华师大版九上：22.1 一元二次方程 教案

22.1 一元二次方程
＆.教学目标：
1、理解一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式（、、是常数，），并分清二次项及其系数，一次项及其系数以及常数项各是什么。
2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化成数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
3、通过数学建模的分析、思考过程，激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识。
＆.教学重点、难点：
重点：由实际问题列出一元二次方程。
难点：类比一元一次方程迁移到一元二次方程，一元二次方程中确定各项系数。
＆.教学过程：
一、情景导入
1、回顾：
（1）方程的定义是什么？
（2）到目前为止，我们研究了哪些方程？
2、问题：根据科学分析，舞台上节目主持人应站在舞台的前沿的黄金分割点（即该点将舞台前沿这一线段分成两条线段，使较短线段与较长线段之比等于较长线段与总线段之比）视觉效果最好，已知学校礼堂长米，你知道主持人应站在何处吗？（引出标题）
二、探究新知
§.探究一元二次方程的定义：
问题1：绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，安排面积为平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多米，那么绿地的长和宽各是多少？
问题2：学校图书室去年年底有图书万册，预计到明年年底增加到万册，求这两年的年平均增长率？
问题3：有一面积为的长方形，将的一边剪短，另一边剪短，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？
教学方法：学生独立思考，完成上面三个问题，只列方程，不解方程。
思 考：
（1）上面三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
（2）按照整式中的多项式的规定，将右边化成，左边按未知数的次数降幂排列，它们的最高次数分别是几次？
答案：它们的共同特点是：（1）都是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数都是.
§1.一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程必须同时满足三个条件：（1）整式方程；（2）只含一个未知数；（3）未知数的最高次数是。不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程。
§2.一元二次方程的一般形式：（、、是常数，）
注意：
（1）任何一个关于的方程经过整理，都可以化成一般形式（、、是常数，），其中叫做二次项，叫二次项系数，叫做一次项，叫做一次项系数，叫做常数项。
（2）一元二次方程的一般形式（）中，一次项系数，常数项可以为任意实数，但二次项系数是不等于的实数，因为，方程就不是一元二次方程.例如：方程，都是一元二次方程。
（3）写一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项的前提是必须将一元二次方程化成一般形式，并且不要漏掉前面的符号.如中、、.
§3.一元二次方程的解：
能使一元二次方程（）左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解。
三、讲解例题，巩固新知
§.例1、判断下列方程是不是一元二次方程：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
（7） （8） （9）
解析：判断一个方程是否是一元二次方程，关键是看是否满足以下三个条件：（1）整式方程；（2）只含一个未知数；（3）未知数的最高次数是.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程。
解：方程（3）、（7）含有分式，不是整式方程，所以不是一元二次方程；方程（4）左边不是整式，所以不是整式方程；方程（2）含有两个未知数，所以不是一元二次方程；方程（5）经过整理后，未知数的最高次数是，所以不是一元二次方程；方程（6）中没有指明，所以不一定是一元二次方程；方程（9）中未知数的最高次数是，所以不是一元二次方程。
故上述方程中，只有（1）、（8）是一元二次方程。
归纳小结：判断方程是不是一元二次方程，关键是将方程化为一般形式，在根据定义判断。
同步练习：判断下列方程是不是一元二次方程？若不是，请说明理由。
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
§.例2、为何值时，关于的方程是一元二次方程。
解析：根据一元二次方程的定义，此方程中字母系数应满足，且，由得，而时，二次项系数不符合题意，故舍去。
解：是一元二次方程，则应满足
，即
当时，，此时方程不是一元二次方程；
当时，.
故当时，此方程是一元二次方程。
同步练习：
（1）方程是关于的一元二次方程，求的值。
（2）关于的方程是一元二次方程，求的值。
§.例3、已知关于的方程.
（1）当为何值时，它是一元二次方程；
（2）当为何值时，它是一元一次方程。
解析：若方程为一元二次方程，则二次项系数不为零，即化为一般式（），若方程为一元一次方程，则二次项系数为零，且一次项系数不为零，即（）.
解：（1）要使是一元二次方程，则，即.
∴当时，原方程是一元二次方程。
（2）要使是一元一次方程
则且，即
∴当时，原方程是一元一次方程。
同步练习：已知关于的方程.
（1）求为何值时，它是一元二次方程；
（2）求为何值时，它是一元一次方程。
§.例4、若是关于的一元二次方程，求、的值。
解析：该题考查一元二次方程的概念的正确运用，要使方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为，才能保证方程是一元二次方程，而本题与都有可能作为二次项；也可能一个为二次项，另一个为一次项；或者也有可能一个是二次项，另一个是常数项。
解：由题意分析，若是关于的一元二次方程，则
或或或或
解得：或或或或.
同步练习：关于的方程能是一元二次方程吗？为什么？
§.例5、将下列方程化成一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1） （2） （3）
解：
一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项









方法归纳：一元二次方程的一般形式（、、是常数，）具有两个特征：一是方程的右边为；二是左边的二次项系数不能为.需要注意：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。

四、巩固练习
教材 练习
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、掌握只含一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式（、、是常数，），一元二次方程的项及系数都是根据一般形式定义的，这与多项式中项、次数及其系数的定义是一致的。
3、在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。
六、课外作业
1、教材 习题