21.2
二次根式的乘除
第三课时
商的算术平方根
＆.教学目标：
1、掌握商的算术平方根的性质，会利用商的算术平方根的性质对二次根式进行化简。
2、经历探索商的算术平方根的过程，培养学生的合情推理能力。
＆.教学重点、难点：
重点：利用商的算术平方根进行化简。
难点：理解并能灵活地应用商的算术平方根的性质化简二次根式。
＆.教学过程：
一、情景导入
1、回顾：积的算术平方根的性质是什么？请用数学式子和文字语言分别表达出来？
2、回顾：二次根式的乘法法则是怎样的？请用数学式子和文字语言分别表达出来？
3、思考：积的算术平方根性质与二次根式的乘法之间有什么联系和区别？
二、探究新知
§.探究商的算术平方根的性质：
1、试一试，计算：
（1）与；（2）与；（3）与；（4）与.
2、通过以上计算你发现什么规律？
规律：其中一个是根号内两个数相除，另一个是两个二次根式相除，每个小题的运算结果都相等。
3、你能类比前面学习的方法用一个式子表示上面的规律吗？
§.商的算术平方根法则：
数学表达形式：（，）
文字语言叙述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
注意：
（1）公式中的，必须满足，.
（2）利用商的算术平方根的性质其目的是对二次根式进行化简.使被开方数中不含有开得尽方的因式（或因数）。
三、讲解例题，巩固新知
§.例1、若成立，求的取值范围。
解析：根据商的算术平方根即可得到关于的不等式组。
解：根据题意，得：
解得：
变式例题：已知，且为偶数，求的值。
同步练习：若成立，求的取值范围。
§.例2、化简：
（1）
（2）
（3）
解：（1）；
（2）；
（3）.
注意：
（1）利用商的算术平方根对二次根式进行化简，若被开方数是带分数，则应将带分数化为假分数。
（2）利用商的算术平方根化简二次根式，最后结果要求分母中不含二次根式，分子的被开方数中不能含开得尽方的因数（或因式）。
同步练习：化简下列各式，要求分母中不含二次根式，并且二次根式中不含分母，其中的字母都大于零。
（1）
（2）
（3）
（4）
四、巩固练习
1、教材
练习
（）、（）
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、理解商的算术平方根的性质。
2、能正确熟练地应用商的算术平方根性质化简二次根式。
六、课外作业
1、教材
习题
（）、（）、（）21.2
二次根式的乘除
第一课时
积的算术平方根
＆.教学目标：
1、掌握积的算术平方根，会运用积的算术平方根进行运算。
2、经历探索二次根式的算术平方根性质的过程，让学生进一步了解数学知识之间是相互联系的，培养学生努力探索事物之间内在联系的学习习惯。
＆.教学重点、难点：
重点：利用积的算术平方根进行计算。
难点：理解并能灵活地应用积的算术平方性质进行计算。
＆.教学过程：
一、情景导入
问题：一块正方形的木板面积为，已知，你能不用计算器以最快的速度求出正方形的边长吗？
教学方法：学生先独立思考，然后相互交流，教师根据问题引出课题。
二、探究新知
§.探究积的算术平方根性质：
1、试一试，并观察结果，你能发现什么规律？
（1）与；
（2）与；
（3）与；
（4）与.
2、对于与呢？你发现什么规律？
规律：每组中的不同的两个式子的运算结果都相等。
3、你能用一个式子表示上面的规律吗？
§.积的算术平方根法则：
数学表达形式：，）
文字语言叙述：积的算术平方根，等于积中各因式算术平方根的积。
注意：
（1）积中各因式必须是非负数，即，，若不是非负数，应将其化成非负数再运用公式化简，如，而应将化成。
（2）利用积的算术平方根的性质其目的是将二次根式化简，而二次根式化简关键是被开方数分解质因数，把含有形式的移到根号外面，使二次根式简化。
（3）本章范围内，以后没有特别说明，所有字母都是非负数。
三、讲解例题，巩固新知
§.例1、若成立，求的取值范围。
解析：根据二次根式的乘法法则即可得到关于的不等式组。
解：根据题意，得：
解得：.
