22.2
一元二次方程的解法
第一课时
一元二次方程解法（一）
＆.教学目标：
1、会用直接开平方法解形如（，）的方程。
2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的数学思想。
＆.教学重点、难点：
重点：能熟练地利用直接开平方法解形如（）的方程。
难点：理解一元二次方程无实根的解题过程。
＆.教学过程：
一、情景导入
1、什么样的方程叫做一元二次方程？其一般形式是什么？
2、把下列方程化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）
（2）
（3）
（4）
3、思考：请尝试解答下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流。
（1）
（2）
二、探究新知
§.探究直接开平方法解一元二次方程.
问题1：解下列方程：
（1）
（2）
教学方法：学生先独立思考，然后相互交流，教师适当引导。
解：（1）移项，得：
直接开平方得：
即：，
（2）移项，得：
直接开平方得：
即：，
§.概括：直接开平方法.
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
问题2：
（1）解一元二次方程的思路是什么？
（2）具备什么样特点的一元二次方程可用直接开平方法求解？
（3）关于的一元二次方程有实数解的前提条件是什么？
教学方法：学生分组讨论，归纳概括，教师巡回观察，了解学生的见解，让学生发表自己的看法。
解：（1）解一元二次方程的思路是通过降次将其转化为两个一元一次方程来解决，一元一次方程的解即为一元二次方程的解；
（2）形如（）的方程用直接开平方法求解；
（3）前提条件是.
§.归纳：
直接开平方法的理论依据是平方根的定义，该方法适用于解形如（）的一元二次方程.当时，方程的解为，即；当时，方程无实数根.
三、讲解例题，巩固新知
§.例1、解下列方程：
（1）
（2）
解：移项，得：
解：移项，得：
直接开平方得：
直接开平方得：
即：，
即：，
§.例2、解下列方程：
（1）
（2）
教学方法：先让学生独立思考，完成方程的求解过程，四个学生板演，教师点评。
答案：（1），；（2），.
四、巩固练习
教材
练习
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、能利用直接开平方法解形如（）的一元二次方程。
2、了解解一元二次方程的基本思想，会解较复杂的方程。
六、课外作业
1、教材
习题22.2
一元二次方程的解法
第三课时
一元二次方程解法（三）
＆.教学目标：
1、理解配方法，会用配方法解二次项系数为的一元二次方程。
2、经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，使学生体会到转化的数学思想，并能运用转化思想解决问题。
3、启发学生学会观察、分析，寻找解题的途径，提高学生分析问题、解决问题的能力。
＆.教学重点、难点：
重点：理解并掌握配方法，能够灵活运用配方法解二次项系数为的一元二次方程。
难点：能熟练、灵活地运用配方法解二次项系数为的一元二次方程。
＆.教学过程：
一、情景导入
1、解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
2、请你回顾完全平方公式，并叙述其特点？
3、目前，解一元二次方程学习了几种解法？分别是哪些？
4、思考：你能解答下列方程吗？
（1）
（2）
二、探究新知
§.探究配方法解一元二次方程.
问题1：小明的爸爸打算建一个一面靠墙的长方形养鸡场（长靠墙），另三边用篱笆围成，面积为，若长方形的长比宽多，问共需多长的篱笆？
解析：设宽为，则长为，可列方程为.
问题2：列出方程并回答：
（1）经化简为一般形式的方程与上节课的方程有什么不同？
（2）能否用直接开平方法或因式分解法解呢？
教学方法：引导学生思考解方程的思路，让学生充分发表意见，教师引导学生发现规律。
解：原式两边同时加上，得，即.
直接开平方得：或
解得：，（舍去）
答：篱笆共需要米.
问题3：回答下列问题。
（1）解上面这个方程的重点是什么？
（2）用这种方法解一元二次方程的基本思想是什么？
答案：（1）左边配成完全平方的形式；（2）关键是通过对方程变形将其转化为（）的形式，通过开方降次将一元二次方程转化为一元一次方程.
