21.3
二次根式的加减
第二课时
二次根式的混合运算
＆.教学目标：
1、掌握二次根式的混合运算法则，并能熟练地进行二次根式的混合运算。
2、能利用二次根式的性质及运算法则解决问题。
＆.教学重点、难点：
重点：熟练地应用二次根式的混合运算法则进行计算化简。
难点：被开方数中含有字母，被开方式中含有分母的二次根式的化简。
＆.教学过程：
一、情景导入
1、回顾：整式四则混合运算法则是什么？
2、计算：（1）；（2）.
3、思考：你能应用你所学过的知识解决下列问题吗？
（1）
（2）
二、探究新知
§.探究二次根式混合运算法则：
1、计算：（1）
（2）
教学方法：教师引导学生利用类比整式的运算法则进行解答。
答案：（1）；（2）.
2、上面的解题过程给你什么启示？并计算下列各题。
（1）；（2）；（3）；（4）.
答案：（1）；（2）；（3）；（4）.
§.二次根式四则混合运算法则：
（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；
（2）如果有括号，则先算括号里面的，再算括号外面的。
三、讲解例题，巩固新知
§.例1、计算：
（1）
（2）
（3）；
（4）
解析：对于二次根式的混合运算，具体问题应根据题的特点灵活地选择解决方法。（1）利用平方差公式计算；（2）、（3）利用完全平方公式计算。
解：（1）
（2）
（3）
（4）
同步练习：计算
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
§.例2、（年上海）化简：.
解析：先将各个二次根式化为最简二次根式，分母中含有二次根式的，应化去分母中的二次根式，然后合并同类二次根式。
解：原式
§.例3、已知，求的值。
解析：二次根式的化简求值是一个难点，通常是先化去分母中的根号（分母有理化），或用根式的性质，先约分再通分计算。
解：∵
∴
原式
当时，原式.
注意：（1）本题的解题关键是要注意判断与的大小关系；（2）不能误认为
导致错误。
同步练习：若，，求的值。
四、巩固练习
教材
练习
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、掌握二次根式的混合运算法则，并能熟练地灵活地进行计算。
2、能根据实际情况灵活地解决二次根式的相关问题。
六、课外作业
1、教材
习题
2、选用课时作业：
.计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
.已知，，求的值。21.3
二次根式的加减法
第1课时
二次根式的加减
＆.教学目标：
1、理解同类二次根式的概念，能正确识别两个二次根式是否是同类二次根式。
2、会正确地运用同类二次根式的概念进行二次根式的加减运算。
3、经历知识的探索与应用，深入理解和掌握类比数学思想与化归数学思想在解决数学问题中的广泛应用，培养探索新知识的方法和能力。
＆.教学重点、难点：
重点：二次根式的化简，同类二次根式的合并法则。
难点：被开方数中含有字母，被开方式中含有分母的二次根式的化简。
＆.教学过程：
一、情景导入
1、什么是最简二次根式？最简二次根式须满足哪些条件？
2、计算：（1）；（2）.
3、问题：因实际需要，工人师傅要焊制三个面积分别为，，的正方形铁框，你能替工人师傅计算一下需要原材料的总长度吗？
二、探究新知
§.探究同类二次根式的概念：
1、问题：把上面问题转化为，你能计算吗？
2、先完成下列各题：
（1）；（2）；（3）；（4）.
答案：（1）；（2）；（3）；（4）.
3、上面的解题过程给你什么启示？
教学活动：学生分析、讨论、交流，无固定答案，鼓励学生大胆发表自己的见解，教师总结.
（1）二次根式的加减与整式的加减运算类似；
（2）如果几个二次根式的被开方数相同，那么可以直接根据分配律进行加减运算；
（3）如果所给的二次根式不是最简二次根式，应该先化简，再进行加减。
§.同类二次根式的概念：
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
注意：
（1）判断几个二次根式是不是同类二次根式，应先将每个二次根式进行化简，化成最简二次根式（即被开方数中不含分母，且被开方数中不含有可开方的因数或因式）以后，再看被开方数是否相同。
（2）若已知几个最简二次根式（或几个二次根式已经化简）是同类二次根式，我们可以得到如下信息，这几个二次根式的根指数都是，这几个二次根式的被开方数相同，从而列出方程。
（3）若已知两个二次根式是同类二次根式是同类二次根式，如和是同类二次根式，则被开方数不一定相等，如和是同类二次根式，但，这一点一定要注意。
（4）将一个二次根式化成最简二次根式，要用到积、商的算术平方根的性质，如
（，），（，）。
§.二次根式加减运算法则及步骤：
二次根式的加减运算的实质就是合并同类二次根式，它与整式的加减运算类似。
二次根式的加减的步骤是：
（1）先把各个二次根式化成最简二次根式；
（2）合并同类二次根式，将同类二次根式系数相加减，根式不变。
三、讲解例题，巩固新知
§.例1、试判断下列各式中哪些是同类二次根式。
，，，，，，.
解析：先把各个二次根式化成最简形式，再观察每个最简二次根式的被开方数相同的即为同类二次根式。
解：∵，
，
，
，
.
∴，是同类二次根式，
，，是同类二次根式，
，是同类二次根式.
同步练习：判断下列各式中哪些是同类二次根式。
，，，，，，.
§.例2、如果最简二次根式和是同类二次根式，求，的值。
解析：由同类二次根式的定义可列出方程组，然后解这个方程组可得.
解：根据同类二次根式的定义得：
，解得：
同步练习：求最简二次根式与能否是同类二次根式，若能，求出的值；若不能，请说明理由。
§.例3、计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
解析：首先将各个二次根式化简，再利用分配律合并同类二次根式。
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）
方法小结：
（1）在进行二次根式加减运算时，无论被开方数是数字，还是含有字母，都应先把各个二次根式化成最简二次根式，然后再合并。
（2）合并同类二次根式与合并同类项的方法类似，只需将根号外面的系数相加，其余不变，特别要注意的是，不是同类二次根式的不能合并。
同步练习：计算
（1）
（2）
§.例4、计算：
解原式
注意：不是同类二次根式的二次根式不能合并。
四、巩固练习
1、教材
练习
2、计算：
（1）；
（2）
；
（3）；
（4）.
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、理解同类二次根式的概念，能正确识别两个二次根式是否是同类二次根式。
2、能熟练地准确地进行二次根式的加减运算，提高运算能力。
六、课外作业
1、教材
习题
2、补充题：
.计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）
.计算：
（1）
（2）
.已知和是同类二次根式，求正整数，的值。
.已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值。