同步练习：若成立，求的取值范围。
§.例2、化简，使被开方数不含有完全平方的因式（或因数）：
（1）
（2）
（3）
（4）
教学方法：学生独立完成，两个学生板演，教师巡回检查指导。
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
同步练习：化简，使被开方数不含有完全平方的因式（或因数）：
（1）
（2）
（3）
（4）
§.例3、化简：
（1）
（2）
（3）
（4）
教学方法：当被开方数的因式的指数大于时，可利用积的平方根的性质进行化简，注意题中的隐含条件。
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
注意：
（1）如果被开方数不是积的形式，应先将其化成积的形式.若被开方数是个因数，则应进行质分解；若被开方数是个多项式，则应进行因式分解。
（2）一个二次根式的被开方数中有的因式（或因数）能开得尽方，则必须利用积的算术平方根的性质，将这些因式（或因数）开出来，从而将二次根式化简。
同步练习：化简
（1）
（2）
（3）
（4）
思考：请同学们完成课堂开始时提出的问题并进行解答。
§.例4、比较与的大小。
解：，
∵
∴
∴
教材
练习
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、理解积的算术平方根的性质，会应用积的算术平方根的性质进行化简。
2、能根据二次根式的特征，熟练地利用积的算术平方根进行化简。21.2
二次根式的乘除
第五课时
最简二次根式
＆.教学目标：
1、理解最简二次根式的概念。
2、掌握化简一个二次根式成最简二次根式的方法。
3、在合作学习中，提高学生辨证分析问题的能力和运算能力。
＆.教学重点、难点：
重点：最简二次根式的概念及利用二次根式的性质把一个二次根式化简为最简二次根式。
难点：化简二次根式的方法和技巧。
＆.教学过程：
一、情景导入
1、二次根式有哪些性质？用数学式子和文字语言分别表达出来？
2、二次根式的乘除运算法则是什么？用数学式子和文字语言分别表达出来？
3、化简：
（1）
（2）
二、探究新知
§.探究最简二次根式的概念：
1、计算：如果已知，不借助计算器你能不能求出与的近似值呢？
教学方法：学生思考、讨论、交流，利用已有知识解决新问题，教师适当引导。
解析：，，因此可根据，求出与的近似值。
解：；.
2、观察与，与有什么联系和区别？
§.最简二次根式：
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
（1）被开方数不含有分母；
（2）被开方数不含开得尽方的因式或因数。
问题：你如何理解这两个条件？请同学们举例说明。
（1）被开方数不含分母，即指被开方数中的数字都是整数，式子必须是整式；因为小数也是特殊的分数，因此被开方数中也不能含小数；
（2）被开方数不含开得尽方的因式或因数，即指被开方数进行因数分解或因式分解后，各个因数或因式的次数必须为次。
（3）化简二次根式实质就是将二次根式化简成最简二次根式。
如：，，都不是最简二次根式。因为被开方数的因数（或因式）为分数（或分式），不符合条件（1）.条件（1）实际上就是要求结果中的分母不带根号。
又如：，，，也不是最简二次根式，因为被开方数中含有能开得尽方的因数或因式，不满足条件（2）。注意条件（2）是对被开方数分解成质因数或分解成因式后而言。
例如：化成最简二次根式是，化为最简二次根式是.
三、讲解例题，巩固新知
§.例1、试判断下列二次根式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.
解析：判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。
解：最简二次根式有：（3）.
§.例2、把下列各式化成最简二次根式：
（1）
（2）
解析：引导学生观察例题中二次根式的特点，即被开方数是整式或整数，再启发学生总结这类题化简的方法，先将被开方数或被开方式分解因式或分解因数，然后把开得尽方的因数或因式开出来，从而将式子化简。
解：（1）；（2）.
方法归纳：当被开方数是整数或整式时，化简二次根式的方法是：把被开方数进行因数或因式分解，根据积的算术平方根的性质，把开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替移到根号外面去。
同步练习：把下列各式化成最简二次根式。
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
§.例3、把下列各式化成最简二次根式：
（1）
（2）
教学方法：引导学生观察例题中二次根式的特点，即被开方数是分数或分式，再启发学生总结这类题化简的方法，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化化简。
解：（1）；
（2）.