§.概括：配方法
把方程变形为左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，这样，就能用直接开平方的方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
§.归纳：用配方法解二次项系数为的一元二次方程的步骤：
1、移项：将常数项移到方程的右边，二次项和一次项移到方程的左边；
2、两边同时加上一次项系数一半的平方；
3、利用完全平方公式将方程化为的形式；
4、当时，两边开方求出一元二次方程的解；当时，方程无解。
三、讲解例题，巩固新知
§.例1、把下列各式配成完全平方式：
（1）
（2）
（3）
（4）
解析：利用完全平方公式进行配方，当二次项系数为时，所配的是一次项系数一半的平方。
答案：（1），；（2），；（3），；（4），.
注意：配方法的基础是完全平方公式：.
变式例题：
（1）将型的代数式配成完全平方式。
（2）将配成的形式。
§.例2、解下列方程：
（1）
（2）
解：（1）配方，得：
即：
开方，得：
得：，
（2）移项，得：
配方，得：
即：
开方，得：
得：，
归纳：配方的关键是当二次项系数为时，在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方。
§.例3、用配方法解下列方程：
（1）
（2）
解：（1）移项，得：
配方，得：
即：
开方，得：
得：，
（2）移项，得：
配方，得：
即：
开方，得：
得：，.
同步练习：用配方法解下列方程
（1）；（2）；（3）；（4）.
§.例4、试说明无论取何值，一定是非负的。
解析：要说明无论取何值，一定是非负的，则需将配方即可。
解：
∵
∴一定是非负的.
注意：配方法是数学解题中常用的方法，特别是证明正负性或解决二次函数问题中。
§.例5、当为何值时，二次三项式是一个完全平方式。
解：若二次三项式是一个完全平方式.
则
得
即当时，二次三项式是一个完全平方式.
注意：同学们在解决问题的过程中要灵活应用配方的方法，切忌不要漏掉一种情况。
同步练习：若是一个完全平方式，求的值。
四、巩固练习
教材
练习
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、会解二次项系数为的一元二次方程；
2、进一步深刻体会降次转化思想解方程的思路；
3、掌握配方的数学思想方法，灵活解决相关问题。
六、课外作业
1、教材
习题
、22.2
一元二次方程的解法
第五课时
一元二次方程解法（五）
＆.教学目标：
1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，并会用求根公式解一元二次方程。
2、经历探索求根公式的过程，发展学生的合情推理和抽象思维能力。
3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊到一般的关系，渗透辨证唯物主义观点。
＆.教学重点、难点：
重点：用求根公式解一元二次方程。
难点：对求根公式条件的理解。
＆.教学过程：
一、情景导入
1、用配方法解下列方程：
（1）
（2）
答案：（1），；
（2），.
2、回顾用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
引言：配方法解方程的关键是通过对方程变形将其转化为的形式，虽比较通用，但计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？
二、探究新知
§.探究用公式法解一元二次方程.
问题1：能否用配方法把一般形式的一元二次方程化成呢？
教学方法：教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识。
解：变形，得：
移项，得：
配方，得：
即：
问题2：该方程一定有解吗？如果不是，那它有解的条件是什么？
教学方法：让学生思考、分析，积极鼓励学生大胆发言，活跃课堂气氛，调动学生学习的积极性。
当时，方程有解。
开方，得：.
故原方程的解为：，.
当时，原方程无解。
§.概括：
（1）公式法：是用求根公式求出一元二次方程的解的方法.
（2）一元二次方程的求根公式是：
注意：
（1）求根公式是专指一元二次方程的求根公式，只有当能确认某方程为一元二次方程时，方程方可运用求根公式。
（2）由求根公式可知，一元二次方程的根是由、、决定的，因此在用公式法解一元二次方程时，一定要先将方程化为一般形式，再确定、、的值。
（3）公式中的“”是公式成立的前提条件。
§.归纳：用求根公式解一元二次方程的一般步骤
（1）把一元二次方程化成一般形式；
（2）确定公式中的、、的值；
（3）求出的值；
（4）若，则把、、及的值代入求根公式求解；当时，此时方程无解。
三、讲解例题，巩固新知
§.例1、用公式法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1）对于方程（2）、（4），首先要把方程化为一般形式；（2）强调确定、、值时，不要把它们的符号弄错；（3）先计算的值，再代入公式。
答案：（1），；（2），；（3），；（4）.
