(共22张PPT)
24.4一元二次方程的应用
冀教版九上
第二十四章
一元二次方程
新课引入
新课学习
典例精析
测试小结
第一课时
面积问题
02
提高分析、解决问题的能力，增强数学应用意识.
01能根据面积公式列一元二次方程解决实际问题，
并能根据问题的实际意义检验结果的合理性.
学习目标
冀教版九上
新课引入
我们每一个章节的学习，最终是为了解决实际问题，那么一元二次方程可以解决一些什么问题呢？
典例精析
例1.如图，某学校要在校园墙边的空地上修建一个长方形的存车处，存车处的一面靠墙（墙长22m）,另外三面用90m长的铁栏杆围起来.如果这个存车处的面积是700㎡，求这个长方形存车处的长和宽.
存车处
长方形较长边称“长”，较短边称“宽”.
方法一：设长方形与墙平行的边为xm,则另一边为
整理，得x2-90x+1400=0
70>22,不合题意，舍去.
当x=20时，
∴这个长方形的长和宽分别是35m和20米.
注意：检验根是否符合实际意义.
典例精析
例1.如图，某学校要在校园墙边的空地上修建一个长方形的存车处，存车处的一面靠墙（墙长22m），另外三面用90m长的铁栏杆围起来.如果这个存车处的面积是700㎡，求这个长方形存车处的长和宽.
存车处
方法二：设长方形与墙垂直的边为xm,则另一边为(90-2x)m
整理，得x2-45x+350=0
当x=10时，90-2x=70>22
∴10不合题意，舍去.
当x=35时，90-2x=20
∴这个长方形的长和宽分别是35m和20米.
x·(90-2x)=700
典例精析
思考：方法一和方法二的优缺点各是什么？（谈谈你的看法）
①方法一
优点：解出方程的根可以直接和墙长做比较；
缺点：所列的方程中有分母出现，增加了计算的难度.
②方法二
优点：列出的方程中没有分数，计算方便；
缺点：解出方程的根不能直接和墙长做比较，还要再做运算.
典例精析
例1.(变式一)如图，某学校要在校园墙边的空地上修建一个长方形的存车处，存车处的一面靠墙（墙足够长），另外三面用90m长的铁栏杆围起来.如果这个存车处的面积是700㎡，求这个长方形存车处的长和宽.
存车处
思考:条件发生了什么变化？结果会发生变化吗？
由于墙是足够长的，则解出来的方程的根不需要舍
结果就是两种情况.
即长为35m、宽为20m或长为70m、宽为10m.
典例精析
例1.(变式二)如图，某学校要在校园墙边的空地上修建一个长方形的存车处，存车处的一面靠墙（墙长22m），另外三面用90m长的铁栏杆围起来.并在与墙平行的边上开了一个2m的门，如果这个存车处的面积是700㎡，求这个长方形存车处的长和宽.
思考:条件发生了什么变化？方程该怎样列？
存车处
我们只需要将90加上2，就相当于没有门，转化为和例1一样.
典例精析
例1.(变式二)如图，某学校要在校园墙边的空地上修建一个长方形的存车处，存车处的一面靠墙（墙长22m），另外三面用90m长的铁栏杆围起来.并在与墙平行的边上开了一个2m的门，如果这个存车处的面积是700㎡，求这个长方形存车处的长和宽.
存车处
方法二：设长方形与墙垂直的边为xm,则另一边为(90+2-2x)m
方法一：设长方形与墙平行的边为xm,则另一边为
x·(90+2-2x)=700
典例精析
例1.(变式三)如图，某学校要在校园墙边的空地上修建一个长方形的存车处，存车处的一面靠墙（墙长22m）.存车处内修两条铁栏杆（如图所示），另外三面也用铁栏杆围起来，已知铁栅栏共90m.如果这个存车处的面积是700㎡，求这个长方形存车处的长和宽.
