鲁科版（2019）高中物理 选择性必修第一册 第2章 第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度学案（含练习）

第4节　科学测量：用单摆测量重力加速度
一、实验目的
1.用单摆测量重力加速度。
2.会使用秒表测量时间。
3.能分析实验误差的来源，并能采用适当方法减小测量误差。
二、实验器材
长约1 m的细线、开有小孔的金属小球、带有铁夹的铁架台、刻度尺、秒表、游标卡尺。
三、实验原理与设计
单摆做简谐运动时，由周期公式T＝2π，可得g＝。因此，测出单摆摆长和振动周期，便可计算出当地的重力加速度。
四、实验步骤
(1)取长约1 m的细线，细线的一端连接小球，另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自由下垂，如图所示。
(2)用刻度尺测摆线长度l线，用游标卡尺测小球的直径d。测量多次，取平均值，计算摆长l＝l线＋。
(3)将小球从平衡位置拉至一个偏角小于5°的位置并由静止释放，使其在竖直面内振动。待振动稳定后，从小球经过平衡位置时开始用秒表计时，测量N次全振动的时间t，则周期T＝。如此重复多次，取平均值。
(4)改变摆长，重复实验多次。
(5)将每次实验得到的l、T代入g＝计算重力加速度，取平均值，即为测得的当地重力加速度。
五、数据处理
(1)平均值法：将测量的数据记入表格，并计算求出重力加速度g。
实验次数 摆长l/m 周期T/s 加速度g/m·s－2 g的平均值
1


g＝
2



3



(2)图像法：由T＝2π得T2＝l，作出T2－l图像，即以T2为纵轴，以l为横轴，其斜率k＝。由图像的斜率即可求出重力加速度g。
六、注意事项
1.摆线长度要远大于摆球直径，且摆线无明显伸缩性，摆球要选取密度大且质量分布均匀的钢球。
2.单摆摆球应在竖直平面内摆动，且摆角应小于5°。
3.摆长l应为悬点到球重心的距离，球质量分布均匀时等于摆线长加上小球半径。
4.从摆球经过平衡位置时开始计时，以摆球从同一方向通过平衡位置时计数。
5.适当增加测量的全振动次数，以减小测量周期的误差，一般30～50次即可。
七、误差分析
1.系统误差：空气阻力的影响、摆线有弹性、振动不严格在竖直平面内、振幅过大等。
2.偶然误差：周期测量、摆长测量时出现误差。
核心要点 　教材原型实验
[例1] 根据单摆周期公式T＝2π，可以通过实验测量当地的重力加速度。如图甲所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆。
(1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图乙所示，读数为________mm。
(2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有________。
a.摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些
b.摆球尽量选择质量大些、体积小些的
c.为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度
d.拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔Δt即为单摆周期T
e.拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝
[思路点拨]
(1)游标卡尺读数时应注意游标卡尺的零刻度线和边界线的区别。
(2)测重力加速度时应注意单摆的模型以及摆长和周期的测量。
解析　(1)根据游标卡尺的读数方法，小钢球的直径＝(18＋6×0.1) mm＝18.6 mm
(2)因为单摆的周期T＝2π与θ无关，c项错误；因为摆球会以较快的速度通过平衡位置，所以在平衡位置开始计时误差较小，同时为了减小偶然误差应测多次振动的时间并求平均值，综合看d项错误，a、b、e项正确。
答案　(1)18.6　(2)abe
[针对训练1] 实验小组的同学做“用单摆测量重力加速度”的实验。
(1)实验前他们根据单摆周期公式导出了重力加速度的表达式g＝，其中l表示摆长，T表示周期。对于此式的理解，四位同学说出了自己的观点：
同学甲：T一定时，g与l成正比
同学乙：l一定时，g与T2成反比
同学丙：l变化时，T2是不变的
同学丁：l变化时，l与T2的比值是定值
其中观点正确的是同学________(选填“甲”“乙”“丙”“丁”)。
(2)实验室有如下器材可供选用：