注意：确定、、值时，不要把它们的符号弄错。
解析：一元二次方程的解法有四种，其中直接开平方法和因式分解法对方程形式的要求比较严格，而配方法和公式法适用于所有一元二次方程，观察个方程，可知第（）题可用因式分解，第（）题可用因式分解法，第（）题和第（）题可用配方法或公式法求解.相对来讲，用公式法比较简单，因此我们选用公式法，第（）题也可用因式分解法。
答案：（1），；（2），；（3），；（4），.
四、巩固练习
教材
练习
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、理解掌握求根公式的推导过程。
2、能熟练地利用求根公式解一元二次方程。
3、进一步理解解一元二次方程的思路及其所蕴含的数学思想。
六、课外作业
1、教材
习题22.2
一元二次方程的解法
第八课时
一元二次方程解法（八）
＆.教学目标：
1、使学生能根据量之间的关系，列出一元二次方程解应用题，并检验解的合理性。
2、联系实际，让学生进一步经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程。
3、获得更多运用数学知识分析和解决实际问题的方法和经验，更好地体会数学的价值观。
＆.教学重点、难点：
重点：寻找等量关系，即实际问题转化成一元二次方程的模型，并根据实际问题检验解。
难点：建立数学模型解决实际问题。
＆.教学过程：
一、知识回顾
1、列一元二次方程解应用题的一般步骤是什么？列方程解应用题的关键是什么？
2、大王庄要建一个面积为的矩形仓库，仓库的一边靠墙（墙长），并在与墙平行的一边开一道宽的门，现在有长的木板，仓库能建成吗？
3、某人将元人民币按一年定期存入银行，到期后支取元用于购物，剩下的元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，利息税为％，到期本金和利息共元，求这种存款方式的年利率。
二、讲解例题，巩固新知
题型三：数字问题.
§.例1、已知两个数的和等于，积等于，求这两个数。
解：设其中一个数为，则另一个数为，根据题意，得：
解得：，
当时，；当时，.
答：这两个数分别为和.
同步练习：列方程解应用题。
1.两个连续的整数的积是，求这两个数。
2.两个数的差等于，积等于，求这两个数。
3.两个连续奇数的积是，求这两个数。
题型四：商品经营策略问题.
§.例2、某商店如果将进货价为元的商品按每件元售出，每天可销售件，现采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，如果这种商品每件涨元，其销售量就会减少件，那么，将售价定为多少时，才能使所赚利润为元。
解析：本题的数量关系比较复杂，其解法是采用设间接未知数的方法，设售价提高元，其他量可以用的代数式表示出来。
解：设每件商品售价提高元，则每件获利润为元，每天销售量减少到件，根据题意，得：
解得：，
当时，售价为元，每天销售量为件；
当时，售价为元，每天销售量为件。
答：因为要减少进货量，所以售价定为元比较合适。
同步练习：
1、某西瓜经营户以元/千克的价格购进一批小型西瓜，以元/千克的价格出售，每天可售出千克。为了促销该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小西瓜每降价元/千克，每天可多售出千克，另外，每天的房租等固定成本为元，该经营户要想每天盈利元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？（答案：元或元）
2、下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的质量及利润，某汽车公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售.（每辆汽车按规定满载，并且每辆只能装一种蔬菜）
蔬菜名
甲
乙
丙
每辆汽车能装满的质量（吨）
每吨蔬菜可获利润（百元）
（1）若用辆汽车装运乙、丙两种蔬菜吨至地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆？
（2）公司计划用辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜吨到地销售（每种蔬菜不少于车），如何安排装运，可使公司获得最大利润？最大利润为多少？
题型五：运动问题.
§.例3、如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动。
（1）如果、分别从、同时出发，那么几秒后，的面积等于？
（2）如果、分别从、同时出发，那么几秒后，的长度等于？
（3）在（1）中，的面积能否等于？说明理由。
解：（1）设后，的面积等于，此时，，，，根据题意，得：
，得：
化简得：
解得：，
当时，，说明此时点越过点，不符号要求。
答：后，的面积等于.
（2）仿（1），由
，得：
整理，得：
解得：（不合题意，舍去），
答：后，的长度等于.
（3）仿（1），得：
整理，得：
∵
∴该方程无解
答：的面积不能等于.
