22.3
实践与探索
第三课时
实践与探索（三）
＆.教学目标：
1、引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其此关系的应用。
2、通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程。
3、在积极参与数学活动的过程中，初步体验发现问题，总结规律的态度以及养成质疑和独立思考的习惯。
＆.教学重点、难点：
重点：经历根与系数关系的探索和发现过程，运用发现的结论解决问题。
难点：灵活应用根与系数的关系解决综合问题。
＆.教学过程：
一、情境导入
解下列方程，将得到的根填入下面的表格中，观察表格中两个根的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？
（1）；（2）；（3）.
方程
二、探究新知
§.探究一元二次方程根与系数的关系。
问题1：完成上题的表格：
方程
0
2
2
0
1
2
3
5
6
问题2：猜想一元二次方程的两个根的和与积，它们和原方程的系数有什么联系？
活动：小组交流，同学们各抒己见，教师可给学生适当的点拨。
结果：两个根的和等于一元二次方程的一次项系数的相反数，两个根的积等于一元二次方程的常数项。
问题3：猜想一般地，对于关于的一元二次方程（、为已知常数，），试用求根公式求出它的两个根、，算一算、的值，你能发现什么结论？与上面观察的结果是否一致？
解析：原方程的解为，，可得：，，故与上面的猜想的结论一致。
问题4：对于关于的一元二次方程（），当时，若方程的两个根为、，算一算、的值，你能得出什么结论？
解析：由求根公式得：，，可得：，，故与上面的猜想的结论一致。
§.概括：一元二次方程根与系数的关系（又名韦达定理）.
如果（）的两个根是、，那么，.
注意：
（1）利用一元二次方程根与系数的关系可以直接求出两根之和、之积，不必解方程，直接代入即可。
（2）利用根与系数的关系必须首先把一元二次方程化成一般形式。
（3）利用根与系数的关系前提是一元二次方程必须有根，即.
（4）二次项系数.
三、讲解例题，巩固新知
题型一：不解方程，求方程的两根之和和两根之积。
§.例1、不解方程，判断下列方程实数根的情况，若方程有解，求出方程的两根之和与根之积。
（1）
（2）
（3）
解：（1）有两个不相等的实数根，，；
（2）有两个不相等的实数根，，；
（3）该方程没有实数根。
同步练习：不解方程，判断下列方程实数根的情况，若方程有解，求出方程的两根之和与根之积。
（1）
（2）
（3）
题型二：已知方程的一根，不解方程求另一个根及待定系数.
§.例2、已知方程的一个根是，求另一个根及的值。
解：设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得：
，解得：
思考：是否存在另外的解法？
同步练习：已知方程的一个根是，求它的另一个根及的值。
四、巩固练习
1、已知方程的一个根是，求另一个根及的值。
2、已知方程的一个根是，求另一个根及的值。
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、掌握一元二次方程根与系数的关系。
2、能灵活地利用一元二次方程根与系数的关系解决相关问题。
六、课外作业
1、教材
习题
2、选用课时作业：
（）写出下列方程的两根之和与两根之积。
（1）
（2）
（3）
（）已知程的一个根是，求另一个根及的值。22.3
实践与探索
第二课时
实践与探索（二）
＆.教学目标：
1、学生在已有知识的基础上，能够将实际问题转化为数学模型，从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
2、让学生经历由实际问题转化为数学模型的过程，领悟数学建模思想，体会如何寻找实际问题中等量关系来建立一元二次方程。
3、让学生积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体验发现问题、提出问题及解决问题的全过程，培养学生的数学应用能力。
＆.教学重点、难点：
重点：寻找等量关系，即实际问题转化成一元二次方程的模型，并根据实际问题检验解。
难点：寻找实际问题中的等量关系，自主探索得到解决实际问题的最佳方案。
＆.教学过程：
一、知识回顾
1、有一个两位数，它的十位数字比个位上的数字大，这两个数位上的数字之积为这个两位数的，求这个两位数。
2、一个院子长为，宽为，要在它的里面三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的％，试求这个花圃的面积。
二、探究新知
§.探究应用一元二次方程解决实际应用题.
问题1：阳江市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？
解析：翻一番，即为原净收入的倍．若设原值为，那么两年后的值就是．
解：设阳江市今年财政净收入为元，这两年中财政净收入的平均年增长率，根据题意，得：
解得：，（舍去）
答：这两年中财政净收入的平均年增长率％.
