21.2
解一元二次方程
一、教学目标
（1）掌握一元二次方程的基本解法——直接开平方法．
（2）掌握配方法的概念，并能熟练运用配方法与公式法解一元二次方程
（3）掌握一元二次方程根的判别式的有关概念，并能灵活地应用有关概念解决实际问题．
（4）掌握一元二次方程的重要解法——因式分解法
教学重难点
教学重点：配方法、公式法；
教学难点：注意各种解法容易出错的地方，灵活选用适当的方法解答；
知识点一：用直接开平方法解一元二次方程
形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=
如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=
注意：
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
例题：一元二次方程（x+2017）2=1的解为（ ）
A．﹣2016，﹣2018
B．﹣2016
C．﹣2018
D．﹣2017
变式1：方程4x2﹣1=0的根是（ ）
A．
B．
C．2
D．±2
变式2：一元二次方程x2﹣a=0的一个根是2，则a的值是 4 ．
知识点二：用配方法解一元二次方程
将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
例题：一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（ ）
A．（y+）2=1
B．（y﹣）2=1
C．（y+）2=
D．（y﹣）2=
变式1：用配方法解方程x2﹣x﹣1=0时，应将其变形为（ ）
A．（x﹣）2=
B．（x+）2=
C．（x﹣）2=0
D．（x﹣）2=
变式2：把方程x2﹣3=2x用配方法化为（x+m）2=n的形式，则m=
，n=
．
知识点三：用求根公式法解一元二次方程
把x=-b±b2-4ac2a（b2-4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2-4ac的值（若b2-4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2-4ac≥0．
例题：利用求根公式求5x2+=6x的根时，其中a=5，则b、c的值分别是（ ）
A．
B．6，
C．﹣6，
D．﹣6，﹣
变式1：一元二次方程2x2﹣2x﹣1=0的较大实数根在下列哪两个相邻的整数之间（ ）
A．4，3
B．3，2
C．2，1
D．1，0
变式2：x2﹣2x﹣15=0．（公式法）
知识点四：用因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；
②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
例题：关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（ ）
A．x1=﹣1，x2=3
B．x1=1，x2=﹣3
C．x1=1，x2=3
D．x1=﹣1，x2=﹣3
变式1：一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12
B．9
C．13
D．12或9
变式2：三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形的周长是
．
知识点五：选择适当的方法解一元二次方程
例题：解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．
变式1：解方程：3x2﹣2x﹣2=0．
变式2：解方程：x2﹣5x+3=0．
知识点六：一元二次方程根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
例题：关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（ ）
A．有两不相等实数根
B．有两相等实数根
C．无实数根
D．不能确定
变式1：若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥1
B．m≤1
C．m＞1
D．m＜1
变式2：关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是
．
知识点七：一元二次方程根与系数关系
若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0
（a≠0）的两根时，
常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．
②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．
③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．
④判断两根的符号．
⑤求作新方程．
⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
例题：若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，则+的值是（ ）
A．
B．﹣
C．﹣
D．
变式1：若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（ ）
A．1
B．﹣3
C．3
D．4
变式2：已知一元二次方程2x2+2x﹣1=0的两个根为x1，x2，且x1＜x2，下列结论正确的是（ ）
A．x1+x2=1
B．x1?x2=﹣1
C．|x1|＜|x2|
D．x12+x1=
拓展点一：用多种方法解一元二次方程
例题：解方程：2x2﹣3x﹣1=0．
变式1：解方程：x2﹣6x+5=0．
变式2：解下列方程：
（1）x2+10x+25=0
（2）x2﹣x﹣1=0．
拓展点二：配方法的应用
用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
例题：一同学将方程x2﹣4x﹣3=0化成了（x+m）2=n的形式，则m、n的值应为（ ）
A．m=﹣2，n=7
B．m=2．n=7
C．m=﹣2，n=1
D．m=2．n=﹣7
变式1：对于任意的实数x，代数式x2﹣5x+10的值是一个（ ）
A．正数
B．负数
C．非负数
D．不能确定
变式2：若代数式x2﹣6x+b可化为（x+a）2﹣5，则a+b的值为
．
拓展点三：一元二次方程根的判别式的应用
例题：若关于x的一元二次方程x2﹣（2a+1）x+a2=0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
变式1：关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
