课时分层作业(九) 数列的应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在金秋的苹果节上，某商家将参展的苹果摆成16层，从上到下每层的苹果数是一个等差数列．已知第8层和第9层共有苹果40个，则此商家参展的苹果共有( )
A．300个
B．320个
C．340个
D．360个
B [由题意，在等差数列{an}中，n＝16，a8＋a9＝40，
则S＝＝8(a8＋a9)＝8×40＝320.故选B.]
2．某工厂去年总产值为a，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最后一年该厂的总产值是( )
A．1.14a
B．1.15
a
C．1.16
a
D．(1＋1.15)
a
B [去年产值是a，第一年要比去年产值增加10%，那么第一年就是a＋10%a，即a(1＋0.1)，第二年又比第一年增加10%，所以第二年是a(1＋0.1)(1＋0.1)，
依此类推，第五年是a(1＋0.1)(1＋0.1)(1＋0.1)(1＋0.1)(1＋0.1)＝1.15a，故选B.]
3．某人2020年元旦存入一年期款a元，若按年利率为x的计算(不计利息税)，则到2025年元旦可取款( )
A．a(1＋x)5
B．a(1＋x)6
C．a(1＋x)4
D．a(1＋x5)
A [一年后，可取回款a(1＋x)，
二年后，可取回款a(1＋x)2，
三年后，可取回款a(1＋x)3，
四年后，可取回款a(1＋x)4，
五年后，可取回款a(1＋x)5，故选A.]
4．某县2019年12月末人口总数为57万，假如从2020年元月1日起，人口总数每月按相同数目增加，则到2020年12月末为止人口总数为57.24万，则2020年10月末的人口总数为( )
A．57.1万
B．57.2万
C．57.22万
D．57.23万
B [根据题意，某县2019年12月末人口总数为57万，从2020年元月1日起人口总数每月按相同数目增加，则每月月末的该县的总人口为等差数列，设这个数列为{an}，且a1＝57，设其公差为d(单位为万)，又由到2020年12月末为止人口总数为57.24万，则有a1＝57，a13＝57.24，则有d＝＝0.02,
2020年10月末的人口总数为即a11＝a1＋10d＝57.2.故选B.]
5．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，该女子第二天织布多少尺？( )
A.
B.
C．9
D．10
B [根据题意，该女子每天织的布组成等比数列，且其公比为2，
设该等比数列为{an}，又由她5天共织布5尺，则S5＝＝5，解可得a1＝，
则a2＝a1×q＝×2＝，故选B.]
二、填空题
6.如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2.过点A作BC的垂线，垂足为A1，过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；…，以此类推，设BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________.
[法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，
所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，…，
则A5A6＝a7＝a1×q6＝2×＝.
法二：求通项：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，
所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，…，
∴An－1An＝an＋1＝sin·an＝an.
所以{an}是以a1＝2为首项，为公比的等比数列，
故a7＝a1×q6＝2×＝.]
7．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要________秒钟．
7 [1＋2＋22＋23＋…＋2n－1≥100，
∴≥100，∴2n≥101，∴n≥7，
即至少需7秒细菌将病毒全部杀死．]
8．某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部奖金的一半多一万元，第二名得余下的一半多一万元，以名次类推都得到余下的一半多一万元，到第十名恰好分完，则此单位共拿出________万元资金进行奖励．
2
046 [设第十名到第一名得到的奖金分别是a1，a2，…，a10，
则an＝Sn＋1，∴a1＝2，an－an－1＝an，∴an＝2an－1.
则每人所得奖金数组成一个以2为首项，公比为2的等比数列，所以S10＝＝2
046.]
三、解答题
9．小张在2020年初向建行贷款50万元先购房，银行贷款的年利率为4%，要求从贷款开始到2030年要分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢(保留两位小数)？(提示：(1＋4%)10≈1.48)
[解] 50万元10年产生本息和与每年还x万元的本息和相等，故有购房款50万元十年的本息和：50(1＋4%)10，每年还x万元的本息和：x·(1＋4%)9＋x·(1＋4%)8＋…＋x＝·x，
从而有50(1＋4%)10＝·x，
解得x≈6.17，即每年至少要还6.17万元．
10．某镇投入资金进行生态环境建设，2020年度计划投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，今年该镇旅游收入估计500万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游收入每年会比上一年增加.
