2.4 第2课时
一、选择题
1．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] ∵cosθ＝
＝＝，
∴a在b方向上的投影|a|cosθ
＝×＝.
2．(08·海南文)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与a垂直，则λ＝( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
[答案] A
[解析] a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，
∴λa＋b＝λ(1，－3)＋(4，－2)＝(λ＋4，－3λ－2)，
∵λa＋b与a垂直，
∴λ＋4＋(－3)(－3λ－2)＝0，
∴λ＝－1，故选A.
3．(2010·重庆南开中学)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则a·b＝( )
A. B．1
C. D.
[答案] B
[解析] |a|＝2，a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2×1×＝1.
4．已知△ABC中，＝a，＝b，a·b<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，则a与b的夹角是( )
A．30° B．150°
C．210° D．30°或150°
[答案] B
[解析] 由a·b<0知，a、b夹角是钝角，
∵S△ABC＝，∴×3×5×sinA＝，∴sinA＝，
∵A为钝角，∴A＝150°.
5．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b等于( )
A. B.
C. D．(1,0)
[答案] B
[解析] 方法1：令b＝(x，y)(y≠0)，则
将②代入①得x2＋(－x)2＝1，即2x2－3x＋1＝0，
∴x＝1(舍去，此时y＝0)或x＝ y＝.
方法2：排除法，D中y＝0不合题意；C不是单位向量，舍去；代入A，不合题意，故选B.
6．(2010·四川理，5)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．8 B．4
C．2 D．1
[答案] C
[解析] ∵|＋|＝|－|，∴△ABC是以A为直角顶点的三角形，
又M是BC的中点，则||＝||＝×4＝2.
7．(2010·河北省正定中学模拟)已知向量a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(0，－2)，θ∈，则向量a，b的夹角为( )
A.－θ B．θ－
C.＋θ D．θ
[答案] A
[解析] 解法一：由三角函数定义知a的起点在原点时，终点落在圆x2＋y2＝4位于第二象限的部分上
(∵<θ<π)，设其终点为P，则∠xOP＝θ，
∴a与b的夹角为－θ.
解法二：cos〈a，b〉＝＝
＝－sinθ＝cos，
∵θ∈，∴－θ∈，
又〈a，b〉∈(0，π)，∴〈a，b〉＝－θ.
8．若非零向量a、b满足|a＋b|＝|b|，则( )
A．|2a|>|2a＋b| B．|2a|<|2a＋b|
C．|2b|>|a＋2b| D．|2b|<|a＋2b|
[答案] C
[解析] 由已知(a＋b)2＝b2，即2a·b＋|a|2＝0.
∵|2a＋b|2－|2a|2＝4a·b＋|b|2＝|b|2－2|a|2符号不能确定，∴A、B均不对．
∵|a＋2b|2－|2b|2＝|a|2＋4a·b
＝|a|2－2|a|2＝－|a|2<0.故选C.
9．设A(a,1)、B(2，b)、C(4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为( )
A．4a－5b＝3 B．5a－4b＝3
C．4a＋5b＝14 D．5a＋4b＝14
[答案] A
[解析] 据投影定义知，＝
·－·＝0 ·＝0，
4(a－2)＋5(1－b)＝0 4a－5b＝3.
10．(08·浙江)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )
A．1 B．2
C. D.
[答案] C
[解析] 由(a－c)·(b－c)＝0得a·b－(a＋b)·c＋c2＝0，即c2＝(a＋b)·c，故|c|·|c|≤|a＋b|·|c|，即|c|≤|a＋b|＝，故选C.
二、填空题
11．已知a＝(1,2)，b＝(－2,1)，则与2a－b同方向的单位向量e为________．
[答案]
[解析] ∵2a－b＝2(1,2)－(－2,1)＝(4,3)，
∴同方向的单位向量e＝＝.
12．(2010·金华十校)△ABO三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，满足·≤0，·≥0，则·的最小值为________．
[答案] 3
[解析] ∵·＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，∴x≤1，∴－x≥－1，
∵·＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，
∴y≥2.
∴·＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3.
13．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b.若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．
[答案] 4
[解析] ∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)．
∵(a－b)⊥c，∴(a－b)·[－(a＋b)]＝0.
即|a|2－|b|2＝0，∴|a|＝|b|＝1，
∵a⊥b，∴a·b＝0，
∴|c|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋b2＝1＋0＋1＝2.
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
三、解答题
14．已知向量a＝(－3,2)，b＝(2,1)，c＝(3，－1)，t∈R.
(1)求|a＋tb|的最小值及相应的t值；
(2)若a－tb与c共线，求实数t.
[解析] (1)a＋tb＝(2t－3,2＋t)，|a＋tb|2＝(2t－3)2＋(2＋t)2＝5t2－8t＋13＝52＋，当t＝时，|a＋tb|取得最小值.
(2)a－tb＝(－3－2t,2－t)，因为a－tb与c共线，所以3＋2t－6＋3t＝0，即t＝.
15．已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，若∥，⊥.
(1)求x、y的值；
(2)求四边形ABCD的面积．
[解析] (1)＝＋＋＝(4＋x，y－2)，
∴＝(－4－x,2－y)，
由∥得，x(2－y)＋y(4＋x)＝0①
＝＋＝(6＋x，y＋1)，
＝＋＝(x－2，y－3)，
由⊥得，
(6＋x)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0②
由①②解得x＝2，y＝－1或x＝－6，y＝3.
(2)当x＝2，y＝－1时，＝(8,0)，＝(0,4)，
∴S四边形ABCD＝||·||＝×8×4＝16；
当x＝－6，y＝3时，＝(0,4)，＝(－8,0)，
∴S四边形ABCD＝||·||＝×4×8＝16.
16．已知a＝(，－1)，b＝.
(1)求证：a⊥b；
(2)若存在不同时为0的实数k和t，使x＝a＋(t－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数关系式k＝f(t)；
(3)求函数k＝f(t)的最小值．
[解析] (1)由a·b＝－＝0，得a⊥b.
(2)由x⊥y得，x·y＝[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，即－ka2－k(t－3)a·b＋ta·b＋t(t－3)b2＝0.
－ka2＋t(t－3)b2＝0.
∴k＝t(t－3)．
(3)k＝t(t－3)＝2－，
所以当t＝时，k取最小值－.
17．如图所示，已知△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD是BC边上的高，求及点D的坐标．
[解析] 设点D的坐标为(x，y)，∵AD是BC边上的高，
∴⊥，与共线．
又＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)．
＝(x＋3，y＋1)，
∴即
解得
∴D点坐标为(1,1)，∴＝(－1,2)．
18．已知O为平面直角坐标系的原点，设＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)．在线段OC上是否存在点M，使MA⊥MB.若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
[解析] 设＝t，t∈[0,1]．则＝(6t,3t)，
即M(6t,3t)．
∴＝－＝(2－6t,5－3t)，
＝－＝(3－6t,1－3t)．
∵MA⊥MB，∴·＝(2－6t)(3－6t)＋(5－3t)(1－3t)＝0，
即45t2－48t＋11＝0，t＝或t＝.
∴存在点M，M点的坐标为(2,1)或.2．1
一、选择题
1．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有( )
A．6个 B．7个
C．8个 D．9个
[答案] D
[解析] 与向量共线的向量有：，，，，，，，，，故共有9个．
2．在下列判断中，正确的是( )
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向；
⑤任意向量与零向量都共线．
A．①②③ B．②③④
C．①②⑤ D．①③⑤
[答案] D
[解析] 由定义知①正确，②由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确．显然，③、⑤正确，④不正确，所以答案是D.