问题2：若调整计划，两年后的财政净收入值为原净收入值的倍、倍、……那么两年中的平均年增长率分别应调整为多少？
问题3：又若第二年的增长率为第一年的倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现两年后市财政净收入翻一番？
三、讲解例题，巩固新知
§.例1、某精品店以每件元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价元，则可卖出件，商店计划要盈利元，需要进货多少件？每件商品应定价是多少？
解析：盈利是我们生活中的常见问题，同学们结合生活实际找到等量关系并列方程求解。
解：由题意，得：
即
解得：，
当时，进货件；当时，进货件.
变式例题：对于上题，若加上一个条件；物价局限定每件商品的利润率不得超过％，结果还和上面一样吗？从它们的不同点你得到什么启示？
解：若物价局限定每件商品的利润率不得超过％，则
解得：
故应舍去.
归纳小结：解决利润问题常用的等量关系有：
（1）每件利润每件售价－每件成本（进价）；
（2）总利润每件利润总销售量总收入－总成本；
（3）打折问题：售价标价；
（4）利润率.
§.例2、某蔬菜经营商以元/千克购进一批西红柿，若以元/千克的价格售出，则每天可售出千克，为了促销，该经营商决定降价销售，调查发现，西红柿每降价元/千克，每天可多卖出千克，另外，每天的房租、税务等固定成本共元，该经营商要想每天盈利元，应将每千克西红柿售价降低多少元？
解：设降价元，由题意，得：
整理，得：
解得：，
答：应将每千克西红柿售价降低元或元.
同步练习：商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出张，每张盈利元，为了减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低元，那么商场平均每天可多售出张，商场要想平均每天盈利元，每张贺年卡应降价多少元？
§.例3、一个长为的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角.
（1）若梯子的顶端下滑，求梯子的底端水平滑动多少米？
（2）若梯子的底端水平向外滑动，梯子的顶端滑动多少米？
（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？
解：根据题意，得：梯子的顶端距墙角为
（1）若梯子顶端下滑，则顶端距地面，设梯子底端滑动.
则根据勾股定理得：，即
解得：，（舍去）
所以梯子顶端下滑，则梯子底端滑动约.
（2）当梯子的底端水平向外滑动，设梯子的顶端向下滑动.
则根据勾股定理得：，即
解得：，（舍去）
所以若梯子的底端水平向外滑动，梯子的顶端向下滑动约.
（3）设梯子顶端向下滑动时，底端向外也滑动.
则根据勾股定理得：，即
解得：（舍去），
所以梯子顶端向下滑动时，底端向外也滑动.
归纳小结：勾股定理是求线段长度的一种重要方法之一，而根据已知求未知则需要以方程做媒介，提示同学们平时要多积累解决问题的方法和途径，重视分析问题的过程。
四、巩固练习
教材
练习
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、学会用一元二次方程解决利润、增长率方面的问题，关键是要找准题目中的数量关系。
2、在探索的过程中，培养自己大胆探索质疑和敢于发表自己见解的学习习惯。
六、课外作业
1、教材
习题
2、选用课时作业：
（）一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡张，去这个小组共有多少人？
（）为了解决老百姓看病难的问题，卫生部门决定下调药品的价格。某种药品经过两次连续降价后，由每盒元下调至元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？22.3
实践与探索
第一课时
实践与探索（一）
＆.教学目标：
1、学生在已有知识的基础上，能够将实际问题转化为数学模型，从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
2、让学生经历由实际问题转化为数学模型的过程，领悟数学建模思想，体会如何寻找实际问题中等量关系来建立一元二次方程。
3、让学生积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体验发现问题、提出问题及解决问题的全过程，培养学生的数学应用能力。
＆.教学重点、难点：
重点：寻找等量关系，即实际问题转化成一元二次方程的模型，并根据实际问题检验解。
难点：寻找实际问题中的等量关系，自主探索得到解决实际问题的最佳方案。
＆.教学过程：
一、知识回顾
1、列一元二次方程解应用题的一般步骤是什么？列方程解应用题的关键是什么？
2、读诗词解题.（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
3、某商店经销一批季节性小家电，每个成本元，经市场预测，定价为元时，可销售个，定价若再每个增加元，销售量将减少个，若商店进货后全部销售完，赚了元，问：进了多少货？每个定价为多少元？
二、探究新知
§.探究应用一元二次方程解决实际应用题
问题1：小明把一张边长为的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子。
（1）如果要求长方体的底面面积为，那么剪去的正方形边长为多少？
（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的侧面积又会发生什么样的变化？
折合成的长方体底面积（）
81
64
49
36
25
16
9
4
剪去的正方形边长（）
折合成的长方体侧面积（）
（3）在你观察到的变化中，你感到折合而成的长方体的侧面积会不会有最大的情况？先在上面的表格中记录下你得到的数据，再以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体侧面积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点．看看与你的感觉是否一致。
教学思路：这一问题着重培养学生的观察、分析和合情推理的能力，重在学生对探索过程的参与和体验，在探究过程中提高学生的探究意识和用数学的意识。
解：（1）设剪去的正方形的边长为，由题意，得
解得：，（舍去）
因为正方形的边长为，所以剪去的正方形的边长为.
