23.3
相似三角形
第四课时
相似三角形的判定（三）
＆.教学目标：
1、经历探索三角形相似的判定方法(三边对应成比例，两三角形相似)的过程，掌握判定三角形相似的方法。
2、能够灵活地运用相似三角形的判定方法解决相关问题。
3、在观察、归纳、测量、实验、推理的过程中，培养学生勇于探索的精神。
＆.教学重点、难点：
重点：相似三角形的判定定理。
难点：相似三角形三种判定定理的综合应用。
＆.教学过程：
一、知识回顾
1、回顾：要判定两个三角形相似有几种方法？
2、如图，，求证：∽.
二、探究新知
§.探索相似三角形的判定方法
问题：请同学们做一个实验，看看如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似吗？
做一做：
（1）在格点图中任画一个三角形；
（2）再画一个三角形，使得它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数；
（3）用量角器测量角的大小，对应角都相等吗？由此你发现了什么结论？你小组的同学一样吗？
活动：让同学们自主作图，充分交流。
§.相似三角形的判定定理（三）：
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.
简述：三边对应成比例，两三角形相似。
符号描述：在和中，∵，∴∽
三、讲解例题，巩固新知
§.例1、在和中，已知：，，，
，，．试证明与相似。
证明：∵，，
∴
∴∽（三边对应成比例，两三角形相似）
同步练习：在和中，已知：，，，，，．试证明与相似。
§.例2、如图，，求证：.
证明：∵
∴∽（三边对应成比例，两三角形相似）
∴（相似三角形的对应角相等）
又∵
∴
∴∽（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）
∴（相似三角形的对应角相等）
§.例3、如图，按图所示条件解答问题：
（1）求证：∽；
（2）求、的长。
解析：由图中已知条件可得：，，，从而有，，所以∽，得，；若再用类似的方法证得∽，则一切问题可解。
证明：由图所示条件可得：，，
∴
∵
∴∽
……①
∴
…………②
又∵，且
∴∽………③
∴
…………④
由①和③可得：∽
解答：由②可得：，由④可得：
∴四边形是平行四边形
∴，
四、巩固练习
教材
练习
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、掌握相似三角形的判定方法：三边对应成成比例，两三角形相似，并能利用判定定理解决问题；
2、注意在找对应角相等时要重视隐含条件，如公共角、对顶角、直角等。
六、课外作业
1、教材
习题
、
A
图
1
D
E
F
B
图
2
A
B
C
D
E
图
3
2
A
D
E
B
F
C
3
3
423.3相似三角形
第五课时
相似三角形的判定（四）
＆.教学目标：
1、理解掌握相似三角形的三种判定方法。
2、能够灵活地运用相似三角形的判定方法解决相关问题。
＆.教学重点、难点：
重点：相似三角形的判定定理。
难点：相似三角形三种判定定理的综合应用。
＆.教学过程：
一、知识回顾
1、回顾：要判定两个三角形相似有几种方法？
2、已知：和，，，，，这两个三角形相似吗？
3、已知：和中，，，，，，，这两个三角形相似吗？
二、讲解例题，巩固新知
§.例1、如图，已知，，，当与、之间满足怎样的关系时，∽.
解析：因为和都是直角三角形，所以要使∽，只要使与，与分别成对应边，并且即可，这样就可求出与、之间的关系式。
解：∵
∴当时，∽
即当时，∽
∴
答：当时，∽.
§.例2、如图，已知，是边上的一点，连结.
（1）满足什么条件时，∽？
（2）满足什么条件时，∽？
解析：从图中可以看出，与中，，根据相似三角形的判定定理，只要使，或使得，都有∽.
解：（1）∵
∴当时，∽
（2）∵
∴当时，∽
答：（1）时，∽；（2）时，∽.
同步练习：如图，已知，是边上的一点，连结.当满足怎样的条件时，∽？试请分别加以举例。
提示：此题属于条件探索问题，由相似三角形的判定定理可知：与有公共角，要使两个三角形相似，可根据相似三角形的判定方法寻找一个条件即可。
§.例3、如图，在与中，，且，
，如果图中两直角三角形相似，试求出的长。（或）
解析：由题意得，若与相似，只能判断点和点是对应点，其余两对对应点无法确定，因此分两种情况讨论：①∽；②∽.