3．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
[答案] C
[解析] ∵＝，∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵||＝||，∴四边形为菱形．
4．已知圆心为O的⊙O上三点A、B、C，则向量、、是( )
A．有相同起点的相等向量
B．长度为1的向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
[答案] C
[解析] 圆的半径r＝||＝||＝||不一定为1，故选C.
5．下列关于向量的结论：
(1)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
(2)向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
(3)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；
(4)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.
其中正确的序号为( )
A．(1)(2) B．(2)(3)
C．(4) D．(3)
[答案] D
[解析] (1)中只知|a|＝|b|，a与b的方向不知，故(1)不对；不要让实数的性质|x|＝a，则x＝±a，错误迁移到向量中来．
(2)没告诉是非零向量，故(2)不对，因为零向量的方向是任意的．
(3)正确．对于任一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的，因此相等向量可以起点不同．
(4)向量与数不同，向量不能比较大小．
6．四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系不一定成立的是( )
A．||＝||
B.与共线
C.与共线
D.与共线
[答案] C
[解析] ∵三个四边形都是菱形，∴||＝||，AB∥CD∥FH，故与共线，又三点D、C、E共线，∴与共线，故A、B、D都正确．当ABCD与其它两个菱形不共面时，BD与EH异面．
7．下列命题正确的是( )
A．向量a与b共线，向量b与c共线，则向量a与c共线
B．向量a与b不共线，向量b与c不共线，则向量a与c不共线
C．向量与是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线
D．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
[答案] D
[解析] 当b＝0时，A不对；如图a＝，c＝，b与a，b与c均不共线，但a与c共线，∴B错．
在 ABCD中，与共线，但四点A、B、C、D不共线，∴C错；
若a与b有一个为零向量，则a与b一定共线，∴a，b不共线时，一定有a与b都是非零向量，故D正确．
8．下列说法正确的是( )
①向量与是平行向量，则A、B、C、D四点一定不在同一直线上
②向量a与b平行，且|a|＝|b|≠0，则a＋b＝0或a－b＝0
③向量的长度与向量的长度相等
④单位向量都相等
A．①③ B．②④
C．①④ D．②③
[答案] D
[解析] 对于①，向量平行时，表示向量的有向线段所在直线可以是重合的，故①错．
对于②，由于|a|＝|b|≠0，∴a，b都是非零向量，∵a∥b，∴a与b方向相同或相反，∴a＋b＝0或a－b＝0.
对于③，向量与向量方向相反，但长度相等．
对于④，单位向量不仅仅长度为1，还有方向，而向量相等需要长度相等而且方向相同．选D.
二、填空题
9．如图ABCD是菱形，则在向量、、、、和中，相等的有________对．
[答案] 2
[解析] ＝，＝.其余不等．
10．给出下列各命题：
(1)零向量没有方向；
(2)若|a|＝|b|，则a＝b；
(3)单位向量都相等；
(4)向量就是有向线段；
(5)两相等向量若其起点相同，则终点也相同；
(6)若a＝b，b＝c，则a＝c；
(7)若a∥b，b∥c，则a∥c；
(8)若四边形ABCD是平行四边形，则＝，＝.
其中正确命题的序号是________．
[答案] (5)(6)
[解析] (1)该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不定；
(2)该命题不正确，|a|＝|b|只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同；
(3)该命题不正确，单位向量只是模为单位长度1，而对方向没要求；
(4)该命题不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来；
(5)该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合；
(6)该命题正确．由向量相等的定义知，a与b的模相等，b与c的模相等，从而a与c的模相等；又a与b的方向相同，b与c的方向相同，从而a与c的方向也必相同，故a＝c；
(7)该命题不正确．因若b＝0，则对两不共线的向量a与c，也有a∥0,0∥c，但a∥\ c；
(8)该命题不正确．如图所示，显然有≠，≠.
11．已知A、B、C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
[答案] 0
[解析] ∵A、B、C不共线，∴与不共线，
又∵m与、都共线，∴m＝0.
三、解答题
12．如图所示，点O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．
在图中所示的向量中：
(1)分别写出与，相等的向量；
(2)写出与共线的向量；
(3)写出与的模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
[解析] (1)＝，＝；
(2)与共线的向量为：，，；
(3)||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||；
(4)不相等．
13．如图所示，四边形ABCD中，＝，N、M是AD、BC上的点，且＝.
求证：＝.
[解析] ∵＝，
∴||＝||且AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形．∴||＝||，且DA∥CB.
又∵与的方向相同，
∴＝.
同理可证：四边形CNAM是平行四边形，∴＝.
∵||＝||，||＝||，
∴||＝||，DN∥MB，即与的模相等且方向相同．∴＝.
14．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
(1)与相等的向量共有几个；
(2)与平行且模为的向量共有几个？
(3)与方向相同且模为3的向量共有几个？
[分析] 非零向量平行(共线)包括两种情况：一种是方向相同，另一种是方向相反．
[解析] (1)与向量相等的向量共有5个(不包括本身)．
(2)与向量平行且模为的向量共有24个．
(3)与向量方向相同且模为3的向量共有2个．
15．如图所示，已知 ABCD， AOBE， ACFB， ACGD， ACDH，点O是 ABCD的对角线交点，且＝a，＝b，＝c.
(1)写出图中与a相等的向量；
(2)写出图中与b相等的向量；
(3)写出图中与c相等的向量．
[解析] (1)在 OAEB中，＝＝a；在 ABCD中，＝＝a，所以a＝＝.
(2)在 ABCD中，＝＝b；在 AOBE中，＝＝b，所以b＝＝.
(3)在 ABCD中，＝＝c；在 ACGD中，＝＝c，所以c＝＝.
16．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行1000km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？
[解析] 如图所示，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC为正三角形，
∴AC＝2000km.
又∵∠ACD＝45°，CD＝1000，∴△ACD为直角三角形，
即AD＝1000km，∠CAD＝45°.
答：丁地在甲地的东南方向，距甲地1000km.2.5
一、选择题
1．一物体受到相互垂直的两个力f1、f2的作用，两力大小都为5N，则两个力的合力的大小为( )
A．10N B．0N
C．5N D.N
[答案] C
[解析] 根据向量加法的平行四边形法则，合力f的大小为×5＝5(N)．
2．河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )
A．10m/s B．2m/s
C．4m/s D．12m/s
[答案] B
[解析] 设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1.
∴v2＝v－v1，v·v1＝0，
∴|v2|＝＝
＝＝2.
3．(2010·山东日照一中)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则的值为( )
A. B．－
C. D．－
[答案] B
[解析] 因为|a|＝2，|b|＝3，又a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×3×cos〈a，b〉＝－6，可得cos〈a，b〉＝－1.即a，b为共线向量且反向，又|a|＝2，|b|＝3，所以有3(x1，y1)＝－2(x2，y2) x1＝－x2，y1＝－y2，所以＝＝－，从而选B.
4．已知一物体在共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移S＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为( )
A．lg2 B．lg5
C．1 D．2
[答案] D
[解析] W＝(F1＋F2)·S＝(lg2＋lg5,2lg2)·(2lg5,1)＝(1,2lg2)·(2lg5,1)＝2lg5＋2lg2＝2，故选D.
5．在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 由＋＋＝，得＋＋＋＝0，即＝2，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示．故＝＝.
6．点P在平面上作匀速直线运动，速度v＝(4，－3)，设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(速度单位：m/s，长度单位：m)( )
A．(－2,4) B．(－30,25)
C．(10，－5) D．(5，－10)
[答案] C
[解析] 5秒后点P的坐标为：
(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)．
7．已知向量a，e满足：a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则( )
A．a⊥e B．a⊥(a－e)
C．e⊥(a－e) D．(a＋e)⊥(a－e)
[答案] C
[解析] 由条件可知|a－te|2≥|a－e|2对t∈R恒成立，又∵|e|＝1，
∴t2－2a·e·t＋2a·e－1≥0对t∈R恒成立，
即Δ＝4(a·e)2－8a·e＋4≤0恒成立．
∴(a·e－1)2≤0恒成立，
而(a·e－1)2≥0，∴a·e－1＝0.