变式2：已知关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）当m为正整数时，求方程的根．
拓展点四：根与系数关系的应用
例题：已知：关于x的方程x2+kx﹣2=0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．
变式1：关于x的一元二次方程x2+x+a2﹣1=0的一个根为0，求出a的值和方程的另一个根．
【分析】将x=0代入原方程可求出a值，设方程的另一根为x1，利用两根之和等于﹣即可求出x1的值，此题得解．
变式2：已知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若+=﹣1，求k的值．
易错点一：形如ax2＋bx＋c=0的方程，若未指明a的取值范围，可能是一次方程，也可能是二次方程，需要分类讨论。
例题1：已知方程：（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0，求：
（1）当m为何值时原方程为一元二次方程．
（2）当m为何值时原方程为一元一次方程．
变式1：已知关于x的方程（m+2）x|m|+2x﹣1=0．
（1）当m为何值时是一元一次方程．
（2）当m为何值时是一元二次方程．
变式2：当m是何值时，关于x的方程（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4=3x2
（1）是一元二次方程；
（2）是一元一次方程；
（3）若x=﹣2是它的一个根，求m的值．21.2
解一元二次方程
一、教学目标
（1）掌握一元二次方程的基本解法——直接开平方法．
（2）掌握配方法的概念，并能熟练运用配方法与公式法解一元二次方程
（3）掌握一元二次方程根的判别式的有关概念，并能灵活地应用有关概念解决实际问题．
（4）掌握一元二次方程的重要解法——因式分解法
教学重难点
教学重点：配方法、公式法；
教学难点：注意各种解法容易出错的地方，灵活选用适当的方法解答；
知识点一：用直接开平方法解一元二次方程
形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=
如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=
注意：
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
例题：一元二次方程（x+2017）2=1的解为（ ）
A．﹣2016，﹣2018
B．﹣2016
C．﹣2018
D．﹣2017
【分析】利用直接开平方法解方程．
【解答】解：x+2017=±1，
所以x1=﹣2018，x2=﹣2016．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
变式1：方程4x2﹣1=0的根是（ ）
A．
B．
C．2
D．±2
【分析】先把方程变形为x2=，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：x2=，
x=．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
变式2：一元二次方程x2﹣a=0的一个根是2，则a的值是 4 ．
【分析】根据一元二次方程解的定义，把x=2代入方程x2﹣a=0得4﹣a=0，然后解一次方程即可．
【解答】解：把x=2代入方程x2﹣a=0得4﹣a=0，
解得a=4．
故答案为4．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．也考查了一元二次方程解的定义．
知识点二：用配方法解一元二次方程
将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
例题：一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（ ）
A．（y+）2=1
B．（y﹣）2=1
C．（y+）2=
D．（y﹣）2=
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：y2﹣y﹣=0
y2﹣y=
y2﹣y+=1
（y﹣）2=1
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．
变式1：用配方法解方程x2﹣x﹣1=0时，应将其变形为（ ）
A．（x﹣）2=
B．（x+）2=
C．（x﹣）2=0
D．（x﹣）2=
【分析】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
【解答】解：∵x2﹣x﹣1=0，
∴x2﹣x=1，
∴x2﹣x+=1+，
∴（x﹣）2=．
故选：D．
【点评】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
变式2：把方程x2﹣3=2x用配方法化为（x+m）2=n的形式，则m= ﹣1 ，n= 4 ．
【分析】先将常数项移到等号的右边、一次项移到等式左边得x2﹣2x=3，再配方得（x﹣1）2=4，故可以得出结果．
【解答】解：∵x2﹣3=2x，
∴x2﹣2x=3，
则x2﹣2x+1=3+1，即（x﹣1）2=4，
∴m=﹣1、n=4，
故答案为：﹣1、4．
【点评】本题考查了解一元二次方程，配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方；选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
知识点三：用求根公式法解一元二次方程
把x=-b±b2-4ac2a（b2-4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2-4ac的值（若b2-4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2-4ac≥0．
例题：利用求根公式求5x2+=6x的根时，其中a=5，则b、c的值分别是（ ）
A．
B．6，
C．﹣6，
D．﹣6，﹣
【分析】把方程化为一般式，使二次项系数为5，从而可得到b、c的值．
【解答】解：5x2﹣6x+=0，
所以a=5，b=﹣6，c=．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
变式1：一元二次方程2x2﹣2x﹣1=0的较大实数根在下列哪两个相邻的整数之间（ ）
A．4，3
B．3，2
C．2，1
D．1，0
【分析】先求出方程的解，再求出的范围，最后即可得出答案．
【解答】解：解方程2x2﹣2x﹣1=0得：x=1±，
设a是方程2x2﹣2x﹣1=0较大的根，
∴a=，
∵1＜＜2，
∴2＜1+＜3，即1＜a＜．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．
变式2：x2﹣2x﹣15=0．（公式法）
