21.1
二次根式
第二课时
二次根式（二）
＆.教学目标：
1、通过探索，让学生深刻，理解二次根式的性质并能熟练应用。
2、通过二次根式的学习，进一步培养学生的探索能力，并学会使用分类讨论的思想方法。
＆.教学重点、难点：
重点：二次根式的性质应用。
难点：用分类的方法化简及、的区别与联系。
＆.教学过程：
一、情景导入
1、判断下列式子哪些是二次根式？
（1）
（2）
（3）
答案：（1）不是；（2）不是；（3）是
2、是怎样的实数时，下列各式有意义？
（1）
（2）
（3）
答案：（1）；（2）且；（3）
3、在实数范围内把下列多项式因式分解。
（1）
（2）
（3）
答案：（1）；（2）；（3）
二、探究新知
§.探究二次根式的性质.
问题：请同学们完成下列各题：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；
（6）.
答案：（1），3；（2），2；（3），0；（4），3；（2），2；（3），7
思考：你能发现什么规律？对于取不同的值，的结果是什么？你能得到什么结论？
答案：一个数的平方的算术平方根，等于它的绝对值；对于a取不同的数值，的结果不同。
教学方法：学生先独立完成，然后分组讨论，教师根据学生情况加以点拨。
§.二次根式的性质：
注意：表示的算术平方根，因此化简的结果一定是非负数，即。
§.探究：与的联系与区别。
思考：与有何异同？
教学方法：引导学生从各自表示的意义、的取值范围、运算结果的范围等方面加以分析，学生分组交流，合作学习。
相同点：结果都是非负数。
不同点：（1）表示的意义不同：表示的平方的算术平方根；表示的算术平方根的平方。
（2）字母的取值范围不同：中；中取全体实数。
（3）两式的运算结果不同：当时，；当时，，而无意义。
三、讲解例题，巩固新知
§.例1、化简下列各式：
（1）
（2）
（3）
（4）
教学方法：利用进行化简。
答案：（1）；（2）；（3）；（4）.
同步练习：
1、化简下列各式：
（1）
（2）
（3）
答案：（1）；（2）；（3）
2、下列等式能不能成立？为什么？
（1）
（2）
（3）
（4）
答案：（1）成立；（2）不成立，因为；（3）成立；（4）不正确，因为
§.例2、化简：
解析：去绝对值或化简二次根式，关键是讨论被开方数或绝对值内的数的正负情况。
解：∵
∴，
原式
同步练习：
（1）化简：；
答案：原式
（2）若时，试化简.
答案：原式
§.例3、、、三个实数在数轴上且对应点的位置如下图所示，化简：
.
解析：化简必须对进行讨论，当时，；当时，.根据数轴可以知道，，.
解：由题意得：，，
原式
方法小结：去平方，去根号，直接加上绝对值符号，再讨论，变括号。
§.例4、已知实数、满足，求.
解析：因为，，故由已知，可得，，从而得出、的值。
解：根据题意，得：，，解得：，.
∴
同步练习：
1、已知，求.答案：2
2、若，求的值。答案：2
§.例5、已知，求的值。
解析：此类似题主要是利用二次根式的被开方数是非负数，得到关于的不等式组解答即可。
解：由题意，得：
，解得：
把代入，得：
故.
同步练习：
1、已知、为实数，且，求、的值.答案：
2、若，求的值.答案：2000
四、巩固练习
教材
练习
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、理解二次根式的定义，会应用其非负性解决问题；
2、能根据条件化简，理解其分类讨论的思想；
3、掌握二次根式的三个性质：①；②；③，并能灵活利用其进行化简求值运算。
六、课外作业
1、教材
习题
2、选用课时作业：
.已知，化简.
解：∵
∴
原式
.若，求的取值范围。
解：由题意得：，则
.已知，求的值。
解：由题意得：，解得：，
.已知，求的值。
解：
则，，
原式
.已知，是实数，且，化简：.
解：由题意得：，解得：，
原式
.已知，求的值。
提示：注意到，而，，然后由平方差公式和已知条件即可求解。
b
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
c
a
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二次根式
第一课时
二次根式（一）
＆.教学目标：
1、理解二次根式的概念，能根据二次根式的概念，求出其中字母的取值范围。
2、能够深刻理解二次根式的性质并能熟练应用。
3、通过二次根式的学习，培养学生的探索能力，并学会使用分类讨论的思想方法。
＆.教学重点、难点：
重点：二次根式的概念及（）的化简。
难点：利用“（）及（）”解决具体问题。
＆.教学过程：
一、情景导入
1、解答下列问题：
（1）求的平方根和算术平方根；平方根是+4、-4
算术平方根是4
（2）在中，两直角边，，求的长；
（3）求的算术平方根；
√6
（4）正方形的面积为，求边长.
4s
教学方法：学生完成练习，交流发现它们的共同特征。
思考：根据上面的（2）～（4）题的结果，你能发现它们有什么共同的特征吗？
共同特征：都含有“”的形式，被开方数都是非负数。（引入标题）
二、探究新知
§1、探究二次根式的概念：
问题：“”表示什么含义？
教学方法：学生思考、交流，发表自己的见解。
概括：当时，表示非负数的算术平方根，它是一个非负数；当时，无意义。
§.二次根式的概念：形如（）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号。
注意：
（1）二次根式必须满足两个条件：一是根指数为为，二是被开方数是非负数；
（2）数学表达为：；。
§2.探索.
1、请同学们完成下列各题：
（1）；（2）；（3）.
答案：（1），4；（2），9；（3）5
2、思考：通过上述习题，你能发现什么规律，请你用语言及式子加以表示。
答案：一个非负数的算术平方根的平方等于这个正数本身，即
§.二次根式的性质：.
三、讲解例题，巩固新知
§.例1、判断下列各式哪些是二次根式。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）（，异号）
答案：（1）、（2）、（5）、（7）
归纳小结：判断一个式子是否是二次根式，取决于两点：（1）从形式上看，必须含有二次根号“”；（2）被开方数必须为非负数。
同步练习：判断下列各式中哪些是二次根式。
（1）（是）
（2）（不是）
（3）（不是）
（4）（是）
§.例2、是怎样的实数时，二次根式有意义？
解析：要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数。
解：被开方数，即.
所以，当时，二次根式有意义。
§.例3、当是怎样的实数时，下列式子有意义？
（1）
（2）
（3）
（4）
解析：二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不为零。所以（1）题只需考虑被开方数非负；（2）、（3）题既需考虑被开方数非负，又需考虑分母不为零。
解：（1）被开方数，即
所以，当时，二次根式有意义.
（2）要使有意义，则有，即
所以，当且时，有意义.
（3）要使有意义，则有，即
所以，当时，有意义.
（4）要使有意义，则，即
所以，当时，有意义.
同步练习：求使下列各式有意义的字母的范围。
（1）
（2）
（3）
（4）
答案：（1）x为任意实数；（2）；（3）且；（4）
§.例4、计算：
（1）
（2）
解析：利用二次根式的性质即可解决。
解：（1）；（2）
变式例题：请在实数范围内分解下列因式。
（1）
（2）
（3）
四、巩固练习
教材
练习
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、理解二次根式的概念，会应用二次根式的概念解决相关问题；
2、灵活地利用二次根式的性质解决相关问题。
六、课外作业
1、教材
习题
2、计算：（1）
（11）
（2）（14）
（3）（320）（4）（0.2）
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