方法归纳：当被开方数是分数或分式时，化简二次根式的方法是：根据分式的基本性质和商的算术平方根化去分母约分；当被开方数是小数时，先化成分数，再进行化简；被开方数是带分数时，先化成假分数，然后再进行化简；若被开方数含分母时，先利用分式的基本性质，将分母转化成平方数或平方式的形式，再把能开得尽方的因数或因式开出来，若分子与分母有公因式时，应首先约去公因式，然后再化简。
同步练习：把下列各式化成最简二次根式。
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
§.例4、把下列各式化成最简二次根式：
（1）
（2）（，）
解析：最简二次根式的特征：被开方数中不含有平方因数或因式；分母中不含根号，根号里无分母，按照此条件进行化简即可.（1）由题意可知，可以把根号外面的移到根号里面，也可以把根号里面的分母移到根号外面；（2）先将被开方数进行合并，再化简。
解：（1）方法1：.
方法2：.
（2）.
四、巩固练习
1、教材
练习
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、掌握用最简二次根式的定义判断一个根式是否为最简二次根式。
2、要根据积的算术平方根和商的算术平方根的性质把一个根式化成最简二次根式，特别注意当被开方数为多项式时要进行因式分解，被开方数为两个分数的和则要先通分，再化简。在实际问题中，遇到二次根式，一般应先把它化简后，可避免因误差积累而造成的结果不准确；把两个二次根式化简后，它们的乘除法运算可能变得简单；把一组二次根式化简成最简二次根式后，可以为二次根式的加减奠定基础。21.2
二次根式的乘除
第四课时
二次根式的乘除法
＆.教学目标：
1、掌握二次根式的除法法则，会运用法则进行运算。
2、经历探索二次根式的除法法则的过程，让学生进一步了解数学知识之间是相互联系的，培养学生努力探索事物之间内在联系的学习习惯。
＆.教学重点、难点：
重点：利用二次根式的除法法则进行计算。
难点：理解并能灵活地应用二次根式的除法进行计算。
＆.教学过程：
一、情景导入
1、回顾：商的算术平方根的性质是什么？请用数学式子和文字语言分别表达出来？
2、化简：
（1）
（2）
（3）
3、你能计算吗？请说明你的理由或思路？
二、探究新知
§.探究二次根式的除法法则：
1、把（，）反过来，得
（，）
运用这个式子，可以进行二次根式的除法运算.（引出标题：二次根式的除法）
2、请同学们思考（，）与商的算术平方根有什么关系？
3、你能用一个式子表示上面的规律并用文字语言加以叙述吗？
§.二次根式的除法法则：
数学表达形式：（，）
文字语言叙述：二次根式相除，将它们的被开方数相除，根指数不变。
注意：
（1）因为是两个二次根式相除，所以被开方数必须是非负数，又因为分母不能为，所以分子的被开方数要大于或等于，分母的被开方数要大于，即，.
（2）被开方数、可以是单独的数、字母，也可以是代数式。
（3）两个二次根式相除，把被除数根号内的数除以除数根号内的数的商作为被开方数，根指数不变，并将所得的结果化简。
三、讲解例题，巩固新知
§.例1、若成立，求的取值范围。
解析：根据二次根式的乘法法则即可得到关于的不等式组。
解：根据题意，得：
解得：
同步练习：若成立，求的取值范围。
§.例2、计算：
（1）
（2）
解：（1）；
（2）.
注意：二次根式除法运算的结果必须化简为最简二次根式。
§.例3、化简（要求分母中不含有二次根式，并且二次根式中不含有分母）
（1）
（2）
解析：二次根式的除法运算，通常是采用化去分母中的根号的方法进行的。例如：计算，先将写成，然后把分子、分母都乘以，化去分母中的根号。
解：（1）；（2）.
思考：请同学们想一想是否存在另外的化简方法？
注意：
（1）分母中含有根号，化简时需要把分母中的根号化去，这样的过程叫做分母有理化。
（2）分母有理化的目的是把分母化成有理式或有理数，所以关键是找出使分母变成有理式或有理数的方法。如果两个含有二次根式的代数式相乘，其积不含二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式。常见的有理化因式有：的有理化因式是，的有理化因式是，的有理化因式是.