方法二：设长方形与墙垂直的边为xm,则另一边为
方法一：设长方形与墙平行的边为xm,则另一边为
存车处
典例精析
例2.如图，在一块长为32cm，宽为20cm的长方形土地上修建两条互相垂直且宽度相等的道路（与长方形边平行），余下部分作为耕地，要使耕地面积是540㎡.求小路的宽.
方法一：平移小路，将4块耕地凑成一个大长方形.
此长方形的面积为540㎡为数量关系.
解：设小路的宽度为xm.由题意得
(32-x)(20-x)=540
整理，得x2-52x+100=0
∴小路的宽度为2m.
十字相乘法
典例精析
例2.如图，在一块长为32cm，宽为20cm的长方形土地上修建两条互相垂直且宽度相等的道路（与长方形边平行），余下部分作为耕地，要使耕地面积是540㎡.求小路的宽度.
方法二：小路的面积=32×20-540=100.用小路面积作为数量关系来列方程.
解：设小路的宽度为xm.由题意得
整理，得x2-52x+100=0
∴小路的宽度为2m.
十字相乘法
20x+32x-x2=32×20-540
重叠部分
典例精析
思考：方法一和方法二的优缺点各是什么？（谈谈你的看法）
①方法一
优点：数量关系好理解，方程容易列；
缺点：解方程计算量大.
②方法二
优点：整理方程简单，计算量小；
缺点：数量关系容易出错，不细心可能列错方程.
根据自己的特点，选择适合自己的方法.
典例精析
例2.(变式一)如图，在一块长为32cm，宽为20cm的长方形土地上修建5条同样宽度的道路，(如图所示，小路均与长方形的长或宽平行）余下部分作为耕地，要使耕地面积是540㎡.求小路的宽度.
方法二：设小路的宽度为xm.由题意得
20x×3+32x×2-6x2=32×20-540
方法一：设小路的宽度为xm.由题意得
(32-3x)(20-2x)=540
问题:刚才的两个思路还可以用吗？
典例精析
例2.(变式二)如图，在一块长为32cm，宽为20cm的长方形土地上修建两条互相垂直的宽度相等的道路，(如图所示，小路均与长方形的长或宽不平行）余下部分作为耕地，若小路的宽度与例2中相同，也为2m.问：耕地面积还是540㎡吗？
AB∥CD,EF∥GH,∠1=60
D
C
B
A
F
E
H
G
1
M
分析：图中的BD长度就是小路宽，为2m,由三角函数计算得出BM=
耕地面积=32×20-101=539
耕地面积不再是540㎡.
典例精析
例3.已知一本数学书的长为26cm,宽为18.5cm,厚为1cm.一张长方形包书纸如图所示，它的面积为1260c㎡，虚线表示的是折痕.由长方形相邻两边与折痕围成的四角均为大小相同的正方形.求正方形的边长.
封面
封面
数量关系
分析：将26、18.5、1、4个正方形与图形相对应理解，是解题的关键.
解：设正方形的边长为xcm，由题得
（26+2x)(18.5×2+1+2x)=1260
整理，得x2+32x-68=0
26
18.5
1
x
x
18.5
x
x
巩固练习
1.如图，在一块长12
m，宽8
m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为77
m2，设道路的宽为x
m，则根据题意，可列方程
为__________________________________．
(12－x)(8－x)＝77(或x2－20x＋19＝0)
巩固练习
2.如图，有一块矩形硬纸板，长30
cm，宽20
cm，在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子，当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200
cm2?
巩固练习
3.如图，在直角墙角AOB(OA⊥OB，且OA，OB长度不限)中，要砌20
m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且矩形地面AOBC的面积为96
m2.
(1)求这个矩形地面的长；
解：设这个矩形地面的长是x
m，
由题意得x(20－x)＝96.
解得x1＝12，x2＝8(舍去)．
答：这个矩形地面的长是12
m.
