(共22张PPT)
第十二章
全等三角形
12.2
三角形全等的判定
第三课时
【学习目标】
1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“ASA”，判定方法4——“AAS”；能运用它们判定两个三角形全等．
2．应用“角边角”和“角角边”证明两个三角形全等，进而证线段或角相等.
【课前预习】
1．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，
使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在同一条直线上，如图，可以得到
△EDC≌△ABC所以ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是（ ）
A．SAS
B．ASA
C．SSS
D．HL
2．如图，某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店
去配一块完全一样形状的玻璃．那么最省事的办法是带（
）
A．带③去
B．带②去
C．带①去
D．带①②去
3．为了测量河两岸相对点A、B的距离，小明先在AB的垂线BF上取两点C、D，
使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A、C、E在同一条直线上（如图所示），可以证明
△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长度就是AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是（
）
A．SAS
B．ASA
C．SSS
D．AAS
4．如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为点D,点E,BE、CD相交于点O.∠1=∠2,
则图中全等三角形共有(
)
A．4对
B．3对
C．2对
D．5对
5．如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再作BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，可以说明
，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定的理由是（
）
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．HL
【课前预习】答案
1．B
2．A
3．B
4．A
5．C
一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了（如下图），你能制作一张与原来同样大小的新教具吗？能恢复原来三角形的原貌吗？
【学习探究】
C
B
E
A
D
问题1 先在一张纸上画一个△ABC，然后在另一
张纸上画△DEF，使EF
=BC，∠E
=∠B，∠F
=∠C．
△ABC
和△DEF
能重合吗？根据你画的两个三角形
及结果，你能得到又一个判定两个三角形全等的方法
吗？
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（
简称为“角边角”或“ASA”）．
动手画图，探究“ASA”判定方法
∠A=∠A’
（已知
），
AB=A’C（已知
），
∠B=∠C（已知
），
证明：在△ABE和△A’CD中，
所以
△ABE≌△A’CD（ASA）。
用数学语言表述：
适时引申，探究“AAS”判定方法
问题2 解答下面问题，你能获得什么结论？如图，
在△ABC
和△DEF
中，∠A
=∠D，∠B
=∠E，BC
=EF，
△ABC
与△DEF
全等吗？你能利用“ASA”证明你的
结论吗？
A
B
C
D
E
F
两角和一个角的对边边分别相等的两个三角形全等（简称为“角角边”或“AAS”）．
AE=A’D，
∠A=∠A’
，
∠B=∠C，
证明：在△ABE和△A’CD中，
所以
△ABE≌△A’CD（AAS）。
用数学语言表述：
应用“ASA”
判定方法，解决实际问题
问题3 如图，小明、小强一起踢球，不小心把一
块三角形的装饰玻璃踢碎了，摔成了3
块，两人决定赔
偿．你能告诉他们只带其中哪一块去玻璃店，就可以买
到一块完全一样的玻璃吗？
3
2
1
例题
证明：在△ABE
和△ACD
中，
∴ △ABE
≌△ACD（ASA）．
∴ AE
=AD．
∠B
=∠C，
AB
=AC
，
∠A
=∠A
，
例1 如图，点D
在AB上，点E
在AC上，BA
=AC，
∠B
=∠C．求证：AD
=AE．
A
B
C
D
E
证明：∵ ∠DAB
=∠EAC，
∴ ∠DAC
=∠EAB.
∵ AE⊥BE，AD⊥DC，
∴ ∠D
=∠E
=90°.
在△ADC
和△AEB
中,
A
B
C
D
E
例2 如图，AE⊥BE，AD⊥DC，CD
=BE，∠DAB
=∠EAC．求证：AB
=AC．
∠DAC
=∠EAB，
∠D
=∠E，
CD
=BE，
∴ △ADC
≌△AEB（AAS）．
∴ AC
=AB．
例2 如图，AE⊥BE，AD⊥DC，CD
=BE，∠DAB
=∠EAC．求证：AB
=AC．
证明：
A
B
C
D
E
例3
已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝
∠DBC，
求证：△ABC≌△DCB．
∠ABC＝∠DCB(已知），
BC＝CB（公共边），
∠ACB＝∠DBC（已知），
证明：
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（ASA
）.
ASA
B
C
A
D
课堂练习
练习 如图，E，F
在线段AC上，AD∥CB，AE
=
CF．若∠B
=∠D，求证：DF
=BE．
A
B
C
D
E
F
证明：∵ AD∥CB
，
∴ ∠A
=∠C.
∵ AE
=CF
，
∴ AF
=CE.
在△ADF
和△CBE
中,
练习 如图，E，F
在线段AC上，AD∥CB，AE
=
CF．若∠B
=∠D，求证：DF
=BE．
∠A
=∠C，
∠D
=∠B
，
AF
=CE
，
∴ △ADF
≌△CBE（AAS）．
∴ DF
=BE．
证明：
A
B
C
D
E
F
变式 若将条件
“∠B
=∠D”变为“DF∥BE”，
那么原结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请
说明理由．
A
B
C
D
E
F
课堂小结
（1）本节课学习了几种判断两个三角形全等的方法？
分别是什么？它们之间有什么共同点和区别？
（2）本节课学习的两种方法能否用“两角一边相等，
则三角形全等”
来代替？
【课后练习】
【课后练习】答案
1．D
2．A
3．A
4．A
5．D
6．A
7．A
8．B
9．B
10．D(共22张PPT)
第十二章
全等三角形
12.2
三角形全等的判定
第二课时
【学习目标】
1.理解和掌握全等三角形判定方法2——“SAS”．理解满足“SSA”的两个三角形不一定全等．
2.能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．
3.能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题。
【课前预习】
1．如图，∠ADB=∠AEC=100°，∠BAD=50°，BD=EC，则∠C=（ ）
A．20°
B．50°
C．30°
D．40°
2．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，则BC边上的中线AD的取值范围是（ ）
A．0＜AD＜5
B．2＜AD＜3
C．1＜AD＜4
D．3＜AD＜5
3．小明用同种材料制成的金属框架如图所示，已知∠B=∠E，AB=DE，BF=EC，
其中框架△ABC的质量为840克，CF的质量为106克，则整个金属框架的质量为（
）.
