23.4中位线
第一课时
三角形的中位线
＆.教学目标：
1、理解并掌握三角形中位线的概念、性质，会利用三角形中位线的性质解决有关问题。
2、经历探索三角形中位线性质的过程，让学生实现猜想、验证的学习过程，体会转化的思想方法。
3、通过对问题的探索研究，培养学生分析和解决问题的能力以及思维的灵活性。
＆.教学重点、难点：
重点：探索并运用三角形中位线的性质。
难点：用同一法证明三角形的三条中线交于一点及运用转化思想解决有关问题。
＆.教学过程：
一、知识回顾
1、判定三角形相似有哪些方法？请你说一说？
2、什么是三角形的中线？三角形的中线有哪些性质？
二、探究新知
（一）探究三角形中位线的概念
问题1：如果将“连结三角形顶点和对边中点”改为“连结三角形两边中点”呢？得到的是一条什么线，这条线段的两个端点是三角形边的什么？（如图2）
教学思路：由此引出课题及三角形中位线的概念。
§.三角形中位线的概念：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
注意：三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段，中线是连结三角形顶点与对边中点的线段，都是三角形中的重要线段，三角形有三条中位线，三条中线。
（一）探究三角形中位线的性质
问题2：如图2，在中，点E、F分别是、的中点。根据画出的图形，请你观察EF和BC有什么关系？
猜想：且.
验证：如图，中，点E、F分别是、的中点。
∴
∵
∴∽（两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似）
∴，（相似三角形的对应角相等，对应边成比例）
∴且
§.三角形中位线的定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。（一线两用）
几何语言叙述：∵E、F分别是、的中点（或，）
∴且
注意：该定理既得到了线段的位置关系，同时也得到了线段之间的数量关系，因此出现了三角形的中点，常常做辅助线：连结三角形的中点，构造三角形的中位线，利用中位线定理来证明平行问题或解决线段之间的倍数关系。
三、讲解例题，巩固新知
思考：如果将上述图1、图2合并，即三角形的一条中位线与第三边的中线相交，此时它们之间有什么关系呢？（如图3）
§.例1、已知：如图所示，在中，，，．
求证：AD、EF互相平分．
证明：连结、DF．
∵，
∴（三角形的中位线定理）
同理
∴四边形是平行四边形
因此AD、EF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）
得到结论：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。
知识延伸：
1、请你思考与有什么关系？（相似）
2、研究了中线与中位线的关系，那么三角形两条中线之间有什么关系呢？（如图4）
§.例2、如图，中，、分别是边、的中点，、相交于．
求证：．
证明：连结.
∵、分别是边、的中点
∴，（三角形的中位线定理）
∴∽
∴
∴．
拓展：如果在图中，取的中点，假设与交于，如图，那么我们同理有，所以有，即两图中的点与是重合的．
于是，我们有以下结论：
三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．
同步练习：如图7，D、E、F分别是三边的中点，如果的面积为1，求的面积。
四、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、掌握三角形中位线是三角形中一条重要的线段，它与三角形中线不同。
2、理解三角形的中位线定理是三角形的一个重要性质定理，注意定理的条件、结论，结论有两个，具体应用时，可视具体情况，选用其中一个关系或两个关系。在三角形中给出一边的中点时，要转化为中位线，用来证明平行或证明线段的倍数问题。
3、生活处处皆数学，要学好数学用于解决实际问题。
五、课外作业
如果将变为四边形ABCD，E、F、G、H分别是四边形中点，那么所得的四边形EFGH是什么四边形呢？
1、如图4：四边形中，、、、分别为各边的中点，顺次连结、、、.
（1）请你判断四边形EFGH的形状，并加以证明；
（2）探索、与四边形的面积之间的等量关系，请写出你发现的结论，并加以证明。
（3）如果四边形的面积为，那么四边形的面积是多少？
解：（1）四边形EFGH是平行四边形。
理由：连结BD，在中
∵、分别为AB、AD的中点
∴，
同理可得：，
∴
∴四边形EFGH是平行四边形
（2）
证明：在中，
∴∽
∴，即.
同理可证：
∴
（3）由（2）的结论可知
2、《导学探究》课后演练
六、参考资料
1、如图：四边形中，、、、分别为各边的中点，顺次连结、、、，把四边形称为中点四边形.连结、，容易证明：中点四边形一定是平行四边形。
（1）如果改变原四边形的形状，那么中点四边形的形状也随之改变，通过探索可以发现：当四边形的对角线满足时，四边形为菱形；
当四边形的对角线满足________
_______时，四边形为矩形；
当四边形的对角线满足________________时，四边形为正方形。
（2）探索三角形、三角形与四边形的面积之间的等量关系，请写出你发现的结论，并加以证明。
（3）如果四边形的面积为，那么中点四边形的面积是多少？
解：（1）；且………………………分（每空各2分）
（2）……………………………………分
证明：在中，
∴∽
∴，即.
