华师版八年级上学期第11章《数的开方》
复习课一
基础知识
学习目标：
1.进一步理解一个数的平方根、算术平方根及立方根的意义；
2.理解无理数和实数的意义；
3.熟练地求出一个正数的平方根、算术平方根和实数的立方根；
4.会对实数分类以及进行实数的近似计算.
重点：平方根、算术平方根、实数的概念及其计算.
难点：算术平方根、实数的综合运算和代数与几何的综合运用
一、知识归纳
1、平方根
（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a
，这个数就叫做a
的平方根。a的平方根记作:
或
。
求一个数a的平方根的运算叫做开平方.
（2）平方根的性质
①一个正数有
个平方根，它们互为相反数
②0有
个平方根，它是
。
③负数
平方根。
（3）平方和开平方互为逆运算；
2、算术平方根
（1）算术平方根的定义：
。
一个非负数a的平方根用符号表示为：“
”，读作：“
”，其中
叫做被开方数
（2）算术平方根的性质
①正数a的算术平方根是
；
②0的算术平方根是
；
③负数
算术平方根
（3）重要性质：
3、立方根
（1）立方根的定义
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的
（也叫
）。如果x3=a，则
叫做
的立方根。记作：
,读作“
”
。求一个数的立方根的运算叫做
。
（2）立方根的性质
①一个正数的立方根是
；
②一个负数的立方根是
；
③0的立方根是
。
（3）重要性质：
4、实数基础知识
（1）．无理数的定义:
叫做无理数
（2）．有理数与无理数的区别：
有理数总可以用
或
表示；反过来，任何
或
也都是有理数。而无理数是
小数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。
（3）.常见的无理数类型
一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨···
看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。
有特定意义的数，如：π=3.14159265···
开方开不尽的数。如
（4）
实数概念：________和________统称为实数。
（5）分类
_______
________
_______
________
有限小数或_________小数
_______
实数
________
_______
_________
________
无限不循环小数
_________
（6）、实数的有关性质
⑴若a与b互为相反数则a+b=
⑵若a与b互为倒数则ab=
⑶任何实数的绝对值都是非负数，即
⑷互为相反数的两个数的绝对值相等,
即=
⑸正数的倒数是
数;负数的倒数是
数;零
倒数.实数和数轴上的点的对应关系：
实数和数轴上的点是
关系
（6）正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的
。
一般情况下，非负数有三种形式，即≥0
；≥0；≥0
二、典型例题
例1、x为何值时，下列代数式有意义。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
例2.求下列各数的平方根和算术平方根：
（1）
（2）
（3）．
例3.计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）-+
（8）
（9）
例4、解方程：
（1）
（2）
（3）．
（4）(x+3)3=27
（5）
（6）64(x-1)3+125=0
例5、有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm？
例6、已知2a-1的算术平方根是3，3a+b-1的平方根是±4
，求a+2b的平方根。
（a≥0）华师版八年级上学期第11章《数的开方》
复习课二
能力提升
学习目标
1.进一步理解一个数的平方根、算术平方根及立方根的意义；
2.理解无理数和实数的意义；
3.熟练地求出一个正数的平方根、算术平方根和实数的立方根；
4.会对实数分类以及进行实数的近似计算.
重点：平方根、算术平方根、实数的概念及其计算.