巩固练习
(2)有规格为0.80×0.80和1.00×1.00(单位：m)的地板砖价格分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙)，用哪一种规格的地板砖费用较少？
解：用规格为0.80×0.80(单位：m)的地板砖所需的费用：96÷(0.80×0.80)×55＝8
250(元)．
用规格为1.00×1.00(单位：m)的地板砖所需的费用：96÷(1.00×1.00)×80＝7
680(元)．
∵8
250元>7
680元，
∴用规格为1.00×1.00(单位：m)的地板砖所需的费用较少．
回顾小结
二、利用一元二次方程解应用题时，要注意检验所得的根实际符合实际
一、由面积公式为数量关系列一元二次方程解决实际问题
同学们再见(共22张PPT)
24.4一元二次方程的应用
冀教版九上
第二十四章
一元二次方程
新课引入
新课学习
典例精析
测试小结
第二课时
增长率问题
02
用一元二次方程解决两次增长率不同的问题.
01用一元二次方程熟练解决两次增长（降低）率相同的问题.
学习目标
冀教版九上
03
学会迅速从题中提炼有用信息，确定数量关系.
新课学习
已知李大爷今年养了10000只鸡.
（1）若李大爷打算明年的养鸡数量比今年增长20％，则明年的养鸡数量可用式子________________来表示.
（2）若李大爷预计后年的养鸡数量比上一年增长15％，则后年的养鸡数量可用式子______________________
来表示.
10000(1+20％
)(1+15％)
20％
即10000(1+20％)2
10000×(1+20％
)
10000×(1+20％
)(1+20％)
新课学习
增长后的数量=原数×（1+增长率）
连续两次增长率相同时，
两次增长后的数量=原数×(1+增长率)2
降低后的数量=原数×（1-降低率）
连续两次降低率相同时，
两次增长后的数量=原数×(1-降低率)2
典例精析
一、“两次增长率相同(或平均增长率)”
例1.随着我国汽车产业的快速发展以及人民经济收入的不断提高，汽车已越来越多地进入普通家庭，据某市交通部门统计，2010年底，该市汽车保有量为15万辆，截止2012年底，汽车保有量已达21.6万辆.若该市这两年汽车保有量增长率相同，求这个增长率.
要求：先找到数量关系，再列方程解决问题；然后与同伴交流一下，在解决例1时彼此的心得或遇到的问题.
2012年汽车数量=2010年汽车数量×(1+增长率)2
数量关系：
典例精析
一、“两次增长率相同(或平均增长率)”
例1.随着我国汽车产业的快速发展以及人民经济收入的不断提高，汽车已越来越多地进入普通家庭，据某市交通部门统计，2010年底，该市汽车保有量为15万辆，截止2012年底，汽车保有量已达21.6万辆.若该市这两年汽车保有量增长率相同，求这个增长率.
解：设这个增长率为x,由题意得
15(1+x)2=21.6
答:这个增长率是20％.
直接开平方法最合适
典例精析
一、“两次增长率相同(或平均增长率)”
例1.（变式一）某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投人资金1600万元.从2015年到2017年该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
要求：独立完成，再与同伴交流，看一下大家的做法是否一致，如果有问题，找到原因.
不对，因为2017年的投入资金应是（1280+1600）万元，
而不是1600万元.
这样列方程1280(1+x)2=1600，对吗？
典例精析
一、“两次增长率相同(或平均增长率)”
例1.（变式一）某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投人资金1600万元.从2015年到2017年该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
解：设年平均增长率为x,由题意得
1280(1+x)2=1280+1600
答:2015年到2017年该地投入异地安置资金的年平均增长率为50％.
直接开平方法最合适
典例精析
一、“两次增长率相同(或平均增长率)”
例1.（变式二）某印刷厂今年1月份的收入是25万元，1月至3月的累计收入达到91万元.如果月增长率相同，那么月增长率是多少？
要求：独立完成，再与同伴交流，看一下大家的做法是否一致，如果有问题，找到原因.
不对，因为91万元是3个月的总收入，不是3月份的收入.数量关系应是：1月收入+2月收入+3月收入=91
这样列方程25(1+x)2=91，对吗？
典例精析
一、“两次增长率相同(或平均增长率)”
例1.（变式二）某印刷厂今年1月份的收入是25万元，1月至3月的累计收入达到91万元.如果月增长率相同，那么月增长率是多少？
解：设月增长率为x,由题意得
25+25(1+x)+25(1+x)2=91
还适合用直接开平方法吗？
不适合
整理，得25x2+75x-16=0
答:月增长率是20％.