解：（1）当∽时，有
∵，
∴
∴
（2）当∽时，有
在中，由勾股定理得：
∴
∴
§.例4、如图，在梯形中，，，为上的一点，且.若，，，求的长。
解析：是中的一边，而且可知和相似，可见，通过比例线段可求的长。
解：∵且
∴
∵
∴
∴
∴∽
∴
∵，，
∴，
∴
∴
三、巩固练习
教材
练习
四、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、熟练地掌握相似三角形的三种判定方法，在选择判定方法时，要注意分析题目条件，选择更简单恰当的方法证明。
2、应用判定定理（二）时注意两边成比例且“夹角相等”这个条件，千万不要任意找两个角相等而导致错误。
A
图
1
C
B
D
A
P
C
B
图
2
A
图
3
D
B
C
图
4
1
A
D
B
E
C
2
323.3
相似三角形
第二课时
相似三角形的判定（一）
＆.教学目标：
1、经历探索三角形相似的判定方法（两角对应相等，两三角形相似）的过程，掌握判定三角形相似的方法。
2、能够灵活地运用相似三角形的判定方法（两角对应相等，两三角形相似）解决相关问题。
3、在观察、归纳、测量、实验、推理的过程中，培养学生勇于探索的精神。
＆.教学重点、难点：
重点：两个三角形相似的判定定理“两角对应相等，两三角形相似”。
难点：两个三角形相似判定（两角对应相等，两三角形相似）的运用。
＆.教学过程：
一、情景导入
1、回顾：相似三角形的性质是什么？怎样判定三角形相似呢？
2、问题：我们在判定三角形全等时，只需部分角和边对应相等即可，而在根据定义判定两个三角形相似时，不但要证明三个角对应相等，同时还要证明三边对应成比例，这样做起来太麻烦，那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？（引出课题）
二、探究新知
§.探索相似三角形的判定方法.
问题1：观察你的一副小三角板和老师的一副大三角板，同样角度（与，或与）的三角板看起来是相似的，这样从直观来看，一个三角形分别与另一个三角形的三个角对应相等时，它们就“应该”相似了，确实是这样吗？请同学们动手试一试。
猜想：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么它们相似。
验证：动手实践，验证猜想。
（1）任意画两个三角形，使其三角对应相等；
（2）用刻度尺分别量一量两个三角形的三边
，记录数据，并求出对应边的比，看看两个三角形的三边是否成比例？
（3）和你小组的同学交流，看看他们得到了什么结论？
（4）归纳所有同学的发现，你能发现什么结论？
思考：两个三角形中有两个角分别对应相等，则第三对角是否相等？
§.相似三角形的判定定理（一）：
如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述：两角对应相等，两三角形相似。
符号描述：在和中，∵，，∴∽.
思考：
（1）如果两个三角形仅有一个角对应相等，那么它们是否一定相似呢？（不一定）
（2）有一锐角对应相等的两直角三角形是否相似？为什么？（一定）
（3）顶角相等的两个等腰三角形是否相似？为什么？（一定）
三、讲解例题，巩固新知
§.例1、如图1，在两个直角三角形和中，，，证明∽．
解析：判定两个三角形是否相似，根据相似三角形判定方法，需要两个角对应相等。
证明：∵，
∴∽（两角对应相等，两三角形相似）
§.例2、如图2，中，，.
（1）图中有哪些相等的角；
（2）图中有哪些相似的三角形；
（3）若、分别为分别为、的中点，则相似三角形的相似比为多少？
（4）证明：∽．
解：（1）∵，
∴，，.
（2）∽∽.
（3）若、分别为分别为、的中点，则与的相似比为.
（4）∵，
∴，
∴∽（两角对应相等，两个三角形相似）
变换1：若，，求的度数。
变换2：若，，，求和的长。
§.例3、在和中，，，，这两个三角形相似吗？
解：∵，，
∴
∴，
∴∽（两角对应相等，两三角形相似）
同步练习：已知：和中，，，，，试判断与相似吗？并说明理由。
§.例4、如图3，已知在正方形中，是上的一点，连结，作交于.
（1）求证：∽；
（2）求证：；
（3）若，，求.
（1）证明：在正方形中，
∴
∵
∴
∴
∴∽
（2）证明：∵∽
∴（相似三角形的对应边比例）
即
（3）解：∵，
∴，代入
得.