A．734克
B．946克
C．1052克
D．1574克
4．如图所示，△ABC中，AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，BD=CE，AD与BE相交于点P，
则∠APE的度数是(
)
A．45°
B．55°
C．75°
D．60°
5．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是(
)
A．两个锐角对应相等
B．一条直角边和一个锐角对应相等
C．两条直角边对应相等
D．一条直角边和一条斜边对应相等
【课前预习】答案
1．C
2．C
3．D
4．D
5．A
上一节我们探究了两个三角形满足三条边对应相等时，这两个三角形全等，你认为还有其他情况吗？
【学习探究】
尺规作图，探究边角边的判定方法
问题1 先任意画出一个△ABC，再画一个
△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A＇=∠A，C′A′=
CA（即两边和它们的夹角分别相等）．把画好的
△A′B′C′剪下来，放到△ABC
上，它们全等吗？
A
B
C
A
B
C
A′
D
E
现象：两个三角形放在一起
能完全重合．
说明：这两个三角形全等．
画法：
（1）
画∠DA′E
=∠A；
（2）在射线A′D上截取
A′B′=AB，在射线
A′E上截取A′C′=AC；
（3）连接B′C′．
B′
C′
几何语言：
在△ABC
和△
A′B′
C′中，
∴ △ABC
≌△
A′B′
C′（SAS）．
归纳概括“SAS”判定方法:
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可
简写成“边角边”或“SAS
”）．
AB
=
A′B′，
∠A
=∠A′，
AC
=A′C′
，
A
B
C
A
′
B
′
C
′
例1
如果AB=CB
，∠
ABD=
∠
CBD，那么
△
ABD
和△
CBD
全等吗？
分析:
△
ABD
≌△
CBD.
边:
角:
边:
AB=CB(已知)，
∠ABD=
∠CBD(已知)，
？
A
B
C
D
(SAS)
BD=BD(公共边).
A
B
C
D
证明：
在△ABD
和△
CBD中，
AB=CB(已知)，
∠ABD=
∠CBD(已知)，
BD=BD(公共边)，
∴
△
ABD
≌△
CBD
(
SAS).
想一想：
现在例1的已知条件不改变,而问题改变成:
问AD=CD吗？BD平分∠ADC吗？
由△
ABD
≌△
CBD可得AD=CD（全等三角形的对应边相等），BD平分∠ADC（全等三角形的对应角相等，∠ADB=∠CDB）.
已知：如图，
AB=CB
，∠
ABD=
∠
CBD
。
问AD=CD，
BD
平分∠
ADC
吗？
A
B
C
D
例题变式1
A
B
C
D
已知:AD=CD，
BD
平分∠
ADC
。
问∠A=∠
C
吗？
例题变式2
利用今天所学“边角边”知识，带黑色的那块．因
为它完整地保留了两边及其夹角，
一个三角形两条边的长度和夹角的
大小确定了，这个三角形的形状、
大小就确定下来了．
应用“SAS”判定方法，解决简单实际问题
问题2 某同学不小心把一块三角形的玻璃从两个
顶点处打碎成两块（如图），现要到玻璃店去配一块完
全一样的玻璃．请问如果只准带一块碎片，应该带哪一
块去，能试着说明理由吗？
例2
如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么?
C
·
A
E
D
B
分析：
如果能证明△ABC≌
△DEC,
就可以得出AB=DE.由题意知，
△ABC和△DEC具备“边角边”的条件.
证明：在△ABC
和△DEC
中，
∴△ABC
≌△DEC（SAS）.
∴AB
=DE
（全等三角形的对应边相等）.
AC
=
DC（已知），
∠1
=∠2
（对顶角相等），
CB=EC（已知）
，
C
·
A
E
D
B
1
2
证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.
归纳
“SSA”不能作为三角形全等的判定定理
想一想：如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.这个实验说明了什么？
B
A
C
D
这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.
归纳
△ABC和△ABD满足AB=AB
,AC=AD,
∠B=∠B,但△ABC与△ABD不全等.
如图，在△ABC
和△ABD
中，
AB
=AB，AC
=
AD，∠B
=∠B，
但△ABC
和△ABD
不全等．
探索“SSA”能否识别两三角形全等
问题3
两边一角分别相等包括“两边夹角”和
“两边及其中一边的对角”分别相等两种情况，前面已
探索出“SAS”判定三角形全等的方法，那么由“SSA”
的条件能判定两个三角形全等吗？
A
B
C
D
画△ABC
和△DEF，使∠B
=∠E
=30°，
AB
=DE
=5
cm
，AC
=DF
=3
cm
．观察所得的两个三角形是否全
等？
?
两边和其中一边的对角这三个条件无法唯一确定三
角形的形状，所以不能保证两个三角形全等．因此，
△ABC
和△DEF
不一定全等．
课堂小结
边角边
内容
有两边及夹角对应相等的两个三角形全等（简写成
“SAS”)
应用
为证明线段和角相等提供了新的证法
注意
1.已知两边，必须找“夹角”
2.
已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边
【课后练习】
【课后练习】答案
1．A
2．A
3．B
4．B
5．C
6．C
7．D
8．B
9．D
10．B