即a·e＝1＝e2，∴e·(a－e)＝0，即e⊥(a－e)．
8．已知||＝1，||＝，⊥，点C在∠AOB内，∠AOC＝30°，设＝m＋n，则＝( )
A. B．3
C．3 D.
[答案] B
[解析] ∵·＝m||2＋n·＝m，
·＝m·＋n·||2＝3n，
∴＝＝1，∴＝3.
二、填空题
9．已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．
[答案] λ>－且λ≠0
[解析] ∵a与a＋λb均不是零向量，夹角为锐角，
∴a·(a＋λb)>0，∴5＋3λ>0，∴λ>－.
当a与a＋λb同向时，a＋λb＝ma(m>0)，
即(1＋λ，2＋λ)＝(m,2m)．
∴，得，
∴λ>－且λ≠0.
10．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝4相交于A、B两点，且|AB|＝2，则·＝________.
[答案] －2
[解析] ∵|AB|＝2，|OA|＝|OB|＝2，
∴∠AOB＝120°.
∴·＝||·||·cos120°＝－2.
三、解答题
11．已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.
求证：AD⊥CE.
[证明] 以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
设AC＝a，则A(a,0)，B(0，a)，D，C(0,0)，E.
∴＝，＝.
∵·＝－a·a＋·a＝0，∴AD⊥CE.
12．△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于F，连结DF，求证：∠ADB＝∠FDC.
[证明] 如图，以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设A(0,2)，C(2,0)，则D(1,0)，＝(2，－2)
设＝λ，
则＝＋＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)，
又＝(－1,2)
由题设⊥，∴·＝0，
∴－2λ＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.
∴＝，∴＝－＝，
又＝(1,0)，
∴cos∠ADB＝＝，
cos∠FDC＝＝，
又∠ADB、∠FDC∈(0，π)，∴∠ADB＝∠FDC.
13．(2010·江苏，15)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
[解析] (1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线长分别为4和2.
(2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．
由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－.
14．一条宽为km的河，水流速度为2km/h，在河两岸有两个码头A、B，已知AB＝km，船在水中最大航速为4km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？
[解析] 如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作 ACED且当AE与AB重合时能最快到达彼岸．根据题意AC⊥AE，在Rt△ADE和 ACED中，
||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°.
∴||＝＝2，
sin∠EAD＝，∴∠EAD＝30°，用时0.5h.
答：船实际航行速度大小为4km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时半小时．
15．在 ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD，求证：M，N，C三点共线．
[证明] ＝－.
因为＝，＝＝(＋)，
所以＝＋－，
＝－.
由于＝－＝－，
可知＝3，即∥.
又因为MC、MN有公共点M，所以M、N、C三点共线．
16．如图所示，正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量方法证明PA＝EF.
[分析] 本题所给图形为正方形，故可考虑建立平面直角坐标系，用向量坐标来解决，为此只要写出和的坐标，证明其模相等即可．
[证明] 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为
a，则A(0，a)．设||＝λ(λ>0)，则F，P，E，
所以＝，＝，
因为||2＝λ2－aλ＋a2，||2＝λ2－aλ＋a2，所以||＝||，
即PA＝EF.
17．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AC，E是垂足，F是DE的中点，求证AF⊥BE.
[证明] ∵AB＝AC，且D是BC的中点，
∴⊥，∴·＝0.
又⊥，∴·＝0.
∵＝，F是DE的中点，
∴＝－.
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝·＋·＋·
＝(＋)·＋·＋·
＝·＋·＋·＋·
＝·－·－·
＝·－·
＝·(－)＝·＝0.
∴⊥，∴AF⊥BE.2.3 第2课时
一、选择题
1．(08·四川)设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝( )
A．(7,3) B．(7,7)
C．(1,7) D．(1,3)
[答案] A
[解析] a－2b＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)，故选A.
2．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，则点B的坐标为( )
A．(6,9) B．(5,4)
C．(7,14) D．(9,24)
[答案] B
[解析] ＝(－1，－5).＝3a＝(6,9)，
故＝＋＝(5,4)，
故点B坐标为(5,4)．
3．原点O在正六边形ABCDEF的中心，＝(－1，－)，＝(1，－)，则等于( )
A．(2,0) B．(－2,0)
C．(0，－2) D．(0，)
[答案] A
[解析] ∵正六边形中，OABC为平行四边形，
∴＝＋，
∴＝－＝(2,0)．
4．(09·湖北理)已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝( )
A．{(1,1)} B．{(－1,1)}
C．{(1,0)} D．{(0,1)}
[答案] A
[解析] 根据题意知，a＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)，b＝(1,1)＋n(－1，1)＝(1－n,1＋n)，
令a＝b得，，解得，∴a＝(1,1)＝b.
∴P∩Q＝{(1,1)}．
5．(08·辽宁文)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为( )
A. B.
C．(3,2) D．(1,3)
[答案] A
[解析] ＝(3,1)－(－1，－2)＝(4,3)，
2＝2(x，y－2)＝(2x,2y－4)
∵＝2，
∴，解得，故选A.
6．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于( )
A. B.
C．－ D．－
[答案] A
[解析] ∵＝2，
∴－＝2(－)，
∴＝＋.
又∵＝＋λ，∴λ＝.
7．(08·辽宁理)已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则＝( )
A．2－ B．－＋2
C.－ D．－＋
[答案] A
[解析] ∵2＋＝0，
∴2(－)＋(－)＝0，
∴＋－2＝0，∴＝2－.
8．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝α＋β，其中α、β∈R且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝5
B．3x＋2y－11＝0
C．2x－y＝0
D．x＋2y－5＝0
[答案] D
[分析] 求轨迹方程的问题求哪个点的轨迹设哪个点的坐标，故设C(x，y)，据向量的运算法则及向量相等的关系，列出关于α、β、x、y的关系式，消去α、β即得．
[解析] 解法1：设C(x，y)，则＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1，3)．由＝α＋β得
(x，y)＝(3α，α)＋(－β，3β)＝(3α－β，α＋3β)．
于是
由(3)得β＝1－α代入(1)(2)消去β得，.
再消去α得x＋2y＝5，
即x＋2y－5＝0.∴选D.
解法2：由平面向量共线定理，当＝α＋β，α＋β＝1时，A、B、C三点共线．
因此，点C的轨迹为直线AB，
由两点式直线方程得＝，
即x＋2y－5＝0.∴选D.
9．已知平面向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，c＝(3，－5)，则用a，b表示向量c为( )
A．2a－b B．－a＋2b
C．a－2b D．a＋2b
[答案] C
[解析] 设c＝xa＋yb，∴(3，－5)＝(x－y，－x＋2y)，
∴，解之得，
∴c＝a－2b，故选C.
10．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为( )
A．(1，－1) B．(－1,1)
C．(－4,6) D．(4，－6)
[答案] D
[解析] 设c＝(x，y)，∵a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，∴4a＝(4，－12),3b－2a＝(－8,18)．
又由表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则有4a＋(3b－2a)＋c＝0，
即(4，－12)＋(－8,18)＋(x，y)＝(0,0)，
∴x＝4，y＝－6，∴c＝(4，－6)．
二、填空题
11．已知＝(2，－1)，＝(－4,1)，则的坐标为________．
[答案] (－6,2)
[解析] ＝－＝(－6,2)．
12．在坐标平面内，已知A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，给出下面的结论：
①直线OC与直线BA平行；
②＋＝；
③＋＝；
④＝－2.
