鲁科版（2019）高中物理 选择性必修第一册 第2章 第1节　简谐运动学案（含练习）

课标要求
1.通过实验，认识简谐运动的特征。能用公式和图像描述简谐运动。
2.通过实验，探究单摆的周期与摆长的定量关系。
3.知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系，并会用单摆测量重力加速度的大小。
4.通过实验，认识受迫振动的特点。了解产生共振的条件及其应用。
第1节　简谐运动
核心素养
物理观念
科学探究
科学思维
1.知道机械振动及平衡位置的概念。
2.知道弹簧振子是理想化模型，理解弹簧振子位移的定义。
3.知道简谐运动的定义，并能判断什么样的运动是简谐运动。
1.能在熟悉的问题情境中运用简谐运动、弹簧振子等物理模型解决机械振动的问题。
2.能分析与机械振动相关的问题，通过推理得到结论并能解释。
3.能用与机械振动相关的证据解释生产生活中的机械振动现象。
能证明弹簧振子的运动是简谐运动。
能关注我国古代在机械振动方面的一些技术应用。
知识点一　机械振动
[观图助学]
观察以上两图，并根据生活经验，请你总结钟摆的运动与尺子一端上下的振动有什么共同的特征？
1.机械振动与平衡位置
物体(或物体的某一部分)在某一位置附近的往复运动称为机械振动，简称振动，这个位置称为平衡位置。
2.回复力
(1)定义：总是指向平衡位置的力。
(2)作用效果：回复力是产生振动的条件，它使物体总在平衡位置附近振动。
(3)来源：回复力可由振动的物体受到的某一个力来提供，也可由振动的物体受到的几个力的合力来提供。
[思考判断]
(1)平衡位置即速度为零时的位置。(×)
(2)机械振动是匀速直线运动。(×)
(3)机械振动是物体在平衡位置附近所做的往复运动。(√)
它们都在某一位置附近做往复运动。
在平衡位置，回复力为零。
水平方向振动的小球弹簧的弹力提供回复力，竖直方向振动的小球重力和弹簧的弹力的合力提供回复力。
知识点二　简谐运动及其特征
1.弹簧振子
弹簧振子是一种理想模型，弹簧一端固定，另一端连接一个可视为质点的物体，不计弹簧质量，物体置于光滑水平面上，这样构成的振动系统称为弹簧振子。
2.简谐运动
(1)定义：物体所受回复力的大小与位移大小成正比，方向总是与位移方向相反的运动称为简谐运动。
(2)简谐运动的动力学特征：回复力F＝－kx。
(3)简谐运动的运动学特征：a＝－x。
[思考判断]
(1)弹簧振子是一种理想化的模型。(√)
(2)在F＝－kx中，负号表示回复力总是小于零的力。(×)
(3)弹簧振子的加速度方向一定与位移相同。(×)
不计弹簧质量，振动过程中不受摩擦阻力，以上三种情况均可视为弹簧振子。
做简谐运动的物体的位移是由平衡位置指向物体的有向线段。
F＝－kx和
a＝－x的负号表示回复力、加速度与位移的方向相反。
核心要点
　机械振动
[要点归纳]
1.机械振动的特点
①振动的轨迹：可能是直线，也可能是曲线。
②平衡位置：质点原来静止时的位置。从受力角度看，应该是振动方向上合力为零的位置。
③振动的特征：振动具有往复性。
2.回复力的理解
(1)回复力的方向总是指向平衡位置。
(2)回复力的效果是使偏离平衡位置的物体返回到平衡位置，是产生振动的条件。
(3)回复力可以是振动物体所受的某一个力，也可以是物体所受几个力的合力。
[试题案例]
[例1]
关于机械振动的位移和平衡位置，以下说法正确的是(　　)
A.平衡位置就是物体振动范围的中心位置
B.机械振动的位移是指以平衡位置为起点的位移
C.机械振动的物体运动的路程越大发生的位移也越大
D.机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移
解析　平衡位置是物体原来静止时的位置，所以应与受力有关，与是否为振动范围的中心位置无关，如乒乓球竖直落在台面上的运动是一个机械振动，显然其运动过程的平衡位置在球台面上，A错误；振动位移是以平衡位置为起点指向质点所在位置的有向线段，振动位移随时间而变，振子偏离平衡位置最远时，振动物体的振动位移最大，所以D错误，B正确；物体经多次振动后回到平衡位置，此时路程大于前一次回到平衡位置时的路程，但位移相等，C错误。
答案　B
[针对训练1]
下列关于振动的回复力的说法正确的是(　　)
A.回复力方向不一定总是指向平衡位置
B.回复力是按效果命名的
C.回复力一定是物体受到的合力
D.回复力由弹簧的弹力提供