四、巩固练习
教材
练习
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、掌握相似三角形的判定方法：两角对应相等，两三角形相似，并能利用判定定理解决问题。
2、注意在找对应角相等时要重视隐含条件，如公共角、对顶角、直角等。
六、课外作业
1、教材
习题
图
1
A
A′
B
C
B′
C′
A
D
E
B
F
C
图
2
图
3
A
B
C
D
P
Q23.3相似三角形
第三课时
相似三角形的判定（二）
＆.教学目标：
1、经历探索三角形相似的判定方法(两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似)的过程，掌握判定三角形相似的方法。
2、能够灵活地运用两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似的判定方法解决相关问题。
3、在观察、归纳、测量、实验、推理的过程中，培养学生勇于探索的精神。
＆.教学重点、难点：
重点：相似三角形的判定定理“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”。
难点：相似三角形的判定定理“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”的应用。
＆.教学过程：
一、情景导入
1、回顾：要判定两个三角形相似有几种方法？
答案：有两种（1）根据定义；（2）两角对应相等，两三角形相似。
2、问题：如图，在中，、分别为、上的三等分点（即，），那么与相似吗？你用的是哪一种方法？
二、探究新知
§.探索相似三角形的判定方法.
问题：这两个三角形有两组角对应相等的条件吗？如果没有，用什么方法可以判定？你能类比上节课的研究方法探究吗？
活动：学生测量角或边，验证是否符合相似三角形的条件。
结果：这两个三角形没有已知两对角对应相等，可以通过定义来判断，可用刻度尺和量角器量一量剩余的边和角，角对应相等，边对应成比例，则这两个三角形相似。
猜想：如果两个三角形两边对应成比例且夹角对应相等，则这两个三角形相似。
验证：动手实践，验证猜想。
（1）画三角形，使，，；
（2）量一量、，计算吗？
（3）用量角器测量、、、，比较它们是否对应相等？
（4）由此你可以得到什么结论？
§.相似三角形的判定定理（二）：
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.
简述：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.
符号描述：在和中，∵，，∴∽.
思考：在相似三角形的判定定理（二）中，如果两边成比例而不是夹角对应相等，这两个三角形相似吗？你能画出两边对应成比例，有一个角相等，但它们不相似的两个三角形吗？
活动：学生认真思考，充分交流，教师引导学生举反例说明。
结果：不一定相似。例如两个等腰三角形，一个等腰三角形的顶角和另一个三角形的底角相等，两边成比例，但两个三角形不相似。
三、讲解例题，巩固新知
§.例1、证明图中和相似。
证明：∵，
∴
∵
∴∽（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）
同步练习：判断图中和是否相似？
§.例2、如图，在中，、分别为、上的点，，，，，试判断与是否会相似，小张同学的判断理由是这样的：
解：∵，而，
∴
∵
∴与不相似
解：小张同学的判断是错误的.
∵，而是公共角
∴与相似（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）
§.例3、如图，已知、是的高。
求证：（1）；（2）∽.
解：∵、是的高
∴，而是公共角
∴∽
∴，即
∵，是公共角
∴∽.
§.例4、如图，等腰中，，为延长线上一点，为延长线上一点，满足.
（1）试证明∽；
（2）若，求的度数。
解析：首先容易知道等腰三角形两底角相邻的外角相等，则需要再找一对相等的角或夹这个角的两边成比例，结合已知条件，显然能用判定定理（二）判定两个三角形相似。
解：（1）∵
∴
又∵
∴，即
∴∽
（2）∵，
∴
又∵∽
∴
∴
同步练习：如图，点、在线段上，且是等边三角形。
（1）当，，满足怎样的关系时，∽；
（2）当∽时，试求的度数。
四、巩固练习
教材
练习
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、掌握相似三角形的判定方法：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似，并能利用判定定理解决问题；
2、注意在找对应角相等时要重视隐含条件，如公共角、对顶角、直角等。
六、课外作业
1、教材
习题
、
图
1
A
B
C
D
E
C
6
图
2
45
A
B
E
F
54
36
30
A
C
E
D
B
4
8
12
图
3
A
图
4
B
C
D
E
图
5
A
E
D
B
C
A
图
6
D
B
C
E
P
图
7
A
C
D
B