其中所有正确命题的序号为________．
[答案] ①③④
[解析] ①∵＝(－2,1)，＝(2，－1)，
∴＝－(2，－1)＝－，
又OC，BA不共线，∴OC∥BA，∴①正确；
②∵＋＝≠，∴②错误；
③∵＋＝(0,2)＝，∴③正确；
④∵＝(－4,0)，－2＝(0,2)－2(2,1)
＝(－4,0)，∴④正确．
13．已知点A(7,1)，B(1,4)，若直线y＝ax与线段AB交于点C，且＝2，则实数a＝________.
[答案] 1
[解析] 设C(x0，ax0)，则＝(x0－7，ax0－1)，＝(1－x0,4－ax0)，
∵＝2，∴，解之得.
14．已知G是△ABC的重心，直线EF过点G且与边AB、AC分别交于点E、F，＝α，＝β，则＋的值为________．
[答案] 3
[解析] 连结AG并延长交BC于D，∵G是△ABC的重心，∴＝＝(＋)，
设＝λ，
∴－＝λ(－)，
∴＝＋，
∴＋＝＋，
∵与不共线，
∴，∴，∴＋＝3.
三、解答题
15．已知△ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M、N是AB、AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，求.
[解析] 因为A(7,8)，B(3,5)C(4,3)
所以＝(－4，－3)，AC＝(－3，－5)．
又因为D是BC的中点，有＝(＋)＝(－3.5，－4)，而M、N分别为AB、AC的中点，
所以F为AD的中点，
故有＝＝－＝(1.75,2)．
[点评] 注意向量表示的中点公式，M是A、B的中点，O是任一点，则＝(＋)．
16．如图所示，在 ABCD中，已知＝，＝.
求证：B、F、E三点共线．
[证明] 设＝a，＝b.则＝＋＝a＋b.
∵＝b－a，∴＝＝(b－a)．
∴＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b－a
＝a＋b＝.
∴＝.
∴向量与向量共线，它们有公共点B.
∴B、F、E三点共线．
17．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M为圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且＝2，求点N的轨迹方程．
[解析] 设M(x0，y0)，N(x，y)，
由＝2，得(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)，
所以，又∵M(x0，y0)在圆C上，
把x0、y0代入方程(x－3)2＋(y－3)2＝4，
整理得x2＋y2＝1，
所以所求的轨迹方程为x2＋y2＝1.2.4 第1课时
一、选择题
1．(2010·重庆理，2)已知向量a，b满足a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝( )
A．0 B．2
C．4 D．8
[答案] B
[解析] ∵|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，
∴|2a－b|＝2.
2．已知a、b是非零向量，且(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 由(a－2b)·a＝0及(b－2a)·b＝0得，a2＝b2＝2|a||b|cosθ，∴cosθ＝，θ＝.
[点评] 数量积运算满足多项式乘法法则及以下乘法公式
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，
(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，
a2－b2＝(a＋b)·(a－b)，
|a|2＝a2＝a·a.
3．如右图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是( )
A.·
B.·
C.·
D.·
[答案] A
[分析] 先搞清所涉及的两个向量的夹角，再用数量积的概念进行计算，最后比较大小．
[解析] 设正六边形的边长是1，则·＝1××cos30°＝；·＝1×2×cos60°＝1；·＝1××cos90°＝0；·＝1×1×cos120°＝－.
4．(2010·湖南理，4)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于( )
A．－16 B．－8
C．8 D．16
[答案] D
[解析] 因为∠C＝90°，所以·＝0，所以·＝(＋)·＝||2＋·＝AC2＝16.
5．P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
[答案] D
[解析] 由·＝·得·(－)＝0，即·＝0，∴PB⊥CA.
同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心．
6．已知△ABC中，若＝·＋·＋·，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
[答案] C
[解析] 由－·＝·＋·，
得·(－)＝·(－)，
即·＝·，∴·＋·＝0，
∴·(＋)＝0，则·＝0，即⊥，
所以△ABC是直角三角形，故选C.
7．若O为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．A、B、C均不是
[答案] C
[解析] 由(－)·(＋－2)＝0，得
·(＋)＝0，又∵＝－，∴(－)·(＋)＝0，即||2－||2＝0.
∴||＝||.∴△ABC为等腰三角形．
[点评] 若设BC中点为D，则有＋＝2，
故由·(＋)＝0得·＝0，
∴CB⊥AD，∴AC＝BC.
8．(09·陕西文)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝，则·(＋)等于( )
A．－ B．－
C. D.
[答案] A
[解析] 如图，∵＝，∴||＝||＝，∴·(＋)
＝·(＋＋＋)
＝·(2＋2)
＝22＋2·
＝2×＋2×cos180°
＝－，故选A.
9．已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 根据向量数量积的意义，a·b＝|a|·|b|·cosθ＝4cosθ＝2及0≤θ≤π，可得θ＝，选C.
10．若|a|＝2，|b|＝，a与b的夹角为45°，要使kb－a与a垂直，则k＝( )
A．±2 B．±
C. D．2
[答案] D
[解析] 若kb－a与a垂直，则(kb－a)·a＝0，
即ka·b－|a|2＝0，∴k|a|·|b|cos45°－|a|2＝0，解得k＝2.
二、填空题
11．若非零向量α，β满足|α＋β|＝|α－β|，则α，β的夹角为________．
[答案] 90°
[解析] ∵|α＋β|＝|α－β|，
∴(α＋β)2＝(α－β)2，
即α2＋2α·β＋β2＝α2－2α·β＋β2，
∴α·β＝0，∴α，β的夹角为90°.
12．已知平面上三点A、B、C，满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于________．
[答案] －25
[解析] 由条件知∠ABC＝90°，∴原式＝0＋4×5cos(180°－C)＋5×3cos(180°－A)＝－20cosC－15cosA＝－20×－15×＝－16－9＝－25.
[点评] 注意与的夹角不是角B，应是π－B.
13．(08·北京)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)的值为________．
[答案] 0
[解析] ∵a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉
＝4×4cos120°＝－8，
∴b·(2a＋b)＝2a·b＋b2＝0.
14．(09·天津文)若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足C＝C＋C，则M·M＝______________.
[答案] －2
[解析] ∵C＝C＋C，
∴M＝C－C＝C－C，
M＝C－C＝C－C.
∴M·M＝－C2－C2＋C·C
＝－×12－×12＋×12×＝－2.
三、解答题
15．已知|a|＝，|b|＝3，a与b夹角为45°，求使a＋λb与λa＋b的夹角为钝角时，λ的取值范围．
[解析] 由条件知，cos45°＝，∴a·b＝3，
设a＋λb与λa＋b的夹角为θ，则θ为钝角，
∴cosθ＝<0，
∴(a＋λb)(λa＋b)<0.
λa2＋λb2＋(1＋λ2)a·b<0，
∴2λ＋9λ＋3(1＋λ2)<0，∴3λ2＋11λ＋3<0，
∴<λ<.
若θ＝180°时，a＋λb与λa＋b共线且方向相反，
∴存在k<0，使a＋λb＝k(λa＋b)，
∵a，b不共线，∴，∴k＝λ＝－1，
∴<λ<且λ≠－1.
[点评] 本题易忽视θ＝180°时，也有a·b<0，忘掉考虑夹角不是钝角而致误．
*16.已知a，b是两个非零向量，证明：当b与a＋λb(λ∈R)垂直时，a＋λb的模取到最小值．
[解析] 当b与a＋λb(λ∈R)垂直时，b·(a＋λb)＝0，∴λ＝－.
|a＋λb|2＝λ2b2＋2λa·b＋a2
＝b2
＝b22＋a2－2.