解析　回复力是按效果命名的，是指向平衡位置使振动物体回到平衡位置的力，可以由某个力或某几个力的合力提供，也可以由某个力的分力提供，故A、C错误，B正确；在水平弹簧振子中弹簧的弹力提供回复力，但在其他振动中，不一定由弹簧弹力提供，D错误。
答案　B
核心要点
　简谐运动的理解
[问题探究]
如图所示的装置，把小球向右拉开一段距离后释放，可以观察到小球左右运动了一段时间，最终停止运动。
(1)小球的运动具有什么特点？为什么小球最终停止运动？
(2)在横杆上涂上一层润滑油，重复刚才的实验，观察到的结果与第一次实验有何不同？
(3)猜想：如果小球受到的阻力忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多，也忽略不计，实验结果如何？
答案　(1)小球的运动具有往复性。小球因为受到摩擦力的作用最终停止运动。　
(2)小球往复运动的次数增多，运动时间变长。　(3)小球将持续地做往复运动。
[探究归纳]
1.对F＝－kx的理解
(1)k是比例系数，并非弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中k为弹簧的劲度系数)，其值由振动系统决定，与振动位移大小无关。
(2)“－”号表示回复力的方向与质点偏离平衡位置的位移的方向相反。
(3)x是指质点对平衡位置的位移，不一定等于弹簧的伸长量或压缩量。
2.弹簧振子运动中各物理量的变化规律
x
F
A
v
Ek
Ep
E
远离平衡位置运动
增大
增大
增大
减小
减小
增大
不变
最大位移处
最大
最大
最大
零
零
最大
不变
衡位置运动
减小
减小
减小
增大
增大
减小
不变
平衡位置
零
零
零
最大
最大
最小
不变
3.判断振动是否为简谐运动的方法
若回复力F与位移x间的关系满足F＝－kx，则物体做简谐运动，否则就不是简谐运动。
[试题案例]
[例2]
一弹簧振子做简谐运动，下列说法中正确的是(　　)
A.若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值
B.振子通过平衡位置时，速度为零，加速度最大
C.振子每次经过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同
D.振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同
解析　如图所示，设弹簧振子在A、B之间振动，O是它的平衡位置，并设向右为正。在振子由O向A运动过程中，振子的位移、速度为负值，加速度为正值，故A错误；振子通过平衡位置时，加速度为零，速度最大，故B错误；当振子每次通过同一位置时，速度大小相等，方向可能向左也可能向右，但加速度相同，故C错误，D正确。
答案　D
规律总结　(1)位移、回复力、加速度三者大小同步变化，与速度的大小变化相反。(2)平衡位置是位移方向、加速度方向、回复力方向变化的转折点。
(3)最大位移处是速度方向变化的转折点。
[针对训练2]
如图为一水平弹簧振子，O点为平衡位置，振子在B、C之间做简谐运动，设向右为正方向，则振子(　　)
A.由C向O运动时，位移为正值，速度为正值，加速度为正值
B.由O向B运动时，位移为正值，速度为正值，加速度为正值
C.由B向O运动时，位移为负值，速度为正值，加速度为负值
D.由O向C运动时，位移为负值，速度为负值，加速度为正值
解析　因向右为正方向，由C向O运动时，位移方向向左为负值，则A错误；由O向B运动时，位移为正值，速度为正值，加速度为负值，则B错误；由B向O运动时，位移为正值，速度为负值，则C错误；由O向C运动时，位移为负值，速度为负值，加速度向右为正值，则D正确。
答案　D
核心要点
　简谐运动的对称性
[问题探究]
如图所示，弹簧振子是一种理想模型，弹簧振子运动过程中不计阻力，因此弹簧振子的机械能守恒，已知弹簧的弹性势能与弹簧形变量的二次方成正比，试分析振子在关于平衡位置O对称的A、B两点时速度、加速度的关系。
答案　弹簧振子在A、B两点时，弹簧的形变量大小相同，弹簧的弹力大小相同、方向相反，因此在A、B两点时振子的加速度大小相同、方向相反。由弹簧的弹性势能与弹簧形变量的二次方成正比可知，弹簧振子在A、B两点时的弹性势能相同，所以弹簧振子在A、B两点时的动能相同，即弹簧振子在A、B两点时的速度大小相同。
[探究归纳]
简谐运动是物体在平衡位置附近所做的往复性运动，它具有对称性的特点。如图所示，物体在A与B之间运动，O点为平衡位置，
任取关于O点对称的C、D两点，则有：