(1)设n年内(今年为第一年)总投入为an万元，旅游总收入为bn万元，写出an，bn的表达式；
(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入．
[解] (1)∵2020年度计划投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，今年该镇旅游收入估计500万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游收入每年会比上一年增加，
∴设n年内(今年为第一年)总投入：
故至少经过4年，旅游业的总收入才能超过总投入．
11.我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c键到下一个c1键的8个白键与5个黑键(如图)的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音c的频率正好是中音c的2倍．已知标准音a1的频率为440
Hz，那么频率为220
Hz的音名是( )
A．d
B．f
C．e
D．#d
D [从第二个单音起，每一个单音的频率与它的左边一个单音的频率的比2.故从g起，每一个单音的频率与它右边的一个单音的比为q＝2－，由220＝440×(2－)n－1，解得n＝7，频率为220
Hz的音名是#d，故选D.]
12．某大学毕业生为自主创业于2019年8月初向银行贷款240
000元，与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款，从2019年9月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为0.5%，现因经营状况良好准备向银行申请提前还款计划于2024年8月初将剩余贷款全部一次还清，则该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少( )
(注：“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率；1年按12个月计算)
A．18
000元
B．18
300元
C．28
300元
D．36
300元
B [由题意，可知：该大学毕业生两种还款方式所还的本金最终都是240
000元，
∴两种还款方式的本金没有差额．∵该大学毕业生决定2024年8月初将剩余贷款全部一次还清．∴从2019年9月初第一次还款到2024年8月初这5整年即60个月两种还款方式所还的利息也是一样的．
∴按原约定所有还款数额－按现计划的所有还款数额＝原约定还款方式从2024年9月起到最后还完这整60个月所还的利息．
∵每月应还本金：240
000÷120＝2
000(元)
2024年8月还完后本金还剩240
000－2000×60＝120
000(元)．
∴2024年9月应还利息为：120
000×0.5%，
2024年10月应还利息为：(120
000－2
000)×0.5%，
2024年11月应还利息为：(120
000－2
000×2)×0.5%，
…
最后一次应还利息为：(120
000－2
000×59)×0.5%.
后60个月所还的利息为：120
000×0.5%＋(120
000－2
000)×0.5%＋(120
000－2
000×2)×0.5%＋…＋(120
000－2
000×59)×0.5%＝0.5%×[120
000＋(120
000－2
000)＋(120
000－2
000×2)
＋…＋(120
000－2
000×59)]＝0.5%×[120
000×60－2
000×(1＋2＋…＋59)]
＝18
300(元)．故选B.]
13．某市利用省运会的契机，鼓励全民健身，从7月起向全市投放A，B两种型号的健身器材．已知7月投放A型健身器材300台，B型健身器材64台，计划8月起，A型健身器材每月的投放量均为a台，B型健身器材每月的投放量比上一月多50%，若12月底该市A，B两种健身器材投放总量不少于2
000台，则a的最小值为________．
74 [设B型健身器材这6个月投放量为{bn}，则bn是以b1＝64为首项，q＝的等比数列，q≠1，∴其前6项和为S6＝＝1
330，∴5a＋300＋1
330≥2
000，解得a≥74，故a的最小值为74.]
14．今年“五一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来…
按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是____．
4
039 [设每个30分钟进去的人数构成数列{an}，则a1＝2＝2－0，a2＝4－1，a3＝8－2，a4＝16－3，a5＝32－4，…，an＝2n－(n－1)．
设数列{an}的前n项和为Sn，依题意，只需求
S11＝(2－0)＋(22－1)＋(23－2)＋…＋(211－10)
＝(2＋22＋23＋…＋211)－(1＋2＋…＋10)＝－＝212－2－55＝212－57＝4
039.]
15．某地区位于沙漠边缘地带，到2019年底该地区的绿化率只有30%，计划从2020年开始加大沙漠化改造的力度，每年原来沙漠面积的16%，将被植树改造为绿洲．但同时原有绿洲面积的4%还会被沙漠化．
(1)设该地区的面积为1,2019年绿洲面积为a1＝，经过一年绿洲面积为a2，…，经过n年绿洲面积为an＋1，求证：an＋1＝an＋；
(2)求证：{an＋1－}是等比数列；
(3)问至少需要经过多少年努力，才能使该地区的绿洲面积超过60%？(取lg
2＝0.3)
[解] (1)证明：设2019年底沙漠面积为b1，经过n年沙漠面积为bn＋1，则an＋bn＝1，
依题意，an＋1由两部分组成，一部分是原有的绿洲面积减去沙漠化后剩下的面积为96%an，
另一部分是新绿洲化的面积16%bn，
∴an＋1＝96%an＋16%bn＝an＋.
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