【分析】根据公式法的步骤即可解决问题．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣15=0．
∴a=1，b=﹣2，c=﹣15，
∴b2﹣4ac=4+60=64＞0，
∴x=，
∴x=5或﹣3．
【点评】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握公式法的解题步骤是解题的关键．
知识点四：用因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；
②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
例题：关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（ ）
A．x1=﹣1，x2=3
B．x1=1，x2=﹣3
C．x1=1，x2=3
D．x1=﹣1，x2=﹣3
【分析】利用因式分解法求出已知方程的解．
【解答】解：x2﹣4x+3=0，
分解因式得：（x﹣1）（x﹣3）=0，
解得：x1=1，x2=3，
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
变式1：一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12
B．9
C．13
D．12或9
【分析】求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可．
【解答】解：x2﹣7x+10=0，
（x﹣2）（x﹣5）=0，
x﹣2=0，x﹣5=0，
x1=2，x2=5，
①等腰三角形的三边是2，2，5
∵2+2＜5，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12；
即等腰三角形的周长是12．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形性质、解一元二次方程、三角形三边关系定理的应用等知识，关键是求出三角形的三边长．
变式2：三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形的周长是 13 ．
【分析】求出方程的解，有两种情况：x=2时，看看是否符合三角形三边关系定理；x=4时，看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．
【解答】解：x2﹣6x+8=0，
（x﹣2）（x﹣4）=0，
x﹣2=0，x﹣4=0，
x1=2，x2=4，
当x=2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x=2舍去，
当x=4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4=13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和解一元二次方程等知识点，关键是确定第三边的大小，三角形的两边之和大于第三边，分类讨论思想的运用，题型较好，难度适中．
知识点五：选择适当的方法解一元二次方程
例题：解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．
【分析】移项后提取公因式x﹣3后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可．
【解答】解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），
移项得：2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，
整理得：（x﹣3）（2﹣3x）=0，
x﹣3=0或2﹣3x=0，
解得：x1=3或x2=．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是先移项，然后提取公因式，避免两边同除以x﹣3，这样会漏根．
变式1：解方程：3x2﹣2x﹣2=0．
【分析】先找出a，b，c，再求出b2﹣4ac=28，根据公式即可求出答案．
【解答】解：=
即，
∴原方程的解为，
【点评】本题主要考查对解一元二次方程﹣提公因式法、公式法，因式分解等知识点的理解和掌握，能熟练地运用公式法解一元二次方程是解此题的关键．
变式2：解方程：x2﹣5x+3=0．
【分析】找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
【解答】解：这里a=1，b=﹣5，c=3，
∵△=25﹣12=13，
∴x=，
则x1=，x2=．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，利用此方法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，然后当根的判别式大于等于0时，代入求根公式即可求出解．
知识点六：一元二次方程根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
例题：关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（ ）
A．有两不相等实数根
B．有两相等实数根
C．无实数根
D．不能确定
【分析】先计算判别式得到△=（k+3）2﹣4×k=（k+1）2+8，再利用非负数的性质得到△＞0，然后可判断方程根的情况．
【解答】解：△=（k+3）2﹣4×k=k2+2k+9=（k+1）2+8，
∵（k+1）2≥0，
∴（k+1）2+8＞0，即△＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
变式1：若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥1
B．m≤1
C．m＞1
D．m＜1
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．
【解答】解：∵方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4m＞0，
解得：m＜1．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
变式2：关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是 m=4 ．
【分析】若一元二次方程有实根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，
∴△=4﹣8（m﹣5）≥0，且m﹣5≠0，
解得m≤5.5，且m≠5，
则m的最大整数解是m=4．
故答案为：m=4．
