24.3锐角三角函数
第一课时
锐角三角函数（一）
＆.教学目标：
1、了解在直角三角形中，锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的。
2、初步了解正弦、余弦、正切、余切的概念；能较正确地用、、、表示直角三角形中两边的比。
＆.教学重点、难点：
重点：正弦、余弦、正切、余切的概念。
难点：由定义确定锐角的正弦、余弦、正切、余切值，灵活进行直角三角形的有关计算。
＆.教学过程：
一、情景导入
1、请同学回顾勾股定理是怎样定义？利用勾股定理可以解决些什么问题？
2、引言：勾股定理真是帮了大忙，可以解决直角三角形的边长问题，但勾股定理也有失去威力的时候，如：小明放一个线长为米的风筝，他的风筝线与水平地面构成角.他的风筝有多高？要解决这个问题，仅用勾股定理是无能为力了，勾股定理只告诉我们直角三角形中三边之间的关系，如何解决边与角的关系呢？（引出课题）
二、探究新知
知识点1：明确直角三角形三边及角的关系
阅读课本，了解对直角三角形边的命名.如图，在中，，称为的对边；称为的邻边；称为的邻边；称为的对边。
注意:（1）边用小写字母表示；（2）斜边、对边、邻边的概念是相对而非绝对的。
知识点2：在直角三角形中，锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是定值。
问题：作一个的，在角的一边上任意取一点，作于点.量出、的长度（精确到毫米），计算的值（结果保留个有效数字），并将所得结果与你同学所得的结果进行比较。
思考：一般情况下，在中，对任意的锐角，在角的一边上任意取一边，作于点，比值是一定值吗？你能用你所学的知识说明吗？由此你得到什么结论？
教学活动：出示几何画板，演示对于不同大小的角度，总有相应的比值，让学生直观感知比值与角度的对应。
验证：如图，、和
易知∽∽.
故，
在中，对于锐角的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的。其对边与斜边的比值也是唯一确定的。
延伸：类比上面的方法，一般情况下，在中，对于任意的锐角取确定的值，、、都是定值吗？
结论：在中，对于锐角取确定的值，其对边与斜边的比、邻边与斜边的比、对边与邻边的比、邻边与对边的比都是唯一确定的.它与直角三角形的边的长短无关，与角的大小有关。
知识点3：锐角三角函数的概念：
（1）的对边与斜边的比值叫做的正弦.
记作
（2）的邻边与斜边的比值叫做的余弦.
记作
（3）的对边与邻边的比值叫做的正切.
记作
（4）的邻边与对边的比值叫做的余切.
记作
即、、、分别叫做锐角的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角的三角函数。
注意：
（1）我们现阶段所研究的锐角三角函数都是在直角三角形中定义的；
（2）、、、都是表达符号，它们是一个整体，不能拆开来理解；
（3）、、、中的角的记号“”习惯上省略不写，但对于用三个字母和阿拉伯数字表示的角，角的记号“”不能省略，例如不能写成；
（4）锐角三角函数的取值范围：，、、.
三、讲解例题，巩固新知
§.例1、求出图所示的中的四个三角函数值。
解析：欲求的四个三角函数值，常先用勾股定理求出的斜边，然后根据三角函数的定义即可求出。
解：由图可知：，
由勾股定理得：
故的四个三角函数值为：
，，，．
变式练习：求出图所示的中的四个三角函数值。
同步练习：已知中，，，，求、的三角函数值。
§.例2、在中，，，求、、、的值。
解析：已知直角三角形一个锐角的某个三角函数值，求这个锐角和它余角的其他三角函数值，可以先画出直角三角形，结合图形和已知条件，可利用设“”法，将直角三角形的各边长用含“”的代数式表示，然后根据锐角三角函数的定义，求得锐角的三角函数值。
解：如图，因，，则，故设，
由勾股定理得：
故，
，
归纳：在直角三角形中，若已知两边之比，求一锐角的三角函数值，而又无法求得三边具体长度的数值，可根据已知比用表示两边，再用勾股定理求出用的式子表示的第三边长，然后结论可求。
同步练习：
（1）已知中，，，求、、.
（2）在中，，，，求、.