（2）如下表，长方体底面面积减小的过程中，剪去的正方形边长会逐渐增大，折合成的长方体侧面积先增大再减小。
折合成的长方体底面积（）
81
64
49
36
25
16
9
4
剪去的正方形边长（）
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
折合成的长方体侧面积（）
4.5
8
10.5
12
12.5
12
10.5
8
（3）折合而成的长方体的体积会有最大情况，同学们可通过作函数图象加以验证，以后学习了二次函数的知识这个问题活迎刃而解。
问题2：小明把一张边长为的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子。
如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？
折合成的长方体底面积（）
81
64
49
36
25
16
9
4
剪去的正方形边长（）
0.5
1
2
3.5
折合成的长方体体积（）
40.5
73.5
62.5
48
16
解析：设剪去的正方形边长为，则底面的边长为，该无盖的长方体盒子的体积为，可计算表中空白部分的值。通过计算表格空白部分的值，然后观察数据可以看到，折合成的长方体底面积越大，则剪去的正方形边长越小，随着长方体底面积的减小折合成的长方体体积先逐渐增大而后逐渐减小，也就是说折合成的长方体体积并不随剪去的正方形边长增大而增大，即在变化过程中存在一个的值，使折合成的长方体体积最大。
问题3：用一块边长为的正方形薄钢片制作一个长方体盒子。
（1）如果要做成一个没有盖的长方体盒子，可先在薄钢片的四周各剪去一个同样大小的正方形（如图所示），然后把四边折合起来。
①求做成盒子的底面积与截去的小正方形的边长之间的函数关系式；
②当做成的盒子底面积为时，试求该盒子的体积。
（3）如果要做成一个有盖的长方体盒子，其制作方案要求同时符合下列两个条件：
①必须在薄钢片的四周各剪去一个四边形（其余部分不能裁剪）；
②折合后薄钢片既无空隙、又不重叠地围成个盒面.
请你画出符合上述制作方案的一种草图，并求当底面积为时，该盒子的高。
解析：（1），当做成的盒子底面积为时，剪去的小正方形的边长为.也即折合成的长方体的高为，所以该盒子的体积为.
（2）利用长方体的平面展开图（如图）进行计算，具体如下：
符合制作方案的一种草图如图所示（图中阴影部分为底和盖，且）
在钢片的四个角上分别截去两个相同的小正方形与两个相同的小长方形，然后沿虚线折合起来即可。
设截去的小正方体的边长为，根据题意，得：
解得：，
∵
∴
因此做成的有盖的长方体的高为.
附：该题的其他制作方案如图所示，其中，盒子高仍为.
三、讲解例题，巩固新知
§.例1、用米长的铁丝围成长方形，能围成平方米的长方形吗？能围成平方米的长方形吗？最大能围成多大面积的长方形？
解析：长方形的面积等于长乘以宽，所以用含未知数的代数式表示长方形的长和宽，即可列出方程，只要方程有解，这样的长方形就存在。
解：设长方形的一边为米，则它的邻边为米，由题意，得：
（1），解得：，，故能围成围成平方米的长方形。
（2），解得：，，故能围成围成平方米的长方形。
（3）最大能围成面积为平方米的长方形.
同步练习：某农户利用一面墙（墙的长度不限），再用长的篱笆围成一个矩形养鸡场（一边靠墙）。
（1）若要围成面积为的矩形养鸡场，请你求出此矩形养鸡场的长和宽各是多少？
（2）养鸡场的面积能达到吗？若能，请求出此矩形养鸡场的长和宽各是多少？若不能，请说明理由。
§.例2、如图，有矩形场地一块，要在中央修一矩形花圃，使其面积为这块土地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条.如何确定道路的宽度？
请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题，相信你一定能行！
教学思路：这是一道开放性问题，可展现学生的创新能力，是激发学生学习积极性和竞争意识的好素材。在教学中要引导学生大胆想办法，鼓励学生发表自己的见解，最好形成多方争论的局面。设计本题的主要目的不是求解，而是展现学生的思维广度和解决问题的灵活性。
解析：关键是用绳子量，再对折两次即可。量法为：用绳子量出
（即）之长，从中减去之长（对角线），得，再将对折两次即得到道路的宽，即.