1.时间的对称
tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tCO＝tOC，tDB＝tBD＝tAC＝tCA。
2.速率的对称
(1)物体连续两次经过同一点(非最大位移的点)(如图中的D点)的速度大小相等，方向相反。
(2)物体经过关于O点对称的两点(非最大位移的点)(如图中的C与D两点)的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
3.动能的对称
(1)物体连续两次经过同一点(如图中的D点)的动能相等。
(2)物体经过关于O点对称的两点(如图中的C与D两点)的动能相等。
4.位移、回复力、加速度的对称
(1)物体连续两次经过同一点(如图中的D点)的位移、回复力、加速度大小相等，方向相同。
(2)物体经过关于O点对称的两点(如图中的C与D两点)的位移、回复力、加速度大小相等，方向相反。
[试题案例]
[例3]
弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v(v≠0)相同，那么，下列说法正确的是(　　)
A.振子在M、N两点受力相同
B.振子在M、N两点相对平衡位置的位移相同
C.振子在M、N两点加速度大小相等
D.从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动
解析　建立弹簧振子模型如图所示。因位移、速度、加速度和回复力都是矢量，它们要相同，必须大小相等、方向相同。M、N两点关于O点对称，振子受力大小相等、方向相反，振子位移也是大小相等、方向相反。由此可知，选项A、B错误；振子在M、N两点的加速度虽然方向相反，但大小相等，故选项C正确；振子由M到O速度越来越大，但加速度越来越小，振子做加速运动，但不是匀加速运动。振子由O到N速度越来越小，但加速度越来越大，振子做减速运动，但不是匀减速运动，故选项D错误。
答案　C
[针对训练3]
如图所示，一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距
10
cm的A、B两点，历时0.5
s；过B点后再经过t＝0.5
s，质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点；则质点从离开O点到再次回到O点历时(O点为AB的中点)(　　)
A.0.5
s
B.1.0
s
C.2.0
s
D.4.0
s
解析　根据题意，由振动的对称性可知：AB的中点为平衡位置，A、B两点对称分布在O点两侧，质点从平衡位置O点向右运动到B点的时间应为tOB＝×0.5
s＝0.25
s。质点从B点向右到达最右端位置(D点)的时间tBD＝×0.5
s＝0.25
s。所以质点从离开O点到再次回到O点的时间t＝2tOD＝2×(0.25＋0.25)
s＝1.0
s，故选项B正确。
答案　B
1.(对机械振动的理解)(多选)下列运动中属于机械振动的是(　　)
A.小鸟飞走后树枝的运动
B.爆炸声引起窗子上玻璃的运动
C.匀速圆周运动
D.竖直向上抛出物体的运动
解析　物体所做的往复运动是机械振动，A、B正确；匀速圆周运动和竖直向上抛出物体的运动不是机械振动，C、D错误。
答案　AB
2.(对简谐运动的理解)(多选)如图所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定，它们组成一个振动的系统。用手把静止的钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动起来，若以竖直向下为正方向，下列说法正确的是(　　)
A.钢球运动所能达到的最低处为平衡位置
B.钢球原来静止时的位置为平衡位置
C.钢球振动到距原静止位置下方3
cm处时位移为3
cm
D.钢球振动到距原静止位置上方2
cm处时位移为2
cm
解析　振子的平衡位置是指振子原来静止时的位置，故A错误，B正确；振子的位移为从平衡位置指向某时刻所在位置的有向线段，有方向，有正负，可判断C正确，D错误。
答案　BC
3.(简谐运动各物理量的变化规律)当简谐运动的位移减小时(　　)
A.加速度减小，速度也减小
B.加速度减小，速度却增大
C.加速度增大，速度也增大
D.加速度增大，速度却减小
解析　由a＝－x知x减小，a减小，a与v同向，速度增加，B项正确。
答案　B
4.(简谐运动的对称性)如图所示为一个水平方向的弹簧振子，小球在MN间做简谐运动，O是平衡位置。关于小球的运动情况，下列描述正确的是(　　)