三、巩固练习
教材
练习
四、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、理解列一元二次方程解应用题的一般步骤及关键是寻找等量关系。
2、能熟练地利用一元二次方程解决实际问题。
C
A
P
B
PAGE
第23章《一元二次方程》教案————第
8
页
共
66
页22.2
一元二次方程的解法
第七课时
一元二次方程解法（七）
＆.教学目标：
1、使学生能根据量之间的关系，列出一元二次方程解应用题，并检验解的合理性。
2、联系实际，让学生进一步经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程。
3、获得更多运用数学知识分析和解决实际问题的方法和经验，更好地体会数学的价值观。
＆.教学重点、难点：
重点：寻找等量关系，即实际问题转化成一元二次方程的模型，并根据实际问题检验解。
难点：建立数学模型解决实际问题。
＆.教学过程：
一、知识回顾
1、解一元二次方程有几种解法？它们分别是什么？
2、叙述列一元一次方程解应用题的一般步骤？
3、用多种方法解方程.
二、探究新知
§.探究列一元二次方程解应用题.
问题1：绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，安排面积为平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多米，那么绿地的长和宽各是多少？
解析：设绿地的宽为米，则长为米，则可得方程，如何解答？
教学方法：让学生独立求解、思考、分析、共同交流。
解：设绿地的宽为米，则长为米，由题意，得
解得：，
问题2：所求、都是方程的解吗？
问题3：所求、都符合题意吗？通过解题给你什么启示？
§.概括：列一元二次方程解应用题的一般步骤：
列方程解应用题的关键是找等量关系，一般分这样几步：审、设、列、解、答。
（1）审：弄清题意和题目中的数量关系；
（2）设：即设未知数，设元分直接设元和间接设元；
（3）列：即列方程，这是非常重要的一步，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个等量关系列出方程；
（4）解：即求出所列方程的解；
（5）答：即书写答案，当然这首先要对求出的解检验，舍去不符合题意的解。在解答时，一般遵循“问什么答什么，怎样问就怎样答”的原则。
三、讲解例题，巩固新知
题型一：增长率问题的应用.
§.例1、一商店月份的利润是元，月份的利润达到元，这两个月的利润平均月增长率是多少？（精确到％）
解析：如果设利润的月平均增长率为，那么月份的利润是元，月份的利润是元，由此就可以列出方程求出答案。
解：设利润的月平均增长率为，根据题意，得：
∴、（舍去）
答：利润平均月增长率约为元。
注意：
（1）对于增长率问题，要注意月份是在月份的基础上增长的，月份是在月份的基础上增长的，解题时要逐步进行分析。
（2）关于几次平均增长（或降低）率问题，若是增长（或降低）的基础数量，是平均增长（或降低）率，为增长（或降低）的次数，是增长（或降低）后的数量，平均增长率相同时，符合基本关系式：，在应用此关系时要具体问题具体分析，不要死记硬套，在根据题意列出方程并解得的值后，还要依据的条件，做符合题意的解答。
同步练习：
（1）一公司成立三年来，累积向国家上交利税万元，其中第一年上交只有万元，求上交利税的平均年增长率。
（2）某药品经过两次降价，每瓶零售价由元降为元.已知两次降价的百分率相同，求这两次降价的百分率。
题型二：面积问题的应用.
§.例2、学校生物小组有一块长，宽的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为，小道的宽应是多少？（注意演变）
解析：问题中没有明确小道在试验田中的位置，试作出图，不难发现小道的占地面积与位置无关。设道路宽为，则两条小道的面积分别为和，其中重叠部分小正方形的面积为，根据题意，得：.
解：设道路宽为，则两条小道的面积分别为和，其中重叠部分小正方形的面积为，根据题意，得：
解得：，
经检验：，都是原方程的解，但不符合题意，舍去.
答：道路宽为.
