第二十四章
圆
24.2
点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2
直线和圆的位置关系（第2课时）
一、教学目标
1．理解切线的判定定理与性质定理．
2．会用切线的判定定理与性质定理解决简单问题．
二、教学重点及难点
重点：理解切线的判定定理与性质定理．
难点：理解切线的判定定理和用反证法证明切线的性质定理．
三、教学用具
多媒体课件，三角板、直尺、圆规．
四、相关资源
多张《生活中的切线》图片．
五、教学过程
【知识回顾，引入新课】
直线和圆都有哪些位置关系？
【数学探究】直线和圆的位置关系
师生活动：教师展示问题和复习的课件，让学生回顾上节课所学知识．
设计意图：通过复习直线和圆的位置关系，为本节课学习切线的判定定理和性质定理作好铺垫．
【合作探究，形成新知】
1．探究切线的判定定理
【数学探究】切线的判定定理,探究切线的判定过程
①如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？
师生活动：小组讨论，学生归纳出切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
②做一做：
已知⊙O上有一点A，过点A作⊙O的切线．
师生活动：两位学生板演，比较哪位学生画的比较好．教师订正，然后规范作图步骤，板演．
分析：根据刚刚讨论过的圆的切线的判定定理可知：经过直径的一端，并且垂直于直径的直线是圆的切线，而现在已知圆心O和圆上一点A，那么过A点的直径就可以作出来，再作直径的垂线即可，请大家自己动手．
解：如下图．
（Ⅰ）连接OA．
（Ⅱ）过点A作OA的垂线l，l即为所求的切线．
③生活中你发现了与切线有关的实例吗？试举例子．
师生活动：学生举例．教师多媒体出示生活中的图片．
设计意图：知识源于生活，通过学生举例子，增强学生对知识的理解，培养学生的观察能力，感悟身边的知识．
2．探索切线的性质定理：
①如图，在⊙O中，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？
师生活动：学生发言谈自己的看法，教师做总结．
归纳：圆的切线垂直于过切点的半径．
②你会用反证法证明切线的性质定理吗？
师生活动：小组合作交流，学生尝试证明，让学生注意反证法的证明步骤．教师巡查，指导不懂证明的学生．
设计意图：教师引导学生尝试用反证法证明定理，巩固上节课的内容，着重培养学生的逻辑推理能力．
【例题分析，深化提升】
例
如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，AB与⊙O相切于点D．
求证：AC与⊙O相切．
师生活动：学生讨论思路后，学生口述步骤，老师板演，强调每一步注明理由．
分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OE是⊙O的半径就可以了，而OD是⊙O的半径，因此需要证明OE=OD．
证明：如图，过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA．
∵⊙O与AB相切于点D，
∴OD⊥AB．
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线．
∴OE=OD，即OE是⊙O的半径．
AC经过⊙O的半径OE的外端E，并且垂直于半径OE，
∴AC与⊙O相切．
设计意图：即时反馈有助于记忆，让学生在例题中加深对本节知识的理解．教师通过学生解答，及时发现问题，评价教学效果．
【练习巩固，综合应用】
1．已知：如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB．
求证：AT是⊙O的切线．
分析：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可，而由已知条件可知AT=AB，所以∠ABT=∠ATB，又由∠ABT=45°，所以∠ATB=45°．由三角形内角和可知∠TAB=90°，即AT⊥AB．
2．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于点E，连接AD，求证：DE是⊙O的切线．
3．如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．
（1）直线FC与⊙O有何位置关系？并说明理由；
（2）若OB=BG=2，求CD的长．
参考答案
1．证明：∵AB=AT，∠ABT=45°，
∴∠ATB=∠ABT=45°．
∴∠TAB=180°-∠ABT-∠ATB=90°．
∴AT⊥AB，即AT是⊙O的切线．
2．证明：连接DO，
∵点D是BC的中点，∴CD=BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC．
∴AC=AB，∴∠C=∠B．
∵OD=OB，∴∠B=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴∠ODE=∠CED=90°．∴DE⊥OD．
∴ED是圆O的切线．
3．解：（1）直线FC与⊙O相切．
理由如下：
连接OC．
∵OA=OC，∴∠1=∠2．
由翻折，得∠1=∠3，∠F=∠AEC=90°．
∴∠2=∠3．
∴OC∥AF．
∴∠OCG=∠F=90°．
∴OC⊥FG．
∴直线FC与⊙O相切．
（2）∵直线GF与⊙O相切，
∴OC⊥FG．
∵OC=OB=BG，∴∠G=30°．
∴∠COG=60°，∴∠OCE=30°．
∴OE=1．∴CE=．
∵直径AB垂直于弦CD，
∴．
设计意图：加深对切线判定定理和性质定理的理解．
六、课堂小结
师生活动：学生小组内进行交流，谈一谈本节课的收获．教师提示学生从三方面入手：
