【课后练习】
一．选择题（共5小题）
1．若2﹣是方程x2﹣4x+c=0的一个根，则c的值是（ ）
A．1
B．
C．
D．
【分析】把2﹣代入方程x2﹣4x+c=0就得到关于c的方程，就可以解得c的值．
【解答】解：把2﹣代入方程x2﹣4x+c=0，得（2﹣）2﹣4（2﹣）+c=0，
解得c=1；
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
2．下列说法不正确的是（ ）
A．方程x2=x有一根为0
B．方程x2﹣1=0的两根互为相反数
C．方程（x﹣1）2﹣1=0的两根互为相反数
D．方程x2﹣x+2=0无实数根
【分析】A、把方程右边的项移动方程左边后，利用因式分解的方法即可求出方程的解；
B、把方程左边的﹣1移项到方程右边，然后利用直接开平方的方法即可求出方程的解；
C、把方程左边的﹣1移项到方程右边后，利用直接开平方的方法即可求出方程的解；
D、根据方程找出a，b和c的值，然后求出△=b2﹣4ac，根据△的符号即可判断出方程解的情况．
【解答】解：A、x2=x，移项得：x2﹣x=0，因式分解得：x（x﹣1）=0，
解得x=0或x=1，所以有一根为0，此选项正确；
B、x2﹣1=0，移项得：x2=1，直接开方得：x=1或x=﹣1，所以此方程的两根互为相反数，此选项正确；
C、（x﹣1）2﹣1=0，移项得：（x﹣1）2=1，直接开方得：x﹣1=1或x﹣1=﹣1，解得x=2或x=0，两根不互为相反数，此选项错误；
D、x2﹣x+2=0，找出a=1，b=﹣1，c=2，则△=1﹣8=﹣7＜0，所以此方程无实数根，此选项正确．
所以说法错误的选项是C．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的解法，考查了利用根的判别式不解方程判断方程解的情况，是一道基础题．
3．关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．﹣1
B．1
C．1或﹣1
D．3
【分析】根据关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，将x=0代入方程即可求得a的值，本题得以解决．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，
∴02+a2﹣1=0，
解得，a=±1，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程的解得意义．
4．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1
B．﹣1
C．1或﹣1
D．
【分析】根据方程的解的定义，把x=0代入方程，即可得到关于a的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．
【解答】解：根据题意得：a2﹣1=0且a﹣1≠0，
解得：a=﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．
5．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1=0有一根为0，则k=（ ）
A．1
B．﹣1
C．±1
D．0
【分析】一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x=0代入原方程即可求得k的值．
【解答】解：把x=0代入一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1=0，
得k2﹣1=0，
解得k=﹣1或1；
又k﹣1≠0，
即k≠1；
所以k=﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，此题应特别注意一元二次方程的二次项系数不得为零．
二．填空题（共5小题）
6．已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m= 2 ．
【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，
∴m2﹣2m=0且m≠0，
解得，m=2．
故答案是：2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项系数a≠0这一条件．
7．若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为 2018 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1=0，
∴2m2﹣3m=1
∴原式=3（2m2﹣3m）+2015=2018
故答案为：2018
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．
8．若关于x的方程x2+mx+2=0的一个根是1，则m的值为 ﹣3 ．
【分析】令x=1代入原方程即可求出m的值．
【解答】解：令x=1代入x2+mx+2=0
∴1+m+2=0
∴m=﹣3
故答案为：﹣3
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型．
9．一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值 ﹣1 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=2代入方程x2+px﹣2=0得到关于P的一元一次方程，然后解此方程即可．
【解答】解：把x=2代入方程x2+px﹣2=0得4+2p﹣2=0，解得p=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义：使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫一元二次方程的解．
10．设m是整数，且方程3x2+mx﹣2=0的两根都大于﹣而小于，则m= 4 ．
【分析】因为方程的两个根都大于﹣而小于，可以得到不等式组，解不等式组，得到m的取值范围，再根据m是整数确定m的值．
【解答】解：由题设可知，，
解得．
因为m是整数，所以m=4．
故答案为4．
【点评】本题考查一元二次方程的解，由题意得到的是不等式组，解不等式组，然后确定m的值．
三．解答题（共1小题）
11．已知x=1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2=0的根，求代数式2m（m﹣2）﹣（m+）（m﹣）的值．
【分析】先利用乘法公式展开、合并得到原式=m2﹣4m+3，再利用一元二次方程根的定义得到m2﹣4m=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：原式=2m2﹣4m﹣（m2﹣3）
=2m2﹣4m﹣m2+3
=m2﹣4m+3，
∵x=1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2=0的根，
∴1﹣4m+m2=0，即m2﹣4m=﹣1，
∴原式=﹣1+3=2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
课堂测试
一．选择题（共5小题）
1．若y=有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤且x≠0
B．x≠
C．x≤
D．x≠0
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：
解得：x≤且x≠0
故选：A．