试一试：如果设想把道路平移到两边，如图2所示，小道所占面积是否保持不变？在这样的设想下，列方程是否符合题目要求？是否方便些？
§.例3、有块矩形的空地，一边靠在长是的墙上，另三边由一根长为的铁丝围成，已知矩形空地的面积是，求矩形的长和宽。
解析：设垂直于墙的一边长为，根据面积为列出方程。
解：设垂直于墙的一边长为，则另一边长为，根据题意，得：
解得：，
当时，；当时，，都符合题意。
答：矩形的长和宽分别为和或和。
变式例题：对于上题，若将“一边靠在长是的墙上”改为“一边靠在长是的墙上”，解答是否一样？为什么？
§.例4、如图3，一块长和宽分别为和的长方形铁皮，要在它的四个角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为，求截去的正方形的边长。
教学方法：请同学们自己列出方程并解这个方程，讨论它的解是否符合题意。
解：设截去正方形的边长为，根据题意，得：
解得：，
经检验，不符合题意，舍去。
答：截去正方形的边长为厘米。
§.例5、用长的一根铁丝围成长方形。
（1）如果长方形的面积为，那么此时长方形的长是多少？宽是多少？如果面积是呢？
（2）能否围成面积是的长方形？为什么？
（3）能围成的长方形的最大面积是多少？
解析：长方形的面积等于长乘以宽，因而用含未知数的代数式表示长方形的长和宽，可以列出方程，当面积不确定时，只要方程有解，这样的长方形就存在。
解：（1）设长方形的宽为，则长为，根据题意，得：
即
解得：，（舍去）
∴当长方形的宽为，长为时，长方形的面积为.
同样，当面积为时，有
即
解得：，（舍去）
∴当长方形的宽为，长为时，长方形的面积为.
（2）当面积为时，有
即
此时
∴这样的长方形不存在.
（3）设围成的长方形面积为，则有
即
要使该方程有解，必须
即
∴最大的只能是，即最大面积为，此时围成的图形是正方形.
同步练习：要做一个容积为，高为，底面的长比宽多的无盖长方体铁盒，应选用多大尺寸的长方形铁片（精确到）。
四、巩固练习
教材
练习
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、理解列一元二次方程解应用题的一般步骤及关键是寻找等量关系。
2、能熟练地利用一元二次方程解决实际问题。
六、课外作业
1、教材
习题
2、选用课时作业：
（）某工厂第一季度的一月份生产电视机是万台，第一季度生产电视机的总台数是万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率。
（）如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题。
（1）在第个图中，每一横行共有
块瓷砖，每一竖列共有
块瓷砖（均用含的代数式表示）；
（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为，请写出与（1）中的关系式；
（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了块瓷砖，求此时的值；
（4）若黑瓷砖每块元，白瓷砖每块元，在问题（3）中，共需花多少元钱购买瓷砖？
（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明原因。
提示：观察各图形可知，当时，每一横行为，每一竖列为，当时，每一横行为，每一竖列为；当时，每一横行为，每一竖列为，…故第个图形中，每一横行为，每一竖列为.
解析：
（1），.
（2）由题意，得：.
（3）当时，，解得：，（舍去）
（4）由图形规律：白瓷砖块数为（块）；黑瓷砖块数为（块）
故共需（元）.
（5）根据题意，得：
化简为：
解得：，（舍去）
因为不为整数。
故不存在黑白瓷砖块数相等的情形。
x
20
32
20
32
x
x
x
图
1
图
2
图
3
n=1
n=2
n=322.2
一元二次方程的解法
第二课时
一元二次方程解法（二）
＆.教学目标：
1、灵活地应用因式分解法解一元二次方程。
2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的数学思想。
＆.教学重点、难点：
重点：合理选择直接开平方法和因式分解法，较熟练地解一元二次方程。
难点：理解一元二次方程无实根的解题过程。
＆.教学过程：
一、情景导入
1、解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
2、思考：方程，除了直接开平方法解答外，是否还存在另外的解答？
二、探究新知
§.探究因式分解法解一元二次方程
问题1：解下列方程：
（1）
（2）
教学方法：学生先独立思考，然后相互交流，教师适当引导。
解：（1）
或
即，
（2）
或
即，
§.概括：因式分解法.
对于一边是零，另一边是易分解成两个一次因式的一元二次方程，可采用因式分解法来解。
问题2：
（1）具备什么样特点的一元二次方程可用因式分解法求解？
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？
§.概括：
1、当一元二次方程能化成一边为，另一边较易分解为两个一次因式乘积时，多用因式分解法求解。
2、采用因式分解法的一般步骤是：
（1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为；
（2）将方程左边分解为两个一次因式的乘积的形式；
（3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
思考：试用两种方法解方程.