当λ＝－时，|a＋λb|取得最小值．即当b与a＋λb(λ∈R)垂直时，a＋λb的模取到最小值．
[点评] 本题是将向量、函数的知识有机地结合起来，考查了向量与函数知识的综合应用．要注意a＋λb的模是一个关于λ的二次函数．
*17.已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在θ，使|a＋b|＝|a－b|成立，若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．
[解析] 假设满足条件的θ存在，由|a＋b|＝|a－b|，得(a＋b)2＝3(a－b)2.
∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝3(|a|2－2a·b＋|b|2)，
即|a|2－4a·b＋|b|2＝0，
∴|a|2－4|a||b|cosθ＋|b|2＝0，
由Δ≥0，得(4cosθ)2－4≥0，
解得cosθ≤－或cosθ≥，
又cosθ∈[－1,1]，
∴－1≤cosθ≤－或≤cosθ≤1，
∵θ∈[0，π]，∴θ∈∪，
故当θ∈∪时，能使|a＋b|＝|a－b|成立．2.2 第2课时
一、选择题
1．化简－＋＋的结果等于( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 原式＝(＋)＋(＋)
＝＋0＝.
2．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足＋＝，下列结论中正确的是( )
A．P在△ABC的内部
B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在直线上
D．P在△ABC的外部
[答案] D
[解析] 由＋＝可得
＝－＝，∴四边形PBCA为平行四边形．
可知点P在△ABC的外部．选D.
3．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( )
A.＝
B.＋＝
C.－＝
D.＋＝0
[答案] C
[解析] A显然正确．由平行四边形法则知B正确．C中－＝，故C错误．D中＋＝＋＝0.
4．(07·湖南)若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A.＝＋
B.＝－
C.＝－＋
D.＝－－
[答案] B
[解析] 由向量的减法的定义求解．
5．在平面上有A，B，C三点，设m＝＋，n＝－，若m与n的长度恰好相等，则有( )
A．A，B，C三点必在一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D．△ABC必为等腰直角三角形
[答案] C
[解析] 以，为邻边作平行四边形ABCD，则m＝＋＝，n＝－＝－＝，由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形．∴选C.
6．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于( )
A. B．－
C．－ D.
[答案] C
[解析] ∵b＝λa，∴|b|＝|λ|·|a|
又∵a与b反向，∴λ＝－.
7．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，那么( )
A.＝ B.＝2
C.＝3 D．2＝
[答案] A
[解析] ∵＋＝2，
∴2＋2＝0，∴＝.
8．已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在( )
A．△ABC的内部
B．AC边所在直线上
C．AB边所在直线上
D．BC边所在直线上
[答案] B
[解析] 由＝λ＋得－＝λ，∴＝λ.则与为共线向量，又与有一个公共点P，∴C、P、A三点共线，即点P在直线AC上．故选B.
9．G为△ABC内一点，且满足＋＋＝0，则G为△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．垂心 D．重心
[答案] D
[解析] 由于＋＋＝0，所以＝－(＋)，即是与＋方向相反，长度相等的向量．如图，以，为相邻的两边作 BGCD，则＝＋，所以＝－，在 BGCD中，设BC与GD交于点E，则＝，＝，故AE是△ABC中BC边上的中线且||＝2||.
从而点G是△ABC的重心．选D.
10．(2010·河北唐山)已知P、A、B、C是平面内四个不同的点，且＋＋＝，则( )
A．A、B、C三点共线
B．A、B、P三点共线
C．A、C、P三点共线
D．B、C、P三点共线
[答案] B
[解析] ∵＝－，∴原条件式变形为：
＝－2，∴∥，∴A、B、P三点共线．
二、填空题
11．已知x、y是实数，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________.
[答案]
[解析] 由已知得 .
12．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝________b.
[答案] －
[解析] ∵|a|＝5，|b|＝7，∴＝，
又方向相反，∴a＝－b.
13．(2010·浙江宁波十校)在平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，则＝________(用e1，e2表示)．
[答案] －e1＋e2
[解析] ∵＝＝e2，∴＝－e2，
∵＝，＋＝＝－＝e2－e1，
∴＝(e2－e1)，∴＝＋＝(e2－e1)－e2＝－e1＋e2.
三、解答题
14．如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知＝a，＝b，试用a、b表示和.
[解析] 连结CN，∵N是AB的中点，AB＝2CD，
∴AN綊DC，
∴四边形ANCD是平行四边形，
∴＝－＝－b，又＋＋＝0，
∴＝－－＝－a＋b.
＝＋＝a－b.
15．若a、b都是非零向量，在什么条件下向量a＋b与a－b共线？
[解析] 因a、b都是非零向量，向量a＋b与a－b中至少有一个不为零向量，不妨设a＋b≠0.则由a＋b与a－b共线，知存在实数λ使a－b＝λ(a＋b)，
∴(1－λ)a＝(1＋λ)b，
∵a≠0且b≠0，∴λ≠±1，
从而b＝a，从而a∥b.
由上可知，当a∥b时，a＋b与a－b共线．
16．如图，在△ABC中，D、E分别为AC、AB边上的点，＝＝，记＝a，＝b，求证：＝(b－a)．
[解析] 因为＝＝(－)＝(－a－b)，＝＝－b，所以＝－＝－a－b＋b＝(b－a)．
17．点E、F分别为四边形ABCD的对角线AC、BD的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示.
[解析] 如图所示，取AB中点P，连结EP，FP，
在△ABC中，EP是与BC平行的中位线，∴＝＝a.
在△ABD中，FP是与AD平行的中位线，
∴＝＝－b.在△EFP中，
＝＋＝－＋
＝－a－b＝－(a＋b)．
18．已知 ABCD的边BC、CD的中点分别是M、N，设＝a，＝b，试用a、b表示、.
[分析] ∵M、N分别为 ABCD的边BC、CD的中点，故以、作为基向量较易表示出、，然后，解方程组即可求出、.
[解析] 在 ABCD中，M、N分别是边BC、CD的中点，
∴＝，＝.
∴＝＋＝＋，
＝＋，∴
解得＝a－b，＝b－a.2.3 第1课时
一、选择题
1．(08·广东理)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
[答案] B
[解析] 由E是线段OD的中点，∴＝3，
由平行四边形ABCD，
∴＝，∴|DF|＝|AB|
∴＝＋＝＋＝a＋(－)
＝a＋(b－a)＝a＋b.
故选B.
2．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD是( )
A．梯形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
[答案] A
[解析] ∵＝＋＋＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，
∴∥且||＝2||，
故四边形是梯形．
3．(08·湖南)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与( )
A．反向平行 B．同向平行
C．互相垂直 D．既不平行也不垂直
[答案] A
[解析] ＋＋＝＋＋＋＋－＝＋＋－－－＝(－)＋＝＋＝－，故选A.
4．在 ABCD中，＝a，＝b，＝4，P为AD的中点，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C．－a－b D．－a－b
[答案] C
[解析] 如图，＝－＝－
＝－(＋)＝b－(a＋b)
＝－a－b.
5．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且|＋|＝|－|，其中O为坐标原点，则实数a的值为( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D.或－
[答案] C
[解析] 以OA、OB为边作平行四边形OACB，则由|＋|＝|－|得，平行四边形OACB为矩形，⊥.由图形易知直线y＝－x＋a在y轴上的截距为±2，所以选C.
6．已知△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s的值是( )
A. B.
C．－3 D．0
[答案] D
[解析] ∵＝－，＝－.
∴＝－－＝－－.
∴＝－，
∴＝－.