难点：算术平方根、实数的综合运算和代数与几何的综合运用
一、选择题
1．下列说法中正确的是（ ）．
(A)
4是8的算术平方根
（B）16的平方根是4
(C)
是6的平方根
（D）-a没有平方根
2．下列各式中错误的是（ ）．
（A）
（B）
（C）
（D）
3．若
x2=（-0.7）2，则x
=（
）
(A)
－0.7
(B)
±0.7
(C)
0.7
(D)
0.49
4．
的平方根是（
）
（A）6
（B）±6
（C）
（D）
5.下列语句正确的是（
）
（A）如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是零；
（B）一个数的立方根不是正数就是负数；
（C）负数没有立方根；
（D）一个数的立方根与这个数同号，零的立方根是零。
6、下列说法中，正确的是：
（
）
（A）无限小数都是无理数
（B）带根号的数都是无理数
（C）循环小数是无理数
（D）无限不循环小数是无理数
7、
是无理数，则a是一个：
（
）
（A）非负实数
（B）
正实数
（C）非完全平方数
（D）
正有理数
8、下列说法中，错误的是：
（
）
（A）是无限不循环小数
（B）是无理数
（C）是实数
（D）等于1.414
9、与数轴上的点具有一一对应关系的是：（
）
（A）无理数
（B）实数
（C）整数
（D）有理数
10、下列说法中，不正确的是：
（
）
（A）绝对值最小的实数是0
（B）平方最小的实数是0
（C）算术平方根最小的实数是0
（D）立方根最小的实数是0
二、填空题
1.
和
统称为实数.
2.
绝对值是
,相反数是
,倒数是
.
3.
下列说法：（1）带根号的数是无理数；（2）无限小数都是无理数；（3）无理数都是无限小数；（4）在实数
4.
范围内，一个数不是有理数，则一定是无理数，不是正数，则一定是负数。其中错误的有
个。
三、非负数性质的应用
1、若x、y都是实数，且
，求x+3y的平方根
2、已知
3、已知，求3x+6y的立方根.
四、定义的应用
4、已知x-2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根
5、如果
是a+b+3的算术平方根，
是a+2b的立方根，求M－N的立方根。
五、数形结合的应用
6、
点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______
7、a、b在数轴上的位置如图所示，化简：．
8、已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简
六．实数绝对值的应用
9．化简下列各式：
(1)
(2)
(3)
(4)
(x≤3)
(5)
七、实数应用题
10．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。
八．引申提高
11．已知的整数部分为a，小数部分为b，求（a+b）（a-b）的值.
第十一章
数的开方
一、知识点回顾：
1．如果一个数的
等于，那么这个数就叫做的平方根（或二次方根）。正数有两个平方根，它们互为
数，用符号表示为
，其中
叫做的算术平方根，用符号记作
。0的平方根是
；
没有平方根，也没有算术平方根。平方根和算术平方根等于它本身的数是
。
2．如果一个数的
等于，那么这个数就叫做的立方根（或三次方根），用符号记作
，根指数为
。任何数都有
个立方根，且立方根的符号与它本身符号相同。
数有一个正的立方根，负数有一个
的立方根，
的立方根是0。立方根等于它本身的数是
。
3．求一个数的平方根或立方根的运算叫做
运算，其中求一个数的平方根的运算叫做
运算；求一个数的立方根的运算叫做
运算。
4．无限不循环小数叫做
；实数包括
数和
数。与数轴上的点一一对应的数是
。所有的
数都可以用分数表示。
5．常见无理数的表现形式有两种：一种是含型，另一种是带根号型。但带根号的数不一定是无理数，只有那些
的数才是无理数。
【附】比较实数大小的常用方法：（1）数轴法（数轴上的任意两个点，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大）；
（2）绝对值法（两个负数，绝对值大的反而小）；（3）估算法（将无理数转化为近似的有理数后，再进行比较）；
（4）平方法（对于两个正数＞，则＞）；
（5）作差法（若＞0，则＞）；（6）作商法（对于两个正数，若＞1，则＞）
二、易错点纠正：
1．无视根号的存在
例：的算术平方根是4
纠正：∵16的算术平方根是4,即=4
，而4的算术平方根是2
∴的算术平方根是2
2．错用运算律
例：
纠正：
根号具有双重功能，除了表示开方运算之外，它还具有括号的功能，应先算括号内的，再进行其他的运算。因此，正确的解法是
3．对无理数认识不足而造成误解
例1：带根号的数都是无理数
纠正：
虽然许多带根号的数是无理数，但并非所有带根号的数都是无理数。如，带有根号，但=3,而3是有理数。
例2:无理数都是带根号的数
纠正：许多无理数带有根号，但还有不少无理数不带根号。就是不带根号的无理数。
4．估算时缩放偏大，导致结果不精确
例：估计在哪两个整数之间？
错解：∵4＜7＜9
,
∴＜＜，即2＜＜3.