三、讲解例题，巩固新知
§.例1、解下列方程：
（1）
（2）
解析：利用因式分解法解一元二次方程的关键有两个：一是要将方程右边化为，二是熟练掌握多项式因式分解方法（提公因式法、公式法等）。
解：
解：
或
∴，
∴，
注意：当方程两边含有未知数的公因式时，不能约去，只能移项提取公因式。
变式例题：解下列方程。
（1）
（2）
§.例2、解下列方程：
（1）
（2）
解析：观察方程的特点，这两个方程都可以转化为的形式，用直接开平方法求解；同时也可以发现方程左边可以利用平方差公式进行分解求解。
解：（1）原方程变形得：
∴，
（2）原方程变形得：
∴，
同步练习：解下列方程
（1）
（2）
§.例3、解下列方程：
（1）
（2）
解析：观察方程（1）可以利用十字相乘法分解求解，方程（2）先将方程整理成一元二次方程的一般形式，然后在利用因式分解法求解。
解：（1）原方程变形，得：
或
∴，
（2）原方程变形，得：
或
∴，
归纳小结：因式分解中常用的方法有提公因式法、公式法（平方差或完全平方公式）、十字相乘法，在解题时要注意观察方程的特点，选择适当的方法.因式分解法虽较简单，但并适合解所有的方程。
同步练习：解下列方程。
（1）
（2）
§.例4、用适当的方法解下列方程。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
教学方法：学生独立思考，完成方程的求解过程，四个学生板演.教师根据学生完成情况适当点评。
答案：（1），；
（2），；
（3），；
（4），；
（5），；
（6），.
四、巩固练习
教材
练习
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、能利用因式分解法解一元二次方程，注意当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解。
2、能根据一元二次方程的特点，灵活地采用直接开平方法或因式分解法求解。
六、课外作业
1、教材
习题22.2
一元二次方程的解法
第四课时
一元二次方程解法（四）
＆.教学目标：
1、能熟练、灵活地用配方法解二次项系数不为的一元二次方程。
2、进一步体会转化的数学思想方法，通过对计算过程的反思，获得解决新问题的体验。
3、培养学生的观察能力和运用学过的知识解决问题的能力。
＆.教学重点、难点：
重点：能熟练应用配方法解一元二次方程。
难点：灵活地利用配方法解系数含字母的方程。
＆.教学过程：
一、情景导入
1、用配方法解下列方程：
（1）
（2）
2、回顾用配方法解二次项系数不为的一元二次方程的一般步骤。
二、探究新知
§.探究配方法解二次项系数不为的一元二次方程.
问题1：用配方法解方程
解：移项，得：
配方，得：
即：
当时，开方，得：
故原方程的解为：，.
当时，原方程无解。
教学思路：该方程是对二次项系数为的一元二次方程的归纳，也是后面学习的基础，让学生通过体验注意遇到字母系数时应注意讨论方程是否有解。
问题2：你能解方程吗？认真观察它与方程有何不同？
教学方法：学生仔细观察，认真思考，找出与上节课知识的联系，从而使问题得以解决。教师板书完整的解题过程，巩固用配方法解一元二次方程的步骤和格式。
解：系数化，得：（指二项系数）
移
项，得：
配
方，得：
即：
开
方，得：
得：，
问题3：你能归纳解二次项系数不为的一元二次方程的一般步骤吗？
§.概括：解二次项系数不为的一元二次方程的一般步骤。
（1）将二次项系数化为：两边同时除以二次项系数；
（2）移项：将常数项移到方程的右边，二次项和一次项在方程的左边；
（3）两边同时加上一次项系数一半的平方；
（4）利用完全平方公式将方程化为的形式；
（5）当时，两边开方求出一元二次方程的解；当时，方程无解.
三、讲解例题，巩固新知
§.例1、用配方法解方程：
（1）
（2）
教学方法：学生认真思考，四个学生板演，其余独立完成，小组讨论、交流，改错，总结经验。
答案：（1），；（2），.
注意：
（1）方程的二次项系数不为时，首先应把它化成二次项系数为时的形式，这是利用配方法求解方程的前提。
（2）配方法中方程的两边都加上一次项系数一半的平方的前提是二次项系数为。
同步练习：用配方法解下列方程。
（1）
（2）
§.例2、一个小球以的初速度竖直向上弹出，在空中高度与时间满足：，问小球何时能达到高。
解：由题意，得：，即
解得：，
答：弹出或后能达到高.