同理可证：
∴………………分
（3）由（2）的结论可知
………………………………………分
图
1
A
B
C
D
图
2
A
E
B
C
F
图
2
A
E
B
C
F
图
3
A
E
F
B
D
C
图
4
A
E
D
G
B
C
G′
A
B
D
C
FA
图
5
A
图
7
E
F
G
C
B
D
A
图
8
B
E
H
D
F
G
C
A
图
9
B
E
H
D
F
G
C24.4中位线
第二课时
梯形的中位线
＆.教学目标：
1、理解并掌握梯形中位线的概念，会证明梯形的中位线定理。
2、会运用梯形的中位线定理解决一些四边形的计算问题和证明问题。
3、培养学生的语言概括表达能力、推理论证的能力，学会用运动变化的思想研究问题。
＆.教学重点、难点：
重点：梯形中位线的概念和性质。
难点：梯形中位线定理的证明和灵活应用。
＆.教学过程：
一、情境导入
1、回顾：三角形的中位线如何定义？三角形中位线具有什么性质？运用其性质能解决什么问题？
2、问题：请同学们类比三角形的中位线定义及性质，研究梯形中一条类似的线段——梯形的中位线，想想梯形的中位线具有什么性质呢？是否也平行于它的上、下底边呢？它的上、下底的长度有什么关系呢？（引出课题）
二、探究新知
§.探究梯形的概念及性质
＆.梯形中位线的概念：
连结梯形两腰中点的的线段叫做梯形的中位线，梯形的中位线有且只有一条。
注意：梯形的中位线是连结“两腰”中点而不是连结“两底”或“腰、底”中点的线段，梯形的中位线只有一条。
问题1：梯形中位线与底边的问题关系如何？梯形的中位线与两底之间存在怎样的数量关系呢？
活动：用刻度尺测量这三线段的长度，用量角器测量梯形的底角和腰与中位线的夹角，分工合作完成。
根据测量可猜想：
（1）梯形的中位线平行于两底；
（2）梯形的中位线等于两底和的一半。
验证：已知：如图所示，在梯形中，，，．
求证：，.
解析：由于本题结论与三角形中位线的有关结论比较接近，可以连结，并延长交的延长线于，证明的关键在于说明为的中位线。于是本题就转化为证明，，故只要证明．
证明：连结，并延长交的延长线于
∵
∴，
又∵
∴
∴，
∴为的中位线
∴，
即，
§.梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半。
几何语言表达：在梯形中，，，
∴，
注意：
（1）梯形中位线的作用：①位置关系：可以证明两条直线平行；②数量关系：可以证明一线段是另一条线段的倍或；
（2）梯形中位线定理的证明是转化为三角形中位线定理上证明的，这里有一条常规辅助线，即是把梯形上底的一个顶点和腰的中点连结并延长与下底相交，进而把梯形的问题转化为三角形问题解决。
问题2：如图，你可能记得梯形的面积公式为．其中、分别为梯形的两底边的长，为梯形的高．现在有了梯形中位线，这一公式可以怎样简化呢？它的几何意义是什么？
活动：同学们自主探究，小组合作交流.
归纳：上面的公式可简化为：梯形的面积中位线高.它的几何意义是梯形的面积与以梯形的中位线为长，以梯形的高为宽的矩形的面积相等。
思考：你能用运动变化的观点来理解梯形中位线和三角形的中位线吗？
当梯形的上底两个点重合时，即为三角形，三角形中位线可看作是梯形中位线的特殊形式，此二者是辨证统一的。
三、讲解例题，巩固新知
§.例1、解答下列各题：
（1）梯形的上底长为，下底长为，求中位线长；
（2）梯形的上底长为，中位线长，求下底长；
（3）一个等腰梯形的周长是，且它的中位线长与腰长相等，它的高是，求这个梯形的面积。
§.例2、如图所示，已知是梯形的中位线，、与交于、，，，求的长。
解析：从图形中可知，其中是梯形的中位线，是的中位线，是的中位线，根据中位线定理即可得解。
解：由是梯形的中位线
∴
∵
∴
同理可得：
∴，
∴
归纳：本题的计算中验证了梯形的一个重要性质：“连结梯形两条对角线中点的线段平行于两底且等于两底差的一半”.这个性质在计算时应用较广泛，要记住。
§.例3、如图，在等腰梯形中，，，.
求证：.
解析：观察结论的右边，它是梯形上、下底和的一半，联想到梯形的中位线也等于上、下底和的一半，于是只要证明等于该梯形的中位线即可。为此，这里需构造该等腰梯形的中位线进行证明。
证明：取、的中点、，连结，
则，
在中，，则
∵
∴
∴
∴四边形是平行四边形
∴
∴
§.例4、如图，在梯形中，，，为的中点，连结，.
求证：.
证明：取的中点，连结，则是梯形的中位线
故
∵
∴
∴
∴
归纳：梯形的中位线相对于三角形的中位线而言，应用起来更灵活，通过两个例题让同学们体会在梯形当中出现腰的中点时，常常通过取另一腰的中点来构造梯形的中位线，进而得到边的位置关系或者线段之间的数量关系，为证明或计算提供有利的工具。
§.例5、如图，在等腰梯形中，，，，是梯形的中位线且.
求证：.
解析：过点作交的延长线于点，则四边形是平行四边形.可得：，是等腰直角三角形，，则.
四、巩固练习
教材
练习
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、理解梯形中位线的定义及性质，明确它的两个结论：梯形中位线平行于两底，且等于两底和的一半.既体现了位置关系，同时也表明了数量关系。
2、遇到和梯形中点有关的问题时，要适当添加辅助线灵活地转化为中位线问题。
六、课外作业
1、教材
习题
、
图
1
A
D
E
F
B
C
G
图
2
h
l1
l2
A
D
M
E
F
N
B
C
图
3
图
4
A
D
E
F
B
H
C
A
图
5
D
F
E
B
C
图
6
A
D
E
F
B
G
C
H
D′
图
7
A′
A
B
C
D
E
B′
C′
E′