§.例3、已知在中，为斜边上的高，，，求的值。
解析：根据题意画出图形，如图所示，由三角形相似，可求得，故可求得的值。
解：如图，由题意可得：∽
∴，即
∵
∴
故
变式练习：在中，、都是锐角，且，，，求的面积。
四、巩固练习
教材
练习
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、理解锐角三角函数是在勾股定理的基础上进一步研究了直角三角形的边角关系。
2、熟练地记忆正弦、余弦、正切、余切的含义及表示方法，能从函数的定义深刻理解锐角三角函数。
3、理解现阶段是在直角三角形中研究三角函数的，遇到不是直角三角形的问题要构造直角三角形。
图
1
∠A的邻边b
B
C
A
∠A的对边a
斜边c
图
2
A
C3
B2
C2
B1
C1
B3
图
3
∠A的邻边b
B
C
A
∠A的对边a
斜边c
B
C
图
4
15
A
8
图
5
D
C
B
A24.3
锐角三角函数
第四课时
锐角三角函数（四）
＆.教学目标：
1、通过例题让学生进一步理解锐角三角函数的定义，并熟记、、角的三角函数值。
2、熟练地应用三角函数之间的关系（同角三角函数关系等）解决问题。
3、能将实际问题转化为三角函数的问题加以研究解决。
＆.教学重点、难点：
重点：灵活地利用三角函数关系解决问题。
难点：灵活地利用三角函数关系解决问题。
＆.教学过程：
一、知识回顾
1、请同学回顾锐角三角函数是怎样定义？需注意些什么？
2、写出、、角的四个三角函数值。
3、化简：
4、计算：
（1）
（2）
5、在中，，，.
（1）求的长；
（2）求，，，的值；
（3）求；
（4）比较与的大小。
二、紧扣教材试题研究
§.例1、如图，是斜边上的高，，，求的值。
解析：利用两锐角相等，则它们对应的三角函数值也分别相等，把的余弦值转化为求的余弦值。
解：由，
得
则
在中，
故.
规律小结：当一个锐角的三角函数值不易求出时，常找到与它相等的角，看其等角的三角函数值是否易求。
§.例2、在中，，斜边，两直角边、是关于的一元二次方程的两个根，求中较大锐角的三角函数值。
解析：利用一元二次方程根与系数的关系和勾股定理求出、的值，根据大角对大边确定较大锐角，再求其三角函数值。
解：根据题意，得：，，且
∴
即
解得，
当时，（不合题意，舍去）
∴，解得：或
则中较大锐角为边长为的边所对的角，设为，则
，，，.
三、综合拔高试题研究
§.例3、如图，在中，，点在上，，，
，求：（1）的长；（2）的值。
解析：本题已知中的不是直角三角形的一边，不能直接利用参与计算，因而我们考虑运用方程的思想解决。由，可设，，再由，用两种方式把表示成一个含参量的代数式，可列方程求出，得的长和的值。
解：在中，，设，
由勾股定理得：
∵，得
又∵
∴，解得：
故的长为.
在中，，
由勾股定理得：
故.
规律小结：已知三角函数值时，常设辅助未知数，并用它表示图中的相关线段。
§.例4、图，在中，，若，，求及的值。
解析：设，则，，，根据定义可求出；不是直角三角形，欲求需过作，利用和相似求出，再利用勾股定理求出，即求出的值。
解：过作于点
∵，
∴
∴
设，则，
∴，，
∴
∵，
∴∽
∴，即，解得：
∴
规律小结：解决此类题关键是构造直角三角形，用比例常数的代数式表示各边的长，同时用勾股定理求各边间的数量关系，必要时用相似三角形的性质，借助比例线段求线段的比。
§.例5、如图，在中，为的中点，且，求的正弦值、余弦值、正切值及余切值。
解析：在中，，，，
，只需求出线段、、之间的数量关系即可。可过作，利用的性质，寻求以上线段间的数量关系。
解：过作交于点
∵
∴，
又∵，
∴，即
又∵
∴，
设，则，
则在中，
∴，，
，.