【点评】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
知识点七：一元二次方程根与系数关系
若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0
（a≠0）的两根时，
常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．
②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．
③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．
④判断两根的符号．
⑤求作新方程．
⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
例题：若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，则+的值是（ ）
A．
B．﹣
C．﹣
D．
【分析】根据根与系数的关系可得出α+β=﹣、αβ=﹣3，将其代入+=中即可求出结论．
【解答】解：∵α、β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，
∴α+β=﹣，αβ=﹣3，
∴+====﹣．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
变式1：若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（ ）
A．1
B．﹣3
C．3
D．4
【分析】设方程的另一个解为x1，根据两根之和等于﹣，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设方程的另一个解为x1，
根据题意得：﹣1+x1=2，
解得：x1=3．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
变式2：已知一元二次方程2x2+2x﹣1=0的两个根为x1，x2，且x1＜x2，下列结论正确的是（ ）
A．x1+x2=1
B．x1?x2=﹣1
C．|x1|＜|x2|
D．x12+x1=
【分析】直接利用根与系数的关系对A、B进行判断；由于x1+x2＜0，x1x2＜0，则利用有理数的性质得到x1、x2异号，且负数的绝对值大，则可对C进行判断；利用一元二次方程解的定义对D进行判断．
【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣=﹣1，x1x2=﹣，所以A、B选项错误；
∵x1+x2＜0，x1x2＜0，
∴x1、x2异号，且负数的绝对值大，所以C选项错误；
∵x1为一元二次方程2x2+2x﹣1=0的根，
∴2x12+2x1﹣1=0，
∴x12+x1=，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．
拓展点一：用多种方法解一元二次方程
例题：解方程：2x2﹣3x﹣1=0．
【分析】利用公式法解方程即可求解．
【解答】解：2x2﹣3x﹣1=0，
a=2，b=﹣3，c=﹣1，
∴△=9+8=17，
∴x=，
x1=，x2=．
【点评】此题这样考查了利用公式法解一元二次方程，解题的关键
是熟练掌握求根公式即可解决问题．
变式1：解方程：x2﹣6x+5=0．
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：分解因式得：（x﹣1）（x﹣5）=0，
x﹣1=0，x﹣5=0，
x1=1，x2=5．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
变式2：解下列方程：
（1）x2+10x+25=0
（2）x2﹣x﹣1=0．
【分析】（1）根据配方法，可得答案；
（2）根据配方法，可得答案．
【解答】解：（1）配方，得
（x+5）2=0，
开方，得
x+5=0，
解得x=﹣5，
x1=x2=﹣5；
（2）移项，得
x2﹣x=1，
配方，得
x2﹣x+=，
（x﹣）2=，
开方，得
x﹣=±，
x1=，x2=．
【点评】本题考查了解一元二次方程，配方是解题关键．
拓展点二：配方法的应用
用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
例题：一同学将方程x2﹣4x﹣3=0化成了（x+m）2=n的形式，则m、n的值应为（ ）
A．m=﹣2，n=7
B．m=2．n=7
C．m=﹣2，n=1
D．m=2．n=﹣7
【分析】先把（x+m）2=n展开，化为一元二次方程的一般形式，再分别使其与方程x2﹣4x﹣3=0的一次项系数、二次项系数及常数项分别相等即可．
【解答】解：∵（x+m）2=n可化为：x2+2mx+m2﹣n=0，
∴，解得：．
故选：A．
【点评】此题比较简单，解答此题的关键是将一元二次方程化为一般形式，再根据题意列出方程组即可．
变式1：对于任意的实数x，代数式x2﹣5x+10的值是一个（ ）
A．正数
B．负数
C．非负数
D．不能确定
【分析】原式配方后，利用非负数的性质判断即可．
【解答】解：原式=x2﹣5x++=（x﹣）2+≥＞0，
则代数式的值是一个正数，
故选：A．
【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
变式2：若代数式x2﹣6x+b可化为（x+a）2﹣5，则a+b的值为 1 ．
【分析】直接利用配方法将原式变形进而得出a，b的值，即可得出答案．
【解答】解：∵代数式x2﹣6x+b可化为（x+a）2﹣5，
∴x2﹣6x+b=（x﹣3）2﹣9+b=（x+a）2﹣5，
则a=﹣3，﹣9+b=﹣5，
解得：b=4，
故a+b=﹣3+4=1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了配方法的应用，正确将原式变形是解题关键．
拓展点三：一元二次方程根的判别式的应用
例题：若关于x的一元二次方程x2﹣（2a+1）x+a2=0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2a+1）x+a2=0有两个不相等的实数根，
∴△=[﹣（2a+1）]2﹣4a2=4a+1＞0，
解得：a＞﹣．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
变式1：关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k＞﹣3且k≠1．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
变式2：已知关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）当m为正整数时，求方程的根．