适合公式法
典例精析
二、“两次增长率不相同”
例2.某企业第一年年初投入100万元生产农机设备，又将第一年的本金及利润的和作为第二年的投资.到第二年底，算得两年共获利润68.75万元.已知第一年利润率比第二年利润率多10个百分点，求第一年的利润率.
数量关系：第一年利润+第二年利润=68.75万元
仔细审题，找到数量之间的关系，是解决问题的关键
利润=投入基数×利润率
典例精析
二、“两次增长率不相同”
例2.某企业第一年年初投入100万元生产农机设备，又将第一年的本金及利润的和作为第二年的投资.带第二年底，算得两年共获利润68.75万元.已知第一年利润率比第二年利润率多10个百分点，求第一年的利润率.
第一年的利润：100x
第二年的利润：100×（1+x)×（x+10％）
第二年的投资：100(1+x)
第二年的利润率：x+10％
遇到数量关系较复杂或较多时，用列表的方法，将数量一步一步整理出来，可以使我们的思路更清楚，不易出错
典例精析
二、“两次增长率不相同”
例2.某企业第一年年初投入100万元生产农机设备，又将第一年的本金及利润的和作为第二年的投资.带第二年底，算得两年共获利润68.75万元.已知第一年利润率比第二年利润率多10个百分点，求第一年的利润率.
解：设第一年的利润率为x,由题意得
100x+100×（1+x)×（x+10％）=68.75
整理，得10x2+21x-5.875=0
答:第一年的利润率为25％.
适合公式法
典例精析
三、“传播问题”
例3.某种感冒病毒，每次以相同的数目向外传播，如：1人感染病毒后可以传染a个人，然后所有感染的这些人，每人又可以继续向外传染a个人.若开始有1人感染了这种感冒病毒，经过两轮传播后，共有81人被感染，求这种感冒病毒每次向外传播几人？
数量关系：开始的1人+第一轮感染的人+第二轮感染的人=81
第一轮感染的人：x
第一轮后感染的总人数：1+x
第二轮感染的人：(1+x)·x
第二轮后感染的总人数：1+x+(1+x)·x
注意：感染之后，会多轮传播.如：第1个感染的人，参与第一轮传播，也参与第二次传播.
典例精析
三、“传播问题”
例3.某种感冒病毒，每人以相同的数目向外传播，如：1人感染病毒后可以传染a个人，然后所有感染的这些人，每人又可以继续向外传染a个人.若开始有1人感染了这种感冒病毒，经过两轮传播后，共有81人被感染，求这种感冒病毒每次向外传播几人？
解：设这种感冒病毒每次向外传播x人，由题意，得
1+x+(1+x)·x=81
整理，得x2+2x-80=0
答:这种感冒病毒每次向外传播8人.
典例精析
三、“传播问题”
例3.某种感冒病毒，每人以相同的数目向外传播，如：1人感染病毒后可以传染a个人，然后所有感染的这些人，每人又可以继续向外传染a个人.若开始有1人感染了这种感冒病毒，经过两轮传播后，共有81人被感染，求这种感冒病毒每次向外传播几人？
1·(1+x)2=81
也可以把这个问题看做两次增长率相同的问题
如：最初有3人感染，则两轮后的感染人数为3·(1+x)2
典例精析
三、“传播问题”
例3.（变式）某商家利用微信搞优惠活动，规则是：首先顾客要在朋友圈发布商家的商品信息，然后再邀请n个好友转发信息，每个好友转发信息之后，又邀请n个互不相同的好友转发，完成后可得到商品的半价优惠.已知经过两轮传播后，共有421人参与了传播活动，求n的值．
这个问题与前面的病毒传播相同吗？
不同，在这个问题中，每个人只向外传播一轮.如：第一个顾客只参与第一轮传播，不参与第二次传播.