又＝r＋s，∴r＝，s＝－，
∴r＋s＝0.
7．(09·全国Ⅰ文)设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝( )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
[答案] B
[解析] ∵|a|＝|b|＝|c|≠0，且a＋b＝c
∴如图所示就是符合题设条件的向量，易知OACB是菱形，△OBC和△OAC都是等边三角形．
∴〈a，b〉＝120°.
8．设a、b是不共线的两个非零向量，已知＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b.若A、B、D三点共线，则p的值为( )
A．1 B．2
C．－2 D．－1
[答案] D
[解析] ＝＋＝2a－b，＝2a＋pb，由A、B、D三点共线知，存在实数λ，使2a＋pb＝2λa－λb，
∵a、b不共线，∴，∴p＝－1.
9．(2010·全国卷Ⅱ文，10)△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若C＝a，C＝b，|a|＝1，|b|＝2，则C＝( )
A. a＋ b B. a＋b
C. a＋b D. a＋ b
[答案] B
[解析] 如图所示，由题设条件知∠1＝∠2，
∴＝＝，
∴＝＝(－)＝b－a，
∴＝＋＝a＋＝a＋b.
10．(2010·合肥市)如图，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于F，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 设＝λ，∵E、D分别为AC、AB的中点，∴＝＋＝－a＋b，
＝＋＝(b－a)＋λ(a－b)
＝a＋(1－λ)b，
∵与共线，∴＝，∴λ＝，
∴＝＋＝b＋＝b＋
＝a＋b，故x＝，y＝.
二、填空题
11．已知e1、e2是两个不共线的向量，而a＝k2e1＋(1－k)e2与b＝2e1＋3e2是两个共线向量，则实数k＝________.
[答案] －2或
[解析] 由题设知＝，∴3k2＋5k－2＝0.
解得k＝－2或.
12．如图所示，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为______．
[答案] 6
[解析] 以OC为对角线，OA、OB方向为边作平行四边形ODCE，由已知∠COD＝30°，∠COE＝∠OCD＝90°.
在Rt△OCD中，∵||＝2
∴||＝＝4，在Rt△OCE中，
||＝||·tan30°＝2，
∴＝4，＝2，
又＝＋＝4＋2，
故λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.
13．如图，E是平行四边形ABCD的边AD上一点，且＝，F为BE与AC的交点．设＝a，＝b，若＝k，＝h，则k＝________，h＝________.
[答案]
[解析] ∵＝＋＝a＋b，∴＝h＝ha＋hb，＝＋＝－a＋ha＋hb＝(h－1)a＋hb，
又＝k＝k(＋)＝k(－a＋b)
＝－ka＋b，
显然a与b不共线，
∴，解得.
三、解答题
14．如图，已知△ABC中，M、N、P顺次是AB的四等分点，＝e1，＝e2，试用e1，e2表示、、.
[解析] ＝e1＋e2；
＝e1＋e2；
＝e1＋e2.
15．在 ABCD中，设边AB、BC、CD的中点分别为E、F、G，设DF与AG、EG的交点分别为H、K，设＝a，＝b，试用a、b表示、.
[解析] 如图所示，＝－＝－b＋a，因为K为DF的中点，所以＝(＋)
＝＝－b.
＝－＝－b＋a.
因为A、H、G三点共线，
所以存在实数m，使＝m＝m；
又D、H、F三点共线，所以存在实数n，使＝n＝n
因为＋＝，所以b＋na＝mb＋a
因为a、b不共线，所以，解得m＝，
即＝＝(a＋2b)．
16．如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝OB，DC与OA交于点E，设＝a，＝b，用a，b表示向量，.
[分析] 将待求向量用已知向量、或与已知向量共线的向量、或能用已知向量表示的向量线性表示，逐步化去过渡的中间向量．
如待求，已知、，即知，因为可用线性表示，故可用和来表示.
[解析] 因为A是BC的中点，
所以＝(＋)，即＝2－＝2a－b.
＝－＝－
＝2a－b－b＝2a－b.
17．已知＝a，＝b，且|a|＝|b|＝4，∠AOB＝60°.
(1)求|a＋b|，|a－b|.
(2)求a＋b与a的夹角及a－b与a的夹角．
[解析] 如图，以、为邻边作平行四边形OACB，
∵||＝||＝4，∠AOB＝60°，
∴四边形OACB为菱形．
(1)a＋b＝＋＝，a－b＝－＝，
∴|a＋b|＝||＝2||＝2××4＝4，
|a－b|＝||＝4.
(2)在△OAC中，∠OAC＝120°，
∴∠COA＝∠OCA＝30°，
a＋b与a所成的角，即∠COA＝30°，a－b与a所成的角，即与所成的角，等于∠CBA＝60°.
18．在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M，设＝a，＝b，以a、b为基底表示.
[分析] 显然a、b不共线，故可设＝ma＋nb，由A、M、D三点共线及B、M、C三点共线利用向量共线条件求解．
[解析] 设＝ma＋nb (m，n∈R)，
则＝－＝(m－1)a＋nb，
＝－＝b－a
因为A、M、D三点共线，所以＝，即m＋2n＝1
又＝－＝a＋nb，
＝－＝－a＋b，
因为C、M、B三点共线，所以＝，
即4m＋n＝1，
由，解得，
所以＝a＋b.2.3 第3课时
一、选择题
1．(2010·烟台市诊断)已知向量a＝(4,2)，b＝(x,3)，且a∥b，则x的值是( )
A．6 B．－6
C．9 D．12
[答案] A
[解析] ∵a∥b，∴＝，∴x＝6.
2．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于( )
A. B.
C．－ D．－
[答案] A
[解析] ∵＝2，∴＝，
∴＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋＝＋λ，
∴λ＝，故选A.
3．已知点A、B的坐标分别为(2，－2)、(4,3)，向量p的坐标为(2k－1,7)，且p∥，则k的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
[答案] D
[解析] 由A(2，－2)，B(4,3)得，＝(2,5)，
而p＝(2k－1,7)，由平行的条件x1y2－x2y1＝0得，
2×7－(2k－1)×5＝0，∴k＝，选D.
4．(2010·湖南长沙)已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．垂心
C．内心 D．重心
[答案] D
[解析] 设＋＝，则可知四边形BACD是平行四边形，而＝λ表明A、P、D三点共线．又D在BC的中线所在直线上，于是点P的轨迹一定通过△ABC的重心．
5．已知a＝(2,1)，b＝(x，－2)且a＋b与2a－b平行，则x等于( )
A．－6 B．6
C．－4 D．4
[答案] C
[解析] ∵(a＋b)∥(2a－b)．
又a＋b＝(2＋x，－1),2a－b＝(4－x,4)，
∴(2＋x)×4－(－1)×(4－x)＝0，
解得x＝－4.
6．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λ的值等于( )
A．－6 B．6
C．2 D．－2
[答案] B
[解析] a＋2b＝(5,5),3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)，
由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0，
∴λ＝6.
7．(09·北京文)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
[答案] D
[解析] c＝(k,0)＋(0,1)＝(k,1)，
d＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，
c∥d k×(－1)－1×1＝0，∴k＝－1.
∴c＝(－1,1)与d反向，∴选D.
8．(09·广东文)已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b( )
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
[答案] C
[解析] a＋b＝(0,1＋x2)，由1＋x2≠0及向量的性质可知，C正确．
二、填空题
9．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________．
[答案] 或
[解析] 由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．
设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b.
由 .
又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
所以B或.
10．若三点A(－2，－2)，B(0，m)，C(n,0)(mn≠0)共线，则＋的值为________．
[答案] －
[解析] ∵A、B、C共线，∴∥，
∵＝(2，m＋2)，＝(n＋2,2)，
∴4－(m＋2)(n＋2)＝0，
∴mn＋2m＋2n＝0，
∵mn≠0，∴＋＝－.
