昆明）如图，过直线AB上一点O作射线OC，∠BOC=29°18′，则∠AOC的度数为　 　．
150°42′
连接中考
1．已知∠MON＝40°，∠NOP＝15°，则∠MOP等于(　 )
A．55°　　B．25°　C．55°或25°　 D．40°
2．一副三角板按如图方式摆放，且∠1比∠2大40°，则∠2的度数是(　　 )
A．25° B．40° C．50° D．65°
C
A
基础巩固题
课堂检测
3.如图，∠AOB=170°，∠AOC =∠BOD=90°，求∠COD的度数.
解:因为∠BOC=∠AOB-∠AOC=170°-90°=80°,
所以∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-80°=10°.
课堂检测
基础巩固题
4.计算：86°23′12″－67°36′50″=__________.
解析:86°23′12″－67°36′50″
=86°22′72″－67°36′50″
=85°82′72″－67°36′50″
=(85－67)°(82－36)′(72－50)″
=18°46′22″.
18°46′22″
课堂检测
基础巩固题
5.计算：(1)15°24′×5.
(2)31°42′÷5.
解:(1)15°24′×5=75°120′=77°.
(2)31°42′÷5=6°+1°42′÷5=6°+102′÷5
=6°+20′+2′÷5
=6°20′+120′÷5
=6°20′+24″
=6°20′24″.
课堂检测
基础巩固题
如图，已知∠AOC=60°，∠BOD=90°，∠AOB是∠DOC的3倍，求∠AOB的度数．
O
A
D
C
B
解：设∠COD=x，
因为∠AOC=60°，∠BOD=90°，
所以∠AOD=60°-x，
所以∠AOB=90°+60°-x=150°-x，
因为∠AOB是∠DOC的3倍，
所以150°-x=3x，解得x=37.5°，
所以∠AOB=3×37.5°=112.5°．
课堂检测
能力提升题
如图，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.
(1) 求∠EOD的度数；
解：因为∠AOB＝120°，
OD平分∠BOC，
OE平分∠AOC，

拓广探索题
课堂检测
所以∠EOD＝∠DOC＋∠EOC
＝ (∠BOC＋∠AOC )
＝ ∠AOB＝ ×120°＝60°.
(2) 若∠BOC＝90°，求∠AOE的度数．
解：因为∠AOB＝120°，
∠BOC＝90°，
所以∠AOC＝120°－90°
＝30°.
因为OE平分∠AOC，
所以∠AOE＝ ∠AOC＝ ×30°＝15°.
拓广探索题
课堂检测
角的大小比较
度量法、叠合法
角的和差
角的平分线
图形语言、文字语言、符号语言
方 法
作 法
描 述
课堂小结