典例精析
三、“传播问题”
例3.（变式）某商家利用微信搞优惠活动，规则是：首先顾客要在朋友圈发布商家的商品信息，然后再邀请n个好友转发信息，每个好友转发信息之后，又邀请n个互不相同的好友转发，完成后可得到商品的半价优惠.已知经过两轮传播后，共有421人参与了传播活动，求n的值．
解：由题意得
n＋n2＋1＝421，
解得n1＝－21(舍去)，n2＝20.
答：n的值是20.
巩固练习
1.某种商品原价是100元，经过两次降价后价格时90元.设平均每次降价的百分率为x,可列方程为________________.
100(1-x)2=90
2.某机械厂7月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个.设该厂8、9月份平方每月的增长率为x,那么x满足的方程是_________________________.
50+50(1+x)+50(1+x)2=196
旧知链接
3.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是( )
A．4
B．5
C．6
D．7
C
分析:与“病毒传播”是有区别的，设每个支杆长出的小分支个数为x,则1+x+x2=43,解得x=6或-7，舍去-7，则x=6.
回顾小结
二、两次增长率（降低率）不同
一、两次增长率（降低率）相同
a(1±x)2=b
三、根据所列方程的特点，选择合适的解方程的方法
同学们再见(共24张PPT)
24.4一元二次方程的应用
冀教版九上
第二十四章
一元二次方程
新课引入
新课学习
典例精析
测试小结
第三课时
握手问题
销售问题
学习目标
冀教版九上
02
熟练用一元二次方程解决销售问题.
01熟练用一元二次方程解决“握手”类问题
03
学会设合适的未知数，使列方程和解方程变得更简单.
新课引入
我昨天去参加了一个教研会议，出于礼仪，每两个人之间都会热情地握手问好，已知全场共握手45次，聪明的你知道参加会议的有多少人吗？
新课引入
分析：
当全场有x个人时，由于每个人不需要和自己握手，则每个人需和另外的（x-1）个人握手.
当有x人，则握手总次数为x(x-1)
如A和B只需握一次手，而在式子x(x-1)中，这一次握手，A算一次，B也了算一次，即实际的一次握手，在式子x(x-1)中算了两次.
新课引入
解：设参加会议的有x人，由题意得
整理，得x2-x-90=0
∴参加会议的有10人.
十字相乘法
注意观察两根的特点
典例精析
例1.某少年宫组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个足球队之间都要比赛一场，计划安排28场比赛.可邀请多少支球队参加呢？
思考：是“握手问题”吗？
是
解：设可邀请x支球队参加，由题意得
∴可邀请10支球队参加.
整理，得x2-x-56=0
注意观察两根的特点
典例精析
想一想：还有哪些问题也属于“握手问题”？
1.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了21条航线，则这个航空公司共有多少飞机场？
2.一个多边形有14条对角线，求这个多边形的条数.
典例精析
例1.（变式）小红暑假参加了一个舞蹈培训班，课程结束时，为增进同学们之间的友情，老师给大家拍照留念，已知每两个同学都有合影，最后老师共冲洗了380张照片送给大家.问这个舞蹈培训班有学员多少人？
思考：是“握手问题”吗？
不是
如：A和B合影，则A有一张照片，B也有一张照片，与握手不同.
典例精析
例1.（变式）小红暑假参加了一个舞蹈培训班，课程结束时，为增进同学们之间的友情，老师给大家拍照留念，已知每两个同学都有合影，最后老师共冲洗了380张照片送给大家.问这个舞蹈培训班有学员多少人？
解：设这个培训班有学员x人，由题意得
x(x-1)=380
整理，得x2-x-380=0
∴这个舞蹈培训班有学员20人.
总结提升
解决
“握手问题“时的注意事项
1.分辨特征：在一个问题中，当每两个量都要互相结合时，考虑“握手问题”；
2.结合实际分辨题中的数量关系需要不需要除以2；
3.方程的两个解的绝对值是连续整数，即题中的总数量可分解为两个连续整数相乘，较大数即问题的答案.