A.小球经过O点时速度为零
B.小球经过M点与N点时有相同的加速度
C.小球从M点向O点运动过程中，加速度增大，速度增大
D.小球从O点向N点运动过程中，加速度增大，速度减小
解析　小球经过O点时速度最大，A错误；小球在M点与N点的加速度大小相等，方向相反，B错误；小球从M点向O点运动过程中，速度增大，加速度减小，C错误；小球从O点向N点运动过程中，速度减小，加速度增大，D正确。
答案　D
基础过关
1.简谐运动是(　　)
A.匀变速运动
B.匀速直线运动
C.非匀变速运动
D.匀加速直线运动
解析　做简谐运动的物体所受回复力为F＝－kx，加速度为a＝－x，a随x的变化而变化，故是非匀变速运动，C正确，A、B、D错误。
答案　C
2.如图所示，对做简谐运动的弹簧振子m的受力分析正确的是(　　)
A.重力、支持力、弹簧的弹力
B.重力、支持力、弹簧的弹力、回复力
C.重力、支持力、回复力、摩擦力
D.重力、支持力、摩擦力
解析　回复力是振子沿振动方向的合力，是效果力而不是物体实际受到的力，B、C错误；弹簧振子做简谐运动，不受摩擦力，D错误。
答案　A
3.下列说法正确的是(　　)
A.弹簧振子的运动是简谐运动
B.简谐运动是机械运动中最简单、最基本的运动
C.简谐运动中位移的方向总是指向平衡位置
D.简谐运动中位移的方向总与速度的方向相反
解析　弹簧振子的运动就是简谐运动，但简谐运动有许多种，如水中浮标上下微小的浮动，后面将要学习的单摆在空气中的小角度摆动都是简谐运动，它是机械振动中最基本、最简单的振动，而机械运动中最基本、最简单的运动是匀速直线运动，因此选项A正确，B错误；振动中位移总是相对于平衡位置而言的，它是从平衡位置开始，总是背离平衡位置的，所以选项C错误；虽然位移方向总是背离平衡位置，但速度具有“双向性”，当质点远离平衡位置运动时，它与位移方向相同，质点向平衡位置运动时，它与位移方向相反，所以选项D错误。
答案　A
4.在下图中，能正确表示质点做简谐运动时所受回复力跟位移关系的是(　　)
解析　做简谐运动的物体的受力特征为F＝－kx，故B正确。
答案　B
5.如图所示的弹簧振子，O点为它的平衡位置，当振子m离开O点，再从A点运动到C点时，振子离开平衡位置的位移是(　　)
A.大小为OC，方向向左
B.大小为OC，方向向右
C.大小为AC，方向向左
D.大小为AC，方向向右
解析　振子离开平衡位置，以O点为起点，C点为终点，位移大小为OC，方向向右，故B正确。
答案　B
6.图中所示为一弹簧振子，O为平衡位置，以向右为正方向，则振子在B、C之间振动时(　　)
A.B→O位移为负、速度为正
B.O→C位移为正、速度为负
C.C→O位移为负、速度为正
D.O→B位移为正、速度为负
解析　速度方向即振子运动方向，而振动位移是以平衡位置O为初始位置指向振子所在位置，B→O位移向左为负，速度向右为正，故A正确；O→C位移向右为正，速度向右为正，故B错误；C→O位移向右为正，速度向左为负，故C错误；O→B位移向左为负，速度向左为负，故D错误。
答案　A
7.(多选)物体m以O点为平衡位置，在A、B间做简谐运动，如图所示，下列说法正确的是(　　)
A.物体在A、B两点的速度和加速度都是零
B.物体通过O点时，加速度方向发生变化
C.回复力方向总是跟物体速度方向相反
D.物体离开平衡位置的运动是减速运动
解析　物体做简谐运动时，通过平衡位置一次，回复力的方向变化一次，所以加速度方向改变一次，B正确；物体运动到最大位移A、B处时，回复力最大，所以加速度最大，A错误；当物体向平衡位置运动时，回复力的方向跟速度方向相同，C错误；物体由平衡位置向最大位移处运动时，回复力的方向跟速度方向相反，是减速运动，D正确。
答案　BD
8.弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中(　　)
A.振子所受的回复力逐渐增大
B.振子的位移逐渐增大
C.振子的速度逐渐减小
D.振子的加速度逐渐减小
解析　振子的位移指由平衡位置指向振动物体所在位置的位移，因而向平衡位置运动时位移逐渐减小。而回复力与位移成正比，故回复力也减小。由牛顿第二定律a＝得，加速度也减小。物体向平衡位置运动时，回复力与速度方向一致，故物体的速度逐渐增大。
答案　D
9.弹簧振子的质量是2
kg，当它运动到平衡位置左侧2
cm时，受到的回复力是4
N，当它运动到平衡位置右侧4
cm时，它的加速度是(　　)