A.长约1 m的细线
B.长约1 m的橡皮绳
C.直径约2 cm的均匀铁球
D.直径约5 cm的均匀木球
E.秒表
F.时钟
G.最小刻度为毫米的米尺
实验小组的同学选用了最小刻度为毫米的米尺，他们还需要从上述器材中选择：________________(填写器材前面的字母)。
(3)他们将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，将其上端固定，下端自由下垂(如图所示)。用刻度尺测量悬点到________________之间的距离记为单摆的摆长l。
(4)在小球平稳摆动后，他们记录小球完成n次全振动的总时间t，则单摆的周期T＝________________。
(5)如果实验得到的结果是g＝10.09 m/s2，比当地的重力加速度值大，分析可能是哪些不当的实际操作造成这种结果，写出其中一种：__________________。
解析　(1)因为g是定值，则l变化时，l与T2的比值是定值，丁同学观点正确。
(2)根据实验原理及要求易知，他们还需要从上述器材中选择：A.长约1 m的细线；C.直径约2 cm的均匀铁球；E.秒表。
(3)用刻度尺测量悬点到小球球心之间的距离记为单摆的摆长l。
(4)单摆的周期T＝。
(5)可能是振动次数n计多了；可能是测量摆长时从悬点量到了小球底部；可能在计时的时候秒表开表晚了。
答案　(1)丁　(2)ACE　(3)小球球心　(4)　(5)可能是振动次数n计多了；可能是测量摆长时从悬点量到了小球底部；可能在计时的时候秒表开表晚了(合理即可)
核心要点 　实验的改进与创新
[例2] 用单摆测量重力加速度的实验装置如图所示。
(1)测出悬点O到小球球心的距离(摆长)l及单摆完成n次全振动所用的时间t，则重力加速度g＝________(用l、n、t表示)。
(2)下表是某同学记录的3组实验数据，并做了部分计算处理。
组次 1 2 3
摆长l/cm 80.00 90.00 100.00
50次全振动时间t/s 90.0 95.5 100.5
振动周期T/s 1.80 1.91
重力加速度g/(m·s－2) 9.74 9.73
请计算出第3组实验中的T＝________s，g＝________m/s2。
(3)用多组实验数据作出T2－l图像，也可以求出重力加速度g。已知三位同学作出的T2－l图线的示意图如图中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线b，下列分析正确的是________(选填选项前的字母)。
A.出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长l
B.出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次
C.图线c对应的g值小于图线b对应的g值
(4)某同学在家里测重力加速度。他找到细线和铁锁，制成一个单摆，如图所示，由于家里只有一根量程为0～30 cm的刻度尺，于是他在细线上的A点做了一个标记，使得悬点O到A点间的细线长度小于刻度尺量程。保持该标记以下的细线长度不变，通过改变O、A间细线长度以改变摆长。实验中，当O、A间细线的长度分别为l1、l2时，测得相应单摆的周期为T1、T2。由此可得重力加速度g＝________(用l1、l2、T1、T2表示)。
解析　(1)单摆的振动周期T＝。
根据T＝2π，
得g＝＝。
(2)T3＝＝2.01 s。
根据T＝2π，
得g＝≈9.76 m/s2。
(3)根据T＝2π，得T2＝l，
即当l＝0时，T2＝0。
出现图线a的原因是计算摆长时过短，可能是误将悬点O到小球上端的距离记为摆长，选项A错误；对于图线c，其斜率k变小了，根据k＝，可能是T变小了或l变大了，选项B中误将49次全振动记为50次，则周期T变小，选项B正确；由＝k得g＝，则k变小，重力加速度g变大，选项C错误。
(4)设A点到铁锁重心的距离为l0。
根据单摆的周期公式T＝2π，
得T1＝2π，
T2＝2π。联立以上两式，
解得重力加速度g＝－T)。
答案　(1)　(2)2.01　9.76　(3)B (4)－T)
[针对训练2] 将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图像，那么就可以通过此图像得出小筒的深度h和当地的重力加速度g。
(1)测量单摆的周期时，某同学在摆球某次通过最低点时，按下秒表开始计时，同时数“1”，当摆球第二次通过最低点时数“2”，依此法往下数，当他数到“59”时，停止计时，读出这段时间t，则该单摆的周期为(　　)