典例精析
例2.某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克，在销售中发现，当这种水果售价为7元/千克时，每天可卖出160千克.在此基础上，这种水果的售价每提高一元，该水果店每天就会少卖出20千克.若水果店每天销售这种水果的利润是420元，求这种水果的售价应定为多少？
（1)销售问题中的数量关系是什么？
（售价-进价）×销售数量=利润
（2）设售价为每千克x元，怎么用式子表示销售数量？
典例精析
售价
销售数量
7
160
8
160-20
9
160-40
160-60
10
x
160-20(x-7)
(8-7)×20
(9-7)×20
(10-7)×20
典例精析
（售价-进价）×销售数量
=
利润
（3）怎样把数量关系转化为方程？
x
因此方程为：（x-5)×[160-20(x-7)]=420
5
160-20(x-7)
420
典例精析
解：设这种水果的售价应定为每千克x元，由题意得
整理，得x2-20x+96=0
∴这种水果售价应定为每千克12元或8元.
（x-5)×[160-20(x-7)]=420
若水果店想在利润不变的前提下，尽快减少库存，则售价怎么定合适？
售价越低，销售量越大，因此为减少库存，售价定为每千克8元合适.
典例精析
方法二：设每千克涨价x元，由题意得
（7+x-5）(160-20x)=420
整理，得x2-6x+5=0
1+7=8,5+7=12
∴这种水果售价应定为每千克12元或8元.
典例精析
思考：方法一和方法二的优缺点各是什么？（谈谈你的看法）
①方法一
优点：设的是直接未知数，x的值就是问题的答案.
缺点：销售量不好表示，方程不好列，且计算量大.
②方法二
优点：销售量容易表示，方程好列，计算量小.
缺点：设的是间接未知数，x的值不是问题的答案.
典例精析
例1.（变式）沧州特产专卖店销售良种金丝小枣，其进价为40元/千克，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克.若该专卖店销售这种金丝小枣要想平均每天获利2240元，为让利于顾客，每千克小枣应降价多少元？
(1)认真审题，发现与例1有什么不同之处？
①单价减低，销量增加
②单价降2元，销量增加20千克
单价降1元，销量增加10千克
典例精析
(2)当设降价x元时，将数量关系转化为方程
60-x
40
100+10x
2240
（售价-进价）×销售数量
=
利润
因此方程为：（60-x-40)×(100+10x)=2240
典例精析
设每千克小枣降价x元，由题意得
整理，得x2-10x+24=0
∵要让利于顾客，∴x取6.
解：由单价每降低2元，每天销量增加20千克，可得单价每降低1元，每天销量增加10千克.
（60-x-40)×(100+10x)=2240
答：每千克小枣降价6元.
当单价降低（或提高）的单位不是1元，先转化为1元，可使方程容易列.
巩固提升
某宾馆客房部有60个房间供旅客居住.当每个房间的定价为每天200元，房间可以住满；当每个房间每天的定价每提高10元，就会有一个房间空闲，对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.若该宾馆客房部希望每天的利润为14000元，则每个房间的定价应为多少元？（为了吸引游客，每个房间的定价不会高于500元）
（1）数量关系：
（房间的定价-20）（入住的房间数）=14000
(2)为了减小计算量，设房间提高的价格为x元
巩固提升
（3）处理“定价每提高10元，就会有一个房间空闲”
定价每提高1元，就会有0.1个房间空闲
（4）由数量关系，得出方程
（房间的定价-20）（入住的房间数）=14000
（200+x-20）（60-0.1x）=14000
巩固提升
设每个房间每天的定价提高x元，由题意得
整理，得x2-420x+32000=0
100+200=300,320+200=520
答：每个房间每天的定价为300元.
（200+x-20）（60-0.1x）=14000
∵房间定价不高于500，∴舍去520
解：由每个房间的定价提高10元，则空闲一个房间，可得定价提高1元，空闲0.1个房间.
回顾小结
二、“销售问题”
一、“握手问题”
将未知数设为提高或降低的价格，可使解决问题更简便.
同学们再见