图
1
D
C
B
A
D
图
2
C
B
A
E
D
图
3
C
B
A
E
D
图
4
C
B
A24.3锐角三角函数
第二课时
锐角三角函数（二）
＆.教学目标：
1、经历探究、、角的三角函数值，掌握数学由特殊到一般的思想方法。
2、熟记、、角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数。
＆.教学重点、难点：
重点：、、角的三角函数值。
难点：由定义确定锐角的正弦、余弦、正切、余切值，灵活进行直角三角形的有关计算。
＆.教学过程：
一、情景导入
1、请同学回顾锐角三角函数是怎样定义？需注意些什么？
2、在中，，，，求的四个三角函数值。
3、问题：如图，这是一块三角形草皮，，，，那么这块三角形草皮的面积为多少？
思考：过点作的垂线，垂足为，我们知道，，是已知的，假如能够知道，那么可求，则这个问题就得到解决。
本节课将共同探讨、、这些特殊三角函数值。（引出课题）
二、探究新知
教学活动：探究特殊三角函数值
1、测量归纳，发现结论
请同学们每人画一个含有的角的直角三角形，而后用刻度尺量出它的对边和斜边，计算的值，并与同伴交流，看看这个值是多少？
结果：可以得到，即斜边等于对边的两倍，因此，我们得到，
性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
思考：上述结论还可通过逻辑推理得到。如图，中，，，作，点位于斜边上，容易证明是正三角形，是等腰三角形，从而得出上述结论。
2、推导、角的三角函数值
设所对的直角边为，则斜边为，另一条直角边为，由三角函数定义得：
，，，.
，，，.
3、用类比的方法推导角的三角函数值
角可看作等腰直角三角形的锐角，设直角边为，则斜边为，由三角函数定义得：
，，，.
4、用表格列出、、角的四个三角函数值
三、讲解例题，巩固新知
§.例1、计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
§.例2、已知，求的度数。
解析：欲求的度数，则需利用特殊三角函数值。
解：∵
∴
解得：
变式练习：若是锐角，且，求的度数。
§.例3、在中，若，求的度数。
解析：根据非负数的性质可以得到，，再根据特殊三角函数值求出、的度数。
解：由题意，得：，
∴（负值舍去），
∴，
又∵
∴
同步练习：在中，，求的度数。
§.例4、请你解决本节“情境导入”中提出的问题。
解：如图，在中，，得：
故三角形的面积为平方米。
§.例5、如图所示，在中，，，请你在原图的基础上，设计一套方案，求的准确值。
解：延长至，使，则，设
∵，
∴，
∴
在中，.
四、巩固练习
教材
练习
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、理解掌握、、等特殊角的三角函数值。
2、灵活利用特殊三角函数值解决相关问题。
D
图
1
C
B
A
D
图
2
C
B
A
30°
60°
60°
E
图
3
C
B
A24.3锐角三角函数
第三课时
锐角三角函数（三）
＆.教学目标：
1、经历探索锐角三角函数之间的关系,理解由特殊到一般的数学思想。
2、熟练地应用三角函数之间的关系解决问题。
＆.教学重点、难点：
重点：灵活地利用三角函数关系解决问题。
难点：灵活地利用三角函数关系解决问题。
＆.教学过程：
一、知识回顾
1、请同学回顾锐角三角函数是怎样定义？需注意些什么？
2、写出、、角的四个三角函数值。
3、已知的三边长之比为，求最小角的四个三角函数值。
二、探究新知
§.探究锐角三角函数之间的关系
1、正弦、余弦的关系
（1）填空：
，，，.
，，，.
（2）思考：通过上述填空，你发现了什么？并将你得到的猜想加以验证。
验证：如图，，，故得到：
（3）请你类比正弦、余弦的探究过程，思考正切、余切存在怎样的关系？
＆.正弦、余弦的关系：
（1）式子表达：；.
（2）文字叙述：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
注意：①；②简记为：两变。
＆.正切、余切的关系：
（1）式子表达：；.
（2）文字叙述：任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
注意：①；②简记为：两变。
§.探究同角三角函数之间的关系
（1）如图，在中，，分别求出、，、.
（2）计算：；。
（3）根据你刚才的解答，请把你发现的结论归纳出来？
＆.同角三角函数关系：
（1）平方关系：
（2）倒数关系：
（3）商数关系：，.
三、讲解例题，巩固新知
§.例1、解答下列各题：
（1）已知，且，求.
（2）已知，求.
（3）已知，求.
解：（1）.
（2）.
（3）.
§.例2、解答下列各题：
（1）已知，求，，.
（2）已知，求，，.
（3）已知，求，，.
解析：解决此类题既可利用锐角三角函数解决，也可利用同角三角函数关系解决。
§.例3、解答下列各题：
（1）已知，求，，.
（2）已知为锐角，且，求.
（3）已知中，，化简：.
§.例4、解答下列各题：
（1）已知，求，.
（2）已知，求的值.
解析：利用；解决此类型问题。
四、巩固练习
教材
练习
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、理解掌握正弦、余弦及正切、余切之间的关系并能灵活地利用。
2、灵活利用同角三角函数之间的关系解决相关问题。
图
1
∠A的邻边b
B
C
A
∠A的对边a
斜边c
