苏科版九年级数学上册第2章 对称图形—圆学案（无答案）

苏科版九年级上册第2章
对称图形—圆
授课日期
授课时段
授课主题
与圆有关的概念，圆周角
教学目标
掌握分清楚与圆有关的概念
掌握圆周角的应用
教学重难点
分清楚与圆有关的概念
圆周角的应用
教学内容
【知识梳理】
知识点一、圆的有关概念
1.
圆的定义①（动态定义）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆记做“⊙O”.
②（静态定义）圆是到定点的距离等于定长的点的集合．即：圆上各点到圆心的距离都等于定长（半径），反之到圆心距离等于半径的点一定在圆上；
2.等圆：能够完全重合的圆叫等圆．同圆或等圆的半径相等．
3.确定圆的条件
确定一个圆有两个基本条件
①圆心（定点）——用来确定圆的位置；②半径（定长）——用来确定圆的大小．
经过不在同一直线上的三点确定一个圆．
知识点二、弦、弧、圆心角等相关概念
1.
弦与直径：
①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，记做：弦AB，弦CD等．
②直径：经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的2倍．直径是圆中最长的弦.
2.
弧与半圆
①弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，如以A、B为端点的弧记做，
②半圆：圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中的每条弧都叫做半圆．
③劣弧、优弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用弧上的两点表示；大于半圆的弧叫做优弧，用弧上三点表示．
④等弧：能够完全重合的弧叫等弧.
知识点三、弧、弦、圆心角之间的关系
1.
圆的旋转不变性
把圆绕着圆心旋转任意一个角度，都与原来的图形重合，我们把这种性质称为圆的旋转不变性．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.
2.
弧、弦、圆心角之间的关系定理：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
知识点四、垂径定理
1.
圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
2.
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
如图，用符号语言叙述为：
∵
CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点E
∴
AE＝EB，，
垂径定理基本图形的性质：
4.（1）有4对全等的直角三角形：Rt△CAD与Rt△CBD；Rt△CAM与Rt△CBM；Rt△OAM与Rt△OBM；Rt△MAD与Rt△MBD；特别在Rt△CAD与Rt△CBD中，直径CD是它们公共的斜边，AM、BM是CD上的高．
（2）有3个等腰三角形；△CAB、△OAB、△DAB.弦AB是它们的公共底边，直径CD是它们的顶角平分线和底边AB的垂直平分线．
（3）有3对弧相等：，，．
（4）添加辅助线的方法：连接半径或作垂直于弦的直径，是两种重要的添线方法．
知识点五．圆周角定理
1.
定义：
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫圆周角．
2.
圆周角定理：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等，
3.
圆周角定理的推论
①半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
②圆内接四边形的对角互补．
定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，这一定义实质上反映的是圆周角所具备的两个特征：①顶点在圆上，②两边都和圆相交。这两个条件缺一不可。
在同圆或等圆中，两圆周角相等，则其所对的弦(或弧)也相等；反之，等弧所对的圆周角相等。而等弦所对圆周角相等或相补，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
对于一个圆周角，角的内部必然夹了一段圆弧，通常把圆周角说成是这一弧上的圆周角，或说这一弧所对的圆周角。另外，角的外部也有一段圆弧，我们还把圆周角说成是这一弧所含的圆周角。
例题
1．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CDB＝35°，则∠CBA的度数为（　　）
A．35°
B．55°
C．65°
D．70°
2．如图，AB为⊙O的直径，C，D两点在圆上，∠CAB＝20°，则∠ADC的度数等于（　　）
A．114°
B．110°
C．108°
D．106°
3．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠ABO＝25°，∠ACO＝30°，则∠BOC的度数为（　　）
A．100°
B．110°
C．125°
D．130°
4．如图，C、D是以AB为直径的半圆上两点，且D是中点，若∠ABD＝80°．则∠CAB＝　
　．
5．如图，CD是⊙O的直径，CD＝2，∠BAC＝45°，则BC的长是　
　．
6．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是　
　．
圆心角的概念
定义：指在中心为O的圆中，过弧AB两端的半径构成的∠AOB，
称为弧AB所对的圆心角。圆心角等于同一弧所对的圆周角的二倍。
性质：①顶点是圆心；
②两条边都与圆周相交。
③圆心角性质：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等。在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弦、圆心角所对的弧和对应弦的弦心距，四对量中只要有一对相等，其他三对就一定相等。
④一条弧的度数等于它所对的圆心角的度数。?
⑤半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
例题
1．如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，过OC的中点D作弦EF∥AB，则∠ABE的度数是（　　）
A．30°
B．15°
C．45°
D．60°
2．如图，在⊙O中，弧AB＝弧AC，∠A＝36°，则∠C的度数为（　　）
A．44°
B．54°
C．62°
D．72°
3．如图，A、B、C在⊙O上，∠ACB＝40°，点D在上，M为半径OD上一点，则∠AMB的度数不可能为（　　）
A．45°
B．60°
C．75°
D．85°
4．如图，以平行四边形ABCD的一边AB为直径的⊙O过点C，若∠AOC＝70°，则∠BAD＝　
　度．
5．如图，在⊙O中，AB为直径，∠ACB的平分线交⊙O于D，AB＝6，则BD＝　
　．
6．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠AOB的度数是　
　．
7．如图，⊙O的内接五边形ABCDE的对角线AC与BD相交于点G，若∠E＝92°，∠BAC＝41°，则∠DGC＝　
　°．
8．如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B＝30°，点C在弦AB上，连接CO并延长交⊙O于点D，∠D＝30°，则∠BAD的度数是（　　）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
9．如图，已知C、D在以AB为直径的⊙O上，若∠CAB＝30°，则∠D的度数是（　　）
A．30°
B．70°
C．75°
D．60°
10．如图，A、B、C是⊙O上的三点，若∠A+∠C＝75°，则∠AOC的度数为（　　）
A．150°
B．140°
C．130°
D．120°
11．如图，已知在⊙O中，半径OA＝，弦AB＝2，∠BAD＝18°，OD与AB交于点C，则∠ACO＝　
　度．
12．如图，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DFA＝　
　．
13．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝54°，则∠BAD＝　
　．
14．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求∠ADC的度数；
15．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD＝52°，求∠DEB的度数；
总结
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．联系圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．对于在推理论证及相关计算中有着广泛的用途．
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。这两个推论是判定直角或直角三角形的又一依据，为在圆中确定直角，构造垂直关系，创造了条件，因此它是圆中一个很重要的性质。
推论4：在同圆或等圆中,如果(1)两个圆心角,(2)两条弧,(3)两条弦(4)两条弦上的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等
1．如图，已知在△ABC中，以AB为直径作半圆O，交BC的中点D，若∠BAC＝50°，则的度数是　
　度．
2．如图，在⊙O的内接六边形ABCDEF中，∠A+∠C＝220°，则∠E＝　
　°．
3．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠ABD＝62°，则∠BCD＝　
　．
4．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD的度数是　
　．
5．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．
6．如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，若∠C＝45°，
（1）求∠ABD的度数；
（2）若∠CDB＝30°，BC＝3，求⊙O的半径．