A. B.
C. D.
(2)如果实验中所得到的T2－L关系图像如图乙所示，那么真正的图像应该是a、b、c中的________。
(3)由图像可知，小筒的深度h＝________m；当地重力加速度g＝________m/s2。(π＝3.14，后一空结果取3位有效数字)
解析　(1)58个“半周期”，这段时间t含有29个周期，该单摆的周期为，选项A正确。
(2)设摆线在筒内部分的长度为h，
由T＝2π得，
T2＝L＋h，
可知T2－L关系图线为a。
(3)将T2＝0，L＝－30 cm代入上式可得
h＝30 cm＝0.3 m
将T2＝1.20 s2，L＝0代入上式可求得
g＝π2≈9.86 m/s2。
答案　(1)A　(2)a　(3)0.3　9.86
1.某实验小组在利用单摆测量当地重力加速度的实验中：
(1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图所示，则该摆球的直径为________cm。
(2)小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是________。(填选项前的字母)
A.把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时
B.测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期
C.用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大
D.选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小
解析　(1)主尺读数加游标尺读数的总和等于最后读数，0.9 cm＋7× mm＝
0.97 cm，不需要估读。
(2)单摆符合简谐运动的条件是最大偏角不超过5°，并从平衡位置计时，故A错误；若第一次过平衡位置计为“0”则周期T＝，若第一次过平衡位置计为“1”，则周期T＝，B错误；由T＝2π得g＝，其中l为摆长，即悬线长加摆球半径，若为悬线长加摆球直径，由公式知g偏大，故C正确；为了能将摆球视为质点和减少空气阻力引起的相对误差，应选密度较大体积较小的摆球，故D错误。
答案　(1)0.97　(2)C
2.(1)在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中，两位同学用游标卡尺测量小球的直径的操作如图甲、乙所示。测量方法正确的是________(选填“甲”或“乙”)。
(2)实验时，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动的最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如图丙所示。光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图丁所示，则该单摆的振动周期为________。若保持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径是原小球直径2倍的另一小球进行实验，则该单摆的周期将________(填“变大”“不变”或“变小”)，图丁中的Δt将________(填“变大”“不变”或“变小”)。
解析　(1)游标卡尺应该用两外测量爪对齐的地方测量，正确的是图乙。
(2)一个周期内小球应该两次经过最低点，使光敏电阻的阻值发生变化，故周期为t1＋2t0－t1＝2t0；小球的直径变大后，摆长变长，根据T＝2π可知，周期变大；每次经过最低点时小球的挡光的时间变长，即Δt变大。
答案　(1)乙　(2)2t0　变大　变大
3.在“用单摆测量重力加速度”的实验中：(1)摆动时偏角满足的条件是偏角小于5°，为了减小测量周期的误差，计时开始时，摆球应是经过最________(填“高”或“低”)点的位置，且用停表测量单摆完成多次全振动所用的时间，求出周期。图甲中停表示数为一单摆全振动50次所需时间，则单摆振动周期为________。
(2)用最小刻度为1 mm的刻度尺测摆长，测量情况如图乙所示。O为悬挂点，从图乙中可知单摆的摆长为________m。
(3)若用l表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g＝________。
(4)考虑到单摆振动时空气浮力的影响后，学生甲说：“因为空气浮力与摆球重力方向相反，它对球的作用相当于重力加速度变小，因此振动周期变大。”学生乙说：“浮力对摆球的影响好像用一个轻一些的摆球做实验，因此振动周期不变”，这两个学生中________。
A.甲的说法正确
B.乙的说法正确
C.两学生的说法都是错误的
解析　(1)摆球经过最低点时小球速度最大，容易观察和计时，测量周期误差小；图甲中停表的示数为1.5 min＋12.5 s＝102.5 s，则周期T＝ s＝2.05 s；
(2)从悬点到球心的距离即为摆长，可得l＝0.998 0 m；
(3)由单摆周期公式T＝2π可得g＝；
(4)由于受到空气浮力的影响，小球的质量没变而相当于小球所受重力减小，即等效重力加速度减小，因而振动周期变大，A正确。
答案　(1)低　2.05 s　(2)0.998 0　(3)　(4)A
4.在做“用单摆测量重力加速度”的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g＝________。若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是________m。若测定了40次全振动的时间如图乙中秒表所示，则秒表读数是________s，单摆摆动周期是________。
为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值。现将测得的六组数据标示在以l为横坐标、以T2为纵坐标的坐标系上，如图所示，则：
单摆做简谐运动应满足的条件是______________________________________。
试根据图中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g＝________m/s2。(结果保留2位有效数字)
解析　由T＝2π，可知g＝。
由题图可知：摆长l＝(88.50－1.00) cm＝87.50 cm＝0.875 0 m。
秒表的读数t＝60 s＋15.2 s＝75.2 s，所以T＝＝1.88 s。
单摆做简谐运动的条件是摆角θ<5°。
把在一条直线上的点连在一起，误差较大的点均匀分布在直线的两侧，则直线斜率k＝。由g＝＝，可得g≈9.9 m/s2。
答案　见解析
5.在“用单摆测量重力加速度”的实验中：
(1)利用游标卡尺测得金属小球直径如图甲所示，小球直径d＝________cm。
(2)某同学测量数据如下表，请在图乙中画出l－T2图像。
l/m 0.400 0.500 0.600 0.800 1.200
T2/s2 1.60 2.10 2.40 3.20 4.80
由图像可得重力加速度g＝________m/s2(保留3位有效数字)。
(3)某同学在实验过程中，摆长没有加小球的半径，其他操作无误，那么他得到的实验图像可能是下列图像中的________。
解析　(1)小球的直径d＝22 mm＋0.1 mm×6＝22.6 mm＝2.26 cm。
(2)l－T2图像如图所示：
由T＝2π可得l＝T2，k＝
对应图像可得k＝＝0.25
可解得g＝4π2k≈9.86 m/s2。
(3)在实验中，若摆长没有加小球的半径，其他操作无误，可得l＝T2－。故可知B正确，A、C、D均错误。
答案　(1)2.26　(2)图见解析　9.86　(3)B