§.例3、用配方法证明：无论取何实数，代数式的值不小于.
证明：
∵
∴
即代数式的值不小于.
归纳：配方法不但应用于解一元二次方程，配方思想也常常用来证明代数式的正负或取值范围，是后面学习函数的基础。
§.例4、阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设.
那么原方程可化为①，解得：，
当时，，∴，即.
当时，，∴，即.
故原方程的解为：，，，.
解答问题：
（1）上述解题过程，在由原方程得到①的过程中，利用换元法达到了解方程的目的，体现了转化数学思想；
（2）请利用以上知识解方程.
四、巩固练习
教材
练习
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、会解二次项系数不为的一元二次方程。
2、进一步深刻体会降次转化思想解方程的思路。
3、掌握配方的数学思想方法，灵活解决相关问题。
六、课外作业
1、教材
习题22.2
一元二次方程的解法
第六课时
一元二次方程解法（六）
＆.教学目标：
1、理解一元二次方程根的判别式的推导过程。
2、灵活地应用一元二次方程根的判别式解决相关问题。
＆.教学重点、难点：
重点：一元二次方程根的判别式的灵活应用。
难点：一元二次方程根的判别式的推导理解。
＆.教学过程：
一、情景导入
1、解一元二次方程有几种解法？它们分别是什么？
2、请你用适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
二、探究新知
§.探究一元二次方程根的判别式
问题1：用配方法解一元二次方程.
解析：引导学生独立完成，教师点拨。
答案：.
问题2：要使一元二次方程有解，应满足什么条件？
答案：.
问题3：试猜想一下，对于一元二次方程：
（1）当时，方程有怎样的实数根？
（2）当时，方程有怎样的实数根？
（3）当时，方程有怎样的实数根？
§.概括：一元二次方程根的判别式：
一元二次方程，叫做一元二次方程根的判别式，记作“”。
（1）当时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，方程有两个相等的实数根；
（3）当时，方程无实数根。
注意：
（1）研究一元二次方程根的判别式首先将一元二次方程化为一般形式；
（2）对于判别式，是二次项系数，是一次项系数，是常数项。
三、讲解例题，巩固新知
题型一：不解方程，判定一元二次方程根的情况。
§.例1、不解方程，判定方程根的情况：
（1）
（2）
（3）
解析：要判定方程根的情况，只须求出根的判别式的值的正负情况即可。
解：（1）∵
∴原方程有两个不相等的实数根。
（2）原方程变形为：
∵
∴原方程有两个相等的实数根。
（3）原方程变形为：
∵
∴原方程没有实数根。
注意：利用判定方程根的情况，要先将方程整理成一般形式，再确定、、.
同步练习：不解方程，判定方程根的情况。
（1）
（2）
（3）
题型二：根据方程根的情况，确定方程中的待定系数.
§.例2、已知关于的方程.想一想：取什么值时，
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个相等的实数根；
（3）方程没有实数根.
解析：要求的取值或取值范围，需得到的方程或不等式组，利用一元二次方程根的判别式即可。
答案：（1）；（2）；（3）.
§.例3、已知关于一元二次方程有两个实数根，求的取值范围。
解析：由方程根的情况，得关于的不等式，若二次项中存在字母系数，则系数不为，从以上两个方面确定字母的取值范围。
解：∵关于一元二次方程有两个实数根
∴，即
解得：
又∵
∴
故的取值范围为：且.
同步练习：已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值，并求出方程的解。
题型三：由方程根的情况，证明有关问题.
§.例4、已知方程有两个相等的实数根，求证：.
解析：要求，即求、、之间的关系，因为原方程有两个相等的实数根，所以，从而得、、之间的关系，整理即可。
证明：由题意，得：
即
∴
即.
§.例5、为任意实数，试说明方程恒有两个不相等的实数根。
解：由题意，得：
∵无论取何值，，即
∴方程恒有两个不相等的实数根。
同步练习：已知、、是的三边，且方程
有两个相等的实数根，试判断的形状。
四、巩固练习
教材
练习
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、理解掌握一元二次方程根的判别式。
2、能熟练地利用一元二次方程根的判别式解决相关问题。