【分析】（1）根据根的判别式△=b2﹣4ac＞0列出关于m的不等式，根据这两个不等式解答m的取值范围；
（2）由（1）中m的取值范围求出整数m的值，然后将其代入关于x的方程（m2﹣m）x2﹣2mx+1=0，得到关于一元二次方程的解析式，然后把m代入该方程，求出方程的根．
【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2=0有两个不相等的实数根，
∴△=（﹣2m）2﹣4（m2+m﹣2）＞0．
解得m＜2；
（2）由（1）知，m＜2．
有m为正整数，
∴m=1，
将m=1代入原方程，得
x2﹣2x=0
x（x﹣2）=0，
解得x1=0，x2=2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解与根的判别式．解答此题的关键地方是根据（1）与（2）的m的取值范围来确定整数m的值．
拓展点四：根与系数关系的应用
例题：已知：关于x的方程x2+kx﹣2=0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=k2+8＞0，由此即可证出方程有两个不相等的实数根；
（2）代入x=﹣1即可求出k值，再根据根与系数的关系即可求出方程的另一个根．
【解答】（1）证明：∵△=k2﹣4×1×（﹣2）=k2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：将x=﹣1代入原方程，得：1﹣k﹣2=0，
∴k=﹣1．
设方程的另一个根为x1，
根据题意得：﹣1?x1=﹣2，
∴x1=2．
∴方程的另一个根为2，k值为﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=﹣1求出k值．
变式1：关于x的一元二次方程x2+x+a2﹣1=0的一个根为0，求出a的值和方程的另一个根．
【分析】将x=0代入原方程可求出a值，设方程的另一根为x1，利用两根之和等于﹣即可求出x1的值，此题得解．
【解答】解：当x=0时，原方程为a2﹣1=0，
解得：a=±1，
∴原方程为x2+x=0．
设方程的另一根为x1，
则x1+0=﹣1，
解得：x1=﹣1．
综上所述，a的值是±1，方程的另一个根是﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，将x=0代入原方程求出a值是解题的关键．
变式2：已知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若+=﹣1，求k的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=﹣2k﹣3、x1x2=k2，结合+=﹣1即可得出关于k的分式方程，解之经检验即可得出结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+3）2﹣4k2＞0，
解得：k＞﹣．
（2）∵x1、x2是方程x2+（2k+3）x+k2=0的实数根，
∴x1+x2=﹣2k﹣3，x1x2=k2，
∴+==﹣=﹣1，
解得：k1=3，k2=﹣1，
经检验，k1=3，k2=﹣1都是原分式方程的根．
又∵k＞﹣，
∴k=3．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合+=﹣1找出关于k的分式方程．
易错点一：形如ax2＋bx＋c=0的方程，若未指明a的取值范围，可能是一次方程，也可能是二次方程，需要分类讨论。
例题1：已知方程：（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0，求：
（1）当m为何值时原方程为一元二次方程．
（2）当m为何值时原方程为一元一次方程．
【分析】（1）根据是整式方程中含有一个未知数且未知数的最高次的次数是二次的方程，且一元二次方程的二次项的系数不能为零，可得答案；
（2）根据一元一次方程是整式方程中含有一个未知数且未知数的最高次的次数是一次的方程，可得二次项系数为零，一次项系数不能为零，可得答案．
【解答】解：（1）当m2﹣1≠0时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0是一元二次方程，
解得m≠±1，
当m≠±1时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0是一元二次方程；
（2）当m2﹣1=0，且m+1≠0时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0是一元一次方程，
解得m=±1，且m≠﹣1，
m=﹣1（不符合题意的要舍去），m=1．
答：当m=1时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0是一元一次方程．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
变式1：已知关于x的方程（m+2）x|m|+2x﹣1=0．
（1）当m为何值时是一元一次方程．
（2）当m为何值时是一元二次方程．
【分析】（1）根据一元一次方程的定义，可得答案．
（2）根据一元二次方程的定义求解，未知数的最高次数是2；二次项系数不为0，由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：（1）由题意，得
m=0时，2x+1=0是一元一次方程；
m+2=0时，（m+2）x|m|+2x﹣1=0．是一元一次方程，
m=±1时，（m+2）x|m|+2x﹣1=0．是一元一次方程；
（2）由题意，得
|m|=2，且m+2≠0，
解得m=2，
m=2时，（m+2）x|m|+2x﹣1=0是一元二次方程．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
变式2：当m是何值时，关于x的方程（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4=3x2
（1）是一元二次方程；
（2）是一元一次方程；
（3）若x=﹣2是它的一个根，求m的值．
【分析】（1）根据二次项系数不为0解答；
（2）根据二次项系数为0，一次项系数不为0解答；
（3）根据题意列出关于m的一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：原方程可化为（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣4=0，
（1）当m2﹣1≠0，即m≠±1时，是一元二次方程；
（2）当m2﹣1=0，且m﹣1≠0，即m=﹣1时，是一元一次方程；
（3）x=﹣2时，原方程化为：2m2﹣m﹣3=0，
解得，m1=，m2=﹣1．
【点评】本题考查的是一元一次方程的定义、一元二次方程的定义和一元二次方程的解法，掌握概念、正确解出一元二次方程是解题的关键．