§.例4、把下列各式的分母有理化：
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
注意：
（1）一般地，与互为有理化因式。
（2）在分母有理化时，有时也可以利用分解因式的方法，先约分。
四、巩固练习
1、教材
练习
（）、（），
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、理解二次根式的除法法则。
2、能正确熟练地应用二次根式的除法法则进行计算。
六、课外作业
1、教材
习题21.2
二次根式的乘除
第二课时
二次根式的乘法
＆.教学目标：
1、掌握二次根式的乘法法则，会运用法则进行运算。
2、经历探索二次根式的乘法法则的过程，让学生进一步了解数学知识之间是相互联系的，培养学生努力探索事物之间内在联系的学习习惯。
＆.教学重点、难点：
重点：利用二次根式的乘法法则进行计算。
难点：理解并能灵活地应用二次根式的乘法进行计算。
＆.教学过程：
一、情景导入
1、回顾：积的算术平方根的性质是什么？请用数学式子和文字语言分别表达出来？
2、化简，使被开方数中不含有完全平方的因式（或因数）：
（1）
（2）
（3）
（4）
3、思考：你能计算吗？请说明你的理由或思路？
二、探究新知
§.探究二次根式的乘法法则：
1、把（，）反过来，得
（，）
运用这个式子，可以进行二次根式的乘法运算。（引出标题：二次根式的乘法）
2、请同学们思考（，）与积的算术平方根有什么关系？
3、你能用一个式子表示上面的规律并用文字语言加以叙述吗？
§.二次根式的乘法法则：
数学表达形式：（，）
文字语言叙述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
注意：
（1）因为两个二次根式相乘，所以被开方数、一定是非负数；
（2）被开方数、可以是单独的数、字母，也可以是代数式；
（3）当多个二次根式相乘时，可以将所有的二次根式的被开方数相乘，用它们的积作为积的被开方数；
（4）若被开方数积的结果能写成的形式，则应化简，如.
三、讲解例题，巩固新知
§.例1、若成立，求的取值范围。
解析：根据二次根式的乘法法则即可得到关于的不等式组。
解：根据题意，得：
解得：
同步练习：若成立，求的取值范围。
§.例2、计算：
（1）
（2）
（3）
教学方法：学生独立完成，两个学生板演，教师巡回检查指导。
答案：（1）；（2）；（3）.
方法小结：二次根式的乘法与我们所学过的整式的乘法类似，因此我们可拓展为：①；②（，，）.
同步练习：计算
（1）
（2）
（3）
§.例3、计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
教学方法：学生独立完成，两个学生板演，教师巡回检查指导。
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）
注意：二次根式运算的结果，应该尽量化简，如（2）结果不要写成，而应化简成.
同步练习：计算
（1）
（2）
（3）
（4）
§.例4、计算下列各式：
（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1）用平方差公式计算；（2）用完全平方公式计算；（3）逆用；（4）可经添括号变形为，则可用平方差公式。
解：（1）
（2）
（3）
（4）
方法小结：解决类似题应注意分析算式的结构特点，合理选择公式，适当变形，灵活准确地选择好公式。
同步练习：计算
（1）
（2）
（3）
（4）
§.例5、观察下列各式及其验证过程.
验证：
验证：
思考：
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，你能知道的变形结果吗？
（2）根据上述等式反映出的规律，你能写出用（为任意自然数，且）表示一般规律的等式吗？
解析：由已知的两个等式验证过程的规律发现，，，由此可知，我们可以用含的式子表示规律。
解：（1）
验证：
（2）由题设及（1）的验证结果，可猜想对任意自然数（）都有
验证：.
规律小结：此类题通常先从特殊入手，仔细观察、用心比较、认真分析，从而得出一般性的结论，同时要学会类比思想，找出具有规律性的东西，并进行验证。
四、巩固练习
教材
练习
（）、（）
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、理解掌握二次根式的乘法法则，会应用二次根式的乘法法则进行计算。
2、能灵活地利用二次根式的乘法法则及积的算术平方根的性质解决相关问题。
六、课外作业
1、教材
习题
（）、（）、（）