11．在平面直角坐标系中，O为原点，已知两点A(1，－2)，B(－1,4)，若点C满足＝α＋β，其中0≤α≤1且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为________．
[答案] 3x＋y－1＝0(－1≤x≤1)
[解析] ∵α＋β＝1，∴β＝1－α，
又∵＝α＋β＝α＋(1－α)，
∴－＝α(－)，∴∥，
又与有公共点B，∴A、B、C三点共线，
∵0≤α≤1，∴C点在线段AB上运动，
∴C点的轨迹方程为3x＋y－1＝0(－1≤x≤1)．
12．已知向量＝(k,6)，＝(4,5)，＝(1－k，10)，且A、B、C三点共线，则k＝______.
[答案]
[解析] 解法一：∵A、B、C三点共线，
∴＝，解得k＝.
解法二：＝(4－k，－1)，＝(－3－k,5)，
∵A、B、C三点共线，∴∥，
∴5(4－k)－(－1)·(－3－k)＝0，∴k＝.
三、解答题
13．a≠0，b≠0，a与b不平行．求证：a＋b与a－b不平行．
[证明] ∵a≠0，b≠0，∴a＋b与a－b不可能同时为0，不妨设a－b≠0.
假设a＋b与a－b平行，则存在实数λ，使a＋b＝λ(a－b)，∴(1－λ)a＝(－1－λ)b，
∵a与b不平行，
∴矛盾无解，
∴a＋b与a－b不平行．
[点评] 本题体现了“正难则反”的策略，也可引入坐标，通过坐标运算求解．
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)．假设(a＋b)∥(a－b)，则有(x1＋x2)(y1－y2)－(y1＋y2)(x1－x2)＝0，
即x1y1＋x2y1－x1y2－x2y2－x1y1－x1y2＋x2y1＋x2y2＝0，
整理得2(x2y1－x1y2)＝0，∴x2y1－x1y2＝0.
∵a≠0，b≠0，∴a∥b.这与已知矛盾，故假设不成立．即a＋b与a－b不平行．
14．已知四点A(x,0)、B(2x,1)、C(2，x)、D(6,2x)．
(1)求实数x，使两向量、共线．
(2)当两向量与共线时，A、B、C、D四点是否在同一条直线上？
[解析] (1)＝(x,1)，＝(4，x)．
∵∥，
∴x2－4＝0，即x＝±2.
∴当x＝±2时，∥.
(2)当x＝－2时，＝(6，－3)，＝(－2,1)，
∴∥.此时A、B、C三点共线，
从而，当x＝－2时，A、B、C、D四点在同一条直线上．
但x＝2时，A、B、C、D四点不共线．
15．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，回答下列问题：
(1)求3a＋b－2c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.
[解析] (1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(0,6)．
(2)∵a＝mb＋nc，
∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．
∴解之得
(3)∵(a＋kc)∥(2b－a)，
又a＋kc＝(3＋4k,2＋k),2b－a＝(－5,2)．
∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，∴k＝－.
16．已知O(0,0)、A(2，－1)、B(1,3)、＝＋t，求
(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第四象限？
(2)四点O、A、B、P能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由．
[解析] (1)＝＋t＝(t＋2,3t－1)．
若点P在x轴上，则3t－1＝0，∴t＝；
若点P在y轴上，则t＋2＝0，∴t＝－2；
若点P在第四象限，则，∴－2(2)＝(2，－1)，＝(－t－1，－3t＋4)，＝(t＋2,3t－1)，＝(－1,4)．
①由四边形OABP为平行四边形知，＝.
∴无解．
②由四边形OAPB为平行四边形知，＝，∴t＝1.
③由四边形OPAB为平行四边形知，＝，此时无解．
综上知，四点O、A、B、P可以成为平行四边形的四个顶点．且当t＝1时，四边形OAPB为平行四边形．
17．已知A(1,3)、B(－2，0)、C(2,1)为三角形的三个顶点，L、M、N分别是线段BC、CA、AB上的点，满足||?||＝||?||＝||?||＝1?3，求L、M、N三点的坐标．
[解析] ∵A(1,3)，B(－2,0)，C(2,1)，
∴＝(1,3)，＝(－2,0)，＝(2,1)．
又∵||?||＝||?||＝||?||＝1?3，
∴＝＝，
∴＝＋＝(－2,0)＋
＝；
同理可得＝，＝(0,2)，
∴L、M、N(0,2)为所求．2.2 第1课时
一、选择题
1．在四边形ABCD中，＝＋，则四边形ABCD一定是( )
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．平行四边形
[答案] D
[解析] 在四边形ABCD中，＝＋，
又＝＋，∴＝，
∴四边形ABCD是平行四边形．
2．向量(＋)＋(＋)＋等于( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 原式＝＋＋＋＋
＝＋0＝.
3．若a，b为非零向量，则下列说法中不正确的是( )
A．若向量a与b方向相反，且|a|>|b|，则向量a＋b与a的方向相同
B．若向量a与b方向相反，且|a|<|b|，则向量a＋b与a的方向相同
C．若向量a与b方向相同，则向量a＋b与a的方向相同
D．若向量a与b方向相同，则向量a＋b与b的方向相同
[答案] B
[解析] ∵a与b方向相反，|a|>|b|，∴a＋b与a的方向相反，故B不正确．
4．已知||＝8，||＝5，则||的取值范围是( )
A．[5,13] B．[3,13]
C．[8,13] D．[5,8]
[答案] B
[解析] 当与异向时，||可取最大值13；当与同向时，||可取最小值3.所以||的取值范围是[3,13]．
[点评] 先作出，由于的方向未定，以A为圆心||为半径作圆，则此圆上任一点均可为C点，
∴3≤||≤13.
5．已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，而b是一非零向量，则下列结论正确的有( )
①a∥b ②a＋b＝a
③a＋b＝b ④|a＋b|<|a|＋|b|
A．①③ B．②③
C．②④ D．①②
[答案] A
[解析] 在平行四边形ABCD中，＋＝0，＋＝0，所以a为零向量，零向量和任何向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③正确．
6．a、b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是( )
A．a与b方向相同
B．a∥b
C．a＝－b
D．a与b的关系不确定
[答案] A
[解析] 当两个非零向量a与b不共线时，a＋b的方向与a、b的方向都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|；向量a与b同向时，a＋b的方向与a、b的方向都相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|；向量a与b反向且|a|<|b|时，a＋b的方向与b的方向相同(与a方向相反)，且|a＋b|＝|b|－|a|.
7．在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点．下列结论正确的是( )
A.＝，＝
B.＋＝
C.＋＝＋
D.＋＋＝
[答案] C
[解析] 因为＋＝，＋＝，所以＋＝＋.
8．在△ABC中，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，则＋等于( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] ∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，
∴DE∥AF且DE＝AF，
∴＝，
∴＋＝＋＝.
9．向量(＋)＋(＋)＋化简后为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
10．(09·山东文)设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则( )
A.＋＝0 B.＋＝0
C.＋＝0 D.＋＋＝0
[答案] C
[解析] ∵＋＝2，
∴由平行四边形法则，点P为线段AC的中点，
∴＋＝0.故选C.
二、填空题
11．已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝90°，则|a＋b|＝________.
[答案] 3
[解析] ∵||＝||且∠AOB＝90°，∴|a＋b|为以、为两邻边的矩形的对角线的长，
∴|a＋b|＝3.