【点评】本题考查二次根式及分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式及分式有意义的条件，本题属于基础题型．
2．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．64
【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积．
【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225，
∴即PQ2=225，
∵正方形PRGF的面积为289，
∴PR2=289，
又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：
PR2=PQ2+QR2，
∴QR2=PR2﹣PQ2=289﹣225=64，
则正方形QMNR的面积为64．
故选：D．
【点评】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键．
3．下列说法中，正确个数有（ ）
①对顶角相等；
②两直线平行，同旁内角相等；
③对角线互相垂直的四边形为菱形；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质，可得答案．
【解答】解：①对顶角相等，故①正确；
②两直线平行，同旁内角互补，故②错误；
③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，故③错误；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形，故④正确，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的判定、菱形的判定、平行线的性质、对顶角的性质，熟记对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质是解题关键．
4．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A=∠B
B．∠A=∠C
C．AC=BD
D．AB⊥BC
【分析】由矩形的判定方法即可得出答案．
【解答】解：A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；
B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；
C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；
D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．
5．若一次函数y=（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则（ ）
A．k＜2
B．k＞2
C．k＞0
D．k＜0
【分析】根据一次函数的性质，可得答案．
【解答】解：由题意，得
k﹣2＞0，
解得k＞2，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质，y=kx+b，当k＞0时，函数值y随x的增大而增大．
二．填空题（共1小题）
6．在函数y=中，自变量x的取值范围是 x≥0且x≠1 ．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x≥0且x﹣1≠0，
解得：x≥0且x≠1．
故答案为：x≥0且x≠1．
【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
三．解答题（共1小题）
7．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°．求证：矩形ABCD是正方形．
【分析】先判断出AE=AF，∠AEF=∠AFE=60°，进而求出∠AFD=∠AEB=75°，进而判断出△AEB≌△AFD，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=∠C=90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60°，
∵∠CEF=45°，
∴∠CFE=∠CEF=45°，
∴∠AFD=∠AEB=180°﹣45°﹣60°=75°，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AB=AD，
∴矩形ABCD是正方形．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，判断出∠AFD=∠AEB是解本题的关键．
【课后练习】
一．选择题（共5小题）
1．若2﹣是方程x2﹣4x+c=0的一个根，则c的值是（ ）
A．1
B．
C．
D．
2．下列说法不正确的是（ ）
A．方程x2=x有一根为0
B．方程x2﹣1=0的两根互为相反数
C．方程（x﹣1）2﹣1=0的两根互为相反数
D．方程x2﹣x+2=0无实数根
3．关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．﹣1
B．1
C．1或﹣1
D．3
4．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1
B．﹣1
C．1或﹣1
D．
5．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1=0有一根为0，则k=（ ）
A．1
B．﹣1
C．±1
D．0
二．填空题（共5小题）
6．已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m= ．
7．若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为
．
8．若关于x的方程x2+mx+2=0的一个根是1，则m的值为
．
9．一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值
．
10．设m是整数，且方程3x2+mx﹣2=0的两根都大于﹣而小于，则m=
．
三．解答题（共1小题）
11．已知x=1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2=0的根，求代数式2m（m﹣2）﹣（m+）（m﹣）的值．
课堂测试
一．选择题（共5小题）
1．若y=有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤且x≠0
B．x≠
C．x≤
D．x≠0
2．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．64
3．下列说法中，正确个数有（ ）
①对顶角相等；
②两直线平行，同旁内角相等；
③对角线互相垂直的四边形为菱形；
④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A=∠B
B．∠A=∠C
C．AC=BD
D．AB⊥BC
5．若一次函数y=（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则（ ）
A．k＜2
B．k＞2
C．k＞0
D．k＜0
二．填空题（共1小题）
6．在函数y=中，自变量x的取值范围是
．
三．解答题（共1小题）
7．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°．求证：矩形ABCD是正方形．