解：设道路的宽为，，，则
解得：，（舍去）
同步练习：某林场计划修一条长，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为，上口宽比渠深多，渠底比渠深多.
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土，需要多少天才能把这条渠道挖完？
四、巩固练习
教材
练习
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、学会用一元二次方程解决面积类似问题，关键是要找准题目中的数量关系。
2、在探索的过程中，培养自己大胆探索质疑和敢于发表自己见解的学习习惯。
六、课外作业
1、教材
习题
2、选用课时作业：
（）要建一个面积为的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一堵墙，墙长为，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为.
（1）求鸡场的长与宽各是多少？
（2）题中墙的长度对解题有什么作用？
（）某校团委准备举办学生绘画展览，为美化画面，在长为、宽为的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面的面积相等，求彩纸的宽度。
（）行驶中的汽车刹车后由于惯性还会继续向前滑行一段距离，这段距离叫做“刹车距离”。经测试汽车的刹车距离与车速之间的关系为：。一天，司机小王驾驶的汽车在限速的高速公路上与前边的卡车追尾相撞，交警测得他当时的刹车距离是，然后断定是他因超速行驶应负主要责任，这是为什么？
图
a
60
x
x
x
x
S1
x
x
x
S1
S2
S3
60
图
b
图
c
图
d
D
C
A
B
H
G
E
F23.3
实践与探索
第四课时
实践与探索（四）
＆.教学目标：
1、引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其此关系的应用。
2、通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程。
3、在积极参与数学活动的过程中，初步体验发现问题，总结规律的态度以及养成质疑和独立思考的习惯。
＆.教学重点、难点：
重点：经历根与系数关系的探索和发现过程，运用发现的结论解决问题。
难点：灵活应用根与系数的关系解决综合问题。
＆.教学过程：
一、知识回顾
1、一元二次方程根与系数的关系是怎样的？需注意些什么？
2、不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）；
（2）；（3）.
3、已知方程的一个根是，求另一个根及的值。
二、讲解例题，巩固新知
题型三：利用根与系数的关系，求与两根有关的代数式的值.
§.例1、已知一元二次方程的两个实数根分别、.
求值：（1）；
（2）.
解：由根与系数的关系得：，；
（1）；
（2）.
变式例题：对于上题，其余条件不变，求值：
（1）；
（2）.
§.例2、关于的方程有两个实数根。
（1）求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使方程的两个实数根的平方和与两个实数根的积相等？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
解：（1）方程的判别式：
根据题意，得：
故.
（2）设方程的两个实数根分别为、，则
，
∵
由，得：
化简整理，得：，解得：
∵时，
∴不存在实数，使方程的两个实数根的平方和与两个实数根的积相等.
§.例3、已知一元二次方程的两根的平方和是，求的值。
解析：设方程的两根为、，则把转化为根与系数的表达式，即
，代入即可求出的值。
解：方程的两根为、，根据根与系数的关系，得：，.
∵
∴
∴
解得：，
当时，方程为，因，方程无实数根；
当时，方程为，因，方程有实数根。
故当时，两根的平方和是.
点拨：利用与的关系获得关于待定系数的等式，在求得待定系数的值之后，必须检验方程的判别式是否能保证方程有两个实数根，否则容易对解，即根与系数关系与判别式是不可分割的整体。
§.例4、若，且及，求的值。
解：、均不为.
由，得：
又∵且
∴、是方程的两实数根，由根与系数的关系得：
点拨：注意此类题未知数系数对称，变形后会得到很好的效果。
§.例5、已知实数、满足，，求的值。
解析：若，则、是方程的两个实数根，故，，因此；若，。
答案：或.
题型四：已知两数之和与积求这两个数.
§.例6、已知两个数的和等于，积等于，求这两个数。
解：设两个数为一元二次方程的两根.
解得：，.
故这两个数分别为，.
思考：是否存在另外的解法？
同步练习：已知方程的一个根是，求它的另一个根及的值。
三、巩固练习
1、设，是方程的两个根，利用根与系数，求下列各式的值。
（1）；
（2）
2、已知两个数的和等于，积等于，求这两个数。
四、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、掌握一元二次方程根与系数的关系。
2、能灵活地利用一元二次方程根与系数的关系解决相关问题。