1．学到了哪些知识；2．掌握了哪些数学方法；3．还有哪些发现与猜想？
1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径
设计意图：让学生总结出自己的收获，理清思路、整理经验，从而形成良好的学习习惯，同时也提出自己的疑问和困惑便于教师及时反馈．
七、板书设计
24.2
点和圆、直线和圆的位置关系
——24.2.2
直线和圆的位置关系（2）
1．切线的判定定理
2．切线的性质定理第二十四章
圆
24.2
点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2
直线和圆的位置关系（第1课时）
一、教学目标
1．经历探索直线与圆的位置关系的过程．
2．理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系．
二、教学重点及难点
重点：
1．经历探索直线与圆的位置关系的过程．
2．理解直线与圆的三种位置关系．
难点：经历探索直线与圆的位置关系的过程，归纳总结出直线与圆的三种位置关系．
三、教学用具
多媒体课件，三角板、直尺、圆规．
四、相关资源
五、教学过程
【创设情境，引入新课】
在太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？我们把太阳看作一个圆，地平线看作一条直线，由此你能得出直线和圆的位置关系吗？
师生活动：教师展示日出的课件，让学生观察、思考，回答问题．
设计意图：让学生用运动的观点观察直线和圆的位置关系，有利于学生把实际的问题抽象成数学模型，也便于学生观察直线和圆公共点个数的变化，同时让学生感受到实际生活中存在的直线和圆的三种位置关系．通过动画展示，贴近学生生活，激发学生的学习兴趣．
【合作探究，形成新知】
1．探索直线和圆的不同位置关系：
操作：在纸上画一条直线l，把钥匙环看作一个圆，在纸上移动钥匙环．
（1）思考：你能发现在钥匙环移动的过程中，它与直线l的公共点个数的变化情况吗？
师生活动：学生操作、思考后总结：①直线与圆的交点个数发生了改变；②圆心到直线的距离发生了改变．
归纳：
①直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫圆的割线；
②直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫圆的切线，这个点叫做切点；
③直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
（2）能否根据基本概念来判断直线与圆的位置关系？
师生活动：小组合作交流、讨论，小组代表汇报讨论结果．教师边听边板演．
归纳：
直线与⊙O有唯一公共点直线与圆相切；
直线与⊙O有两个公共点直线与圆相交；
直线与⊙O没有公共点直线与圆相离．
设计意图：通过动手操作发现直线与圆的几种位置关系，初步感知三种位置关系．
（3）能否根据点和圆的位置关系类似地推导出直线与圆的位置关系？
师生活动：学生小组合作交流，画出直线与圆的三种位置关系的图形，并作出圆心到直线l的距离d，再与半径r作比较．教师引导学生用类比的方法来研究直线与圆的位置关系．
归纳：如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么
直线与⊙O相交d＜r；
直线与⊙O相切d=r；
直线与⊙O相离d＞r．
设计意图：从数量关系的角度来探讨直线和圆的位置关系，是让学生学会运用数形结合的数学思想解题．
【例题分析，深化提升】
例
圆的直径是13
cm，如果直线与圆心的距离分别是：
（1）4.5
cm；
（2）6.5
cm；
（3）8
cm．
那么直线与圆分别是什么位置关系？有几个公共点？
师生活动：三位学生上黑板板演，师生一起订正．教师应重点关注：①学生能否利用圆心到直线的距离和半径之间的数量关系判断直线和圆的位置关系．②学生能否利用直线和圆的位置关系判断直线和圆的公共点的个数．
设计意图：让学生掌握识别直线和圆的位置关系的方法．培养学生正确应用所学知识的应用能力，渗透分类讨论、数形结合等数学思想．
【练习巩固，综合应用】
1．已知Rt△ABC的斜边AB=6
cm，直角边AC=3
cm．
（1）以C为圆心，2
cm长为半径的圆和AB的位置关系是_________；
（2）以C为圆心，4
cm长为半径的圆和AB的位置关系是_________；
（3）如果以C为圆心的圆和AB相切，则半径长为_________．
2．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3
cm，BC=4
cm，判断以点C为圆心，下列r为半径的⊙C与AB的位置关系：
（1）r=2
cm；（2）r=2.4
cm；（3）r=3
cm．
参考答案
1．（1）相离
（2）相交
（3）cm
2．由题意，利用勾股定理可得AB=5
cm，由此可得（1）相离；（2）相切；（3）相交．
设计意图：加深对直线与圆的三种位置关系的理解．
六、课堂小结
师生活动：学生小组内进行交流，谈一谈本节课的收获．教师提示学生从三方面入手：
1．学到了哪些知识；2．掌握了哪些数学方法；3．还有哪些发现与猜想？
1．直线和圆的位置关系
直线与⊙O有唯一公共点直线与圆相切；
直线与⊙O有两个公共点直线与圆相交；
直线与⊙O没有公共点直线与圆相离．
2．如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么
直线与⊙O相交d＜r；
直线与⊙O相切d=r；
直线与⊙O相离d＞r．
设计意图：让学生总结出自己的收获，理清思路、整理经验，从而形成良好的学习习惯，同时也提出自己的疑问和困惑便于教师及时反馈．
七、板书设计
24.2
点和圆、直线和圆的位置关系
——24.2.2
直线和圆的位置关系（1）
1．直线和圆的位置关系