∴4＜＜6
纠正：这种估算方法是不合理的，虽然这里对的估算没有错，但估算时存在的误差，到时误差就扩大为2倍。为了缩小估算的误差，应该先将
化为（化简过程）。正确的估计过程为：
∵25＜28＜36
,
∴5＜＜6
故在5和6这两个整数之间。
三、考点分析：
1．开方运算
例：的算术平方根是（
）
A.2
B.±2
C.
D.±
分析：求一个数的方根是实数问题中最常见的一种开方运算，关键在于正确理解方根的意义，切忌忽视符号。
2．大小估计
例：估计20的算术平方根的大小在整数
和
之间。
分析：无理数的估算问题，是将被开方数进行适当放大或缩小，缩放时要注意估算范围的要求，不可盲目放大或缩小。
3．与开方有关的求值
例：当时，代数式的值是
。
分析：用数值代替字母时，根号照样保留，最后进行开方运算。
4．实数的概念理解
例：的绝对值是
。
分析：实数的绝对值、相反数和倒数的意义与有理数的绝对值、相反数和倒数的意义相同，只是带有根号的实数如果能够开方的要先开方，再进行求解。
5．实数的运算
例1：下列运算中，正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
分析：在有关实数的计算中，要注意理解符号的意义及计算的顺序。
例2:下列计算中，正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
分析：在进行实数的加减法运算时，只有当被开方数相同时，两个带根号的无理数才可视为同类项进行合并。
6．实数在数轴上的表示
例：如图，数轴上A、B两点表示的数分别是，点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数为（
）
A.
B.
C.
D.
分析：实数与数轴上的点一一对应，在解决实数与数轴关系的问题时，要运用数形结合思想，认真观察，利用数轴的直观性，细心计算，准确确定数的大小。
四、补充专题练习：
（一）关于（≥0）的非负性（即≥0；常与的非负性结合出题）
1.求使下列各式有意义的未知数的取值范围：
（1）
（
）
（2）
（
）
（3）
（
）（4）
（
）
（5）
（
）
（6）
（
）
2.已知，求的值。
3.已知，求的倒数。
4.已知，求代数式的算术平方根。
5.实数m满足，求m的值。
6.实数满足，求的平方根。
★实数满足，求的平方根。
（2）关于的化简：
1.当≥1时，化简。
2.化简
3.若，求的值。
4.求的值。
5.若，求的取值范围。
★已知，求的值。
五、综合练习：
1.在给出的实数中，有理数
是
，无理数是
，负无理数是
。
2.已知0＜＜1，那么在中，最大的数是
。
3.实数4-的整数部分是
，小数部分是
。
4.
比较大小：
1.42；
；
15
15
5.若a、b是两个连续整数，且满足a＜＜b，则＝
。
6.已知，其中是整数，且0＜＜1，求的值。
7.已知实数满足，求的值。
8.计算：
9.如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，
将
过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，
则点A表示的数是
(???)(A)
1.4
(B)
(C)
(D)
10.借助圆规和直尺，在数轴上作出表示实数
的点。
11.试作一个矩形，使得宽为，长为2。
12.数轴上，点A数-1,点O为原点，以OA为边长作正方形OABC，再以点A为圆
心，AC长为半径画弧，交数轴于点P，则点P对应的实数是
或
。
13.如图，每个小正方形的边长均为1，把阴影部分剪下来，用剪
下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是
。
14.青蛙在如图8×8的正方形（每个小正方形的边长为1）
网格的格点（小正方形的顶点）上跳跃，青蛙每次所跳
的最远距离为，青蛙从点A开始连续跳六次正好跳回
到点A，则所构成的封闭图形的面积的最大值是(????)
(A)
8
(B)
10
(C)
12
(D)
14
15.已知均为有理数，且满足等式，求的值。
16.求下列方程的解：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
17.若是一个整数，求所有正整数的和。
★已知满足，求的值。