A.2
m/s2，向右
B.2
m/s2，向左
C.4
m/s2，向右
D.4
m/s2，向左
解析　加速度方向指向平衡位置，因此方向向左。由简谐运动的回复力公式F＝－kx可知，当x＝4
cm时，回复力大小F＝8
N，所以加速度大小a＝＝4
m/s2，D正确。
答案　D
能力提升
10.水平弹簧振子做简谐运动经过A点时，加速度的大小是2
m/s2，方向指向B点；当它经过B点时，加速度的大小是3
m/s2，方向指向A点，平衡位置为O点，下面有关A、B两点的位置关系正确的是(　　)
解析　弹簧振子的加速度的方向始终指向平衡位置O，A点加速度方向指向B，B点加速度方向指向A，故O点在点A、B之间，A、B错误；弹簧振子做简谐运动经过A点时的加速度小于经过B点时的加速度，由加速度公式a＝－，可知A点距平衡位置的距离比B点距平衡位置的距离小，故C正确，D错误。
答案　C
11.如图所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，下列关于A受力的说法中正确的是(　　)
A.物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力
B.物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力
C.物块A受重力、支持力及B对它的恒定的摩擦力
D.物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力
解析　物块A受到重力、支持力和摩擦力的作用。摩擦力提供A做简谐运动所需的回复力，即fBA＝－kx，其大小和方向都随时间变化，选项D正确。
答案　D
12.如图为某鱼漂的示意图。当鱼漂静止时，水位恰好在O点。用手将鱼漂往下按，使水位到达M点。松手后，鱼漂会上下运动，水位在M、N之间来回移动。且鱼漂的运动是简谐运动。下列说法正确的是(　　)
A.水位到达N点时，鱼漂的位移向下最大
B.水位在O点时，鱼漂的速度最大
C.水位到达M点时，鱼漂具有向下的加速度
D.鱼漂由上往下运动时，速度越来越大
解析　水位由O点到N点过程，鱼漂向上运动，到达N点时，位移方向向上，达到最大，A错误；O点是平衡位置，所以水位在O点时鱼漂的速度最大，B正确；水位到达M点时，鱼漂具有向上的加速度，C错误；鱼漂由上往下运动时，可能加速也可能减速，D错误。
答案　B
13.(多选)关于质点做简谐运动，下列说法中正确的是(　　)
A.在某一时刻，它的速度与回复力的方向相同，与位移的方向相反
B.在某一时刻，它的速度、位移和加速度的方向都相同
C.在某一段时间内，它的回复力的大小增大，动能也增大
D.在某一段时间内，它的势能减小，加速度的大小也减小
解析　如图，设O为质点做简谐运动的平衡位置，由于质点受到的回复力和位移的方向总是相反的，且质点由B到O和由C到O的过程中，速度的方向与回复力的方向相同，A正确；质点的位移方向与加速度方向总相反，B错误；质点振动过程中，当回复力增大时，其势能增加，根据机械能守恒定律，其动能必然减小，C错误；当质点的势能减小时，如从C到O或从B到O阶段，回复力减小，势能减小，质点的加速度大小也减小，D正确。
答案　AD
14.如图所示，将一劲度系数为k，原长为L0的轻弹簧的一端固定在倾角为θ的光滑斜面的顶端，另一端连接一质量为m的小球。将小球沿斜面拉下一段距离后松手。证明：小球的运动是简谐运动。
证明　设小球在弹簧长度为L1时，在平衡位置O，弹簧原长L0，选沿斜面向上为正方向，则由平衡条件得k(L1－L0)－mgsin
θ＝0。当小球振动经过O点以上距O点为x处时，受力为F合＝k(L1－L0－x)－mgsin
θ，整理得F合＝－kx，因此小球的运动是简谐运动。
15.如图所示，一质量为M的无底木箱，放在水平地面上，一轻质弹簧一端悬于木箱的上边，另一端挂着用细线连接在一起的两个物体A和B，mA＝mB＝m。剪断A、B间的细线后，A做简谐运动，则当A振动到最高点时，木箱对地面的压力为多少？
解析　剪断细线前A的受力情况：重力mg，向下；细线拉力F拉＝mg，向下；弹簧对A的弹力F＝2mg，向上。此时弹簧的伸长量为Δx＝＝。剪断细线后，A做简谐运动，其平衡位置在弹簧的伸长量为Δx′＝处，最低点即刚剪断细线时的位置，离平衡位置的距离为，由简谐运动的对称性特点知，最高点离平衡位置的距离也为，所以最高点的位置恰好在弹簧的原长处。此时弹簧对木箱作用力为零，所以此时木箱对地面的压力为Mg。
答案　Mg