12．设P为 ABCD所在平面内一点，则①＋＝＋；②＋＝＋；③＋＝＋中成立的序号为________．
[答案] ②
[解析] 以PA、PC为邻边作平行四边形PAEC，则PE与AC交于AC中点O，同样以PB、PD为邻边作平行四边形PBFD，对角线BD与PF交于BD中点O′，则O与O′重合，∴＋＝＋.
13．若||＝10，||＝8，则||的取值范围是______．
[答案] [2,18]
[解析] 如图．
固定，以A为起点作，则的终点C在以A为圆心，||为半径的圆上，由图可见，当C在C1处时，||取最小值2，当C在C2处时，||取最大值18.
三、解答题
14．设a表示“向西走2km”，b表示“向北走2km”，则a＋b表示向哪个方向行走了多少？
[解析] 如图，作＝a＝“向西走2km”，＝b＝“向北走2km”，则＝＋＝a＋b.
∵△OAB为Rt△，∴||＝＝2km，
又∠AOB＝45°，所以a＋b表示向西北方向走了2km.
15．已知两个力F1、F2的方向互相垂直，且它们的合力F大小为10N，与力F1的夹角是60°，求力F1、F2的大小．
[解析] 设表示力F1，表示力F2，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则表示合力F，由题意易得||＝||cos60°＝5，||＝||sin60°＝5，
因此，力F1，F2的大小分别为5N和5N.
16．在水流速度大小为10km/h的河中，如果要使船实际以10km/h大小的速度与河岸成直角横渡，求船行驶速度的大小与方向．
[解析] 如右图所示，OA表示水流方向，表示垂直于对岸横渡的方向，表示船行速度的方向，由＝＋易知||＝||＝10，又∠OBC＝90°，∴||＝20，∴∠BOC＝30°，∴∠AOC＝120°，即船行驶速度为20km/h，方向与水流方向成120°角．
17．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O且||＝||＝1，＋＝＋＝0，
cos∠DAB＝.
求|＋|与|＋|.
[解析] ∵＋＝＋＝0，∴＝，＝.
∴四边形ABCD为平行四边形．
又||＝||＝1，知四边形ABCD为菱形．
∵cos∠DAB＝，∠DAB∈(0，π)，
∴∠DAB＝，∴△ABD为正三角形．
∴|＋|＝|＋|＝||＝2||＝.
|＋|＝||＝||＝1.
18．若E，F，M，N分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：＝.
[解析] 如图所示，连结AC，在△DAC中，
∵N，M分别是AD，CD的中点，
∴∥，且||＝||，且与的方向相同．同理可得||＝||且与的方向相同，故有||＝||，且与的方向相同，∴＝.2章章末归纳总结
一、选择题
1．下列命题中，真命题的个数为(其中a≠0，b≠0)( )
①|a|＋|b|＝|a＋b| a与b方向相同
②|a|＋|b|＝|a－b| a与b方向相反
③|a＋b|＝|a－b| a与b有相等的模
④|a|－|b|＝|a－b| a与b方向相同
A．0
B．1
C．2
D．3
[答案] C
[解析] 对于③当a与b互相垂直时，构成矩形时才有|a＋b|＝|a－b|因此③错，对于④当a与b方向相同且|b|≤|a|时才有|a|－|b|＝|a－b|因此④错，①②正确，故选C.
2．(2010·广东文，5)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝( )
A．6
B．5
C．4
D．3
[答案] C
[解析] (8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30.
∴x＝4.故选C.
3．已知两个力F1、F2的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与F1的夹角为60°，则F1的大小为( )
A．5N B．5N C．10N D．5N
[答案] B
[解析] |F1|＝|F|·cos60°＝5.
4．直角坐标系xOy中，i、j分别是与x、y轴正方向同向的单位向量．若直角三角形ABC中，＝2i＋j，＝3i＋kj，则k的可能值个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
[答案] B
[解析] 不妨取A(0,0)，则B(2,1)，C(3，k)，＝(1，k－1)．
当AB⊥BC时，·＝2＋k－1＝0，∴k＝－1.
当AB⊥AC时，·＝6＋k＝0，∴k＝－6.
当AC⊥BC时，·＝3＋k2－k＝0，无解．
所以满足要求的k的可能值有2个．
5．已知|a|＝3|b|≠0，且关于x的方程2x2＋2|a|x＋3a·b＝0有实根，则a与b夹角的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
[答案] B
[解析] ∵关于x的方程2x2＋2|a|x＋3a·b＝0有实根，∴Δ＝4|a|2－24a·b≥0，
即|a|2≥6a·b.
∴|a|2≥6|a|·|b|cos〈a，b〉，
又∵|a|＝3|b|≠0.
∴cos〈a，b〉≤，
∵0≤〈a，b〉≤π，∴≤〈a，b〉≤π.
6．(2010·胶州三中)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与b垂直，则λ等于( )
A．－1
B．1
C．－2
D．2
[答案] C
[解析] λa＋b＝(λ＋4，－3λ－2)，∵λa＋b与b垂直，∴(λ＋4，－3λ－2)·(4，－2)＝4(λ＋4)－2(－3λ－2)＝10λ＋20＝0，∴λ＝－2.
7．(2010·新乡市模考)设平面内有四边形ABCD和点O，若＝a，＝b，＝c，＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为( )
A．菱形
B．梯形
C．矩形
D．平行四边形
[答案] D
[解析] 解法一：设AC的中点为G，则＋＝b＋d＝a＋c＝＋＝2，∴G为BD的中点，∴四边形ABCD的两对角线互相平分，∴四边形ABCD为平行四边形．
解法二：＝－＝b－a，＝－＝d－c＝－(b－a)＝－，∴AB綊CD，∴四边形ABCD为平行四边形．
8．已知O为原点，点A、B的坐标分别为A(a,0)、B(0，a)，其中常数a>0，点P在线段AB上，且有＝t(0≤t≤1)，则·的最大值为( )
A．a
B．2a
C．3a
D．a2
[答案] D
[解析] ∵＝t，
∴＝＋＝＋t(－)
＝(1－t)＋t＝(a－at，at)
∴·＝a2(1－t)，
∵0≤t≤1，∴·≤a2.
二、填空题
9．已知＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．
[答案] m∈R且m≠
[解析] 若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线．
∵＝(3,1)，＝(2－m,1－m)，
∴3(1－m)≠2－m，∴m≠.
即实数m≠，满足条件．
10．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，则a与b的夹角θ＝________.
[答案] 120°
[解析] a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)
＝－6|e1|2＋e1·e2＋2|e2|2＝－，
|a|＝＝，
|b|＝＝，
cosθ＝＝－，∴θ＝120°.
11．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则b在a方向上的投影为________．
[答案]
[解析] b在a方向上的投影为＝＝.
三、解答题
12．如右图所示，在△AOB中，若A，B两点坐标分别为(2,0)，(－3,4)，点C在AB上，且平分∠BOA，求点C的坐标．
[解析] 设点C坐标为(x，y)，
由于cos∠AOC＝cos∠BOC，且
cos∠AOC＝，cos∠BOC＝，
∴＝，
∴＝，
∴y＝2x.①
又∵与共线，＝(x＋3，y－4)，＝(x－2，y)，∴(x＋3)·y－(x－2)·(y－4)＝0，
∴4x＋5y－8＝0.②
由①，②联立解之得
∴C点的坐标为.
13．在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，求证：AF⊥DE.
[证明] 设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，
由条件知，＝a，＝b，
∴＝－＝a－b，
＝＋＝＋＝a＋b，
∴·＝·
＝a2＋a·b－b·a－b2＝0.
即⊥，∴DE⊥AF.
14．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，求a与b的夹角θ.
[解析] ∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4a2－4a·b－3b2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6.
∴cosθ＝＝－.∴θ＝120°.
