课时分层作业(十) 数学归纳法
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N＋)，第一步验证( )
A．n＝1
B．n＝2
C．n＝3
D．n＝4
C [由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．]
2．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则( )
A．f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
B．f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
C．f(n)共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋
D．f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
D [结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n＋1，…，n2的连续自然数共有n2－n＋1个，且f(2)＝＋＋.]
3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1(n∈N＋)时，等式左边应在n＝k的基础上加上( )
A．k2＋1
B．(k＋1)2
C.
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
D [当n＝k时，等式左边＝1＋2＋…＋k2，当n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，故选D.]
4．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
D [对于A，若f(3)≥9成立，由题意只可得出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错；对于B，若f(5)≥25成立，则当k≥5时均有f(k)≥k2成立，故B错；对于C，应改为“若f(7)≥49成立，则当k≥7时，均有f(k)≥k2成立．”]
5．k(k≥3，且k∈N
)棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为( )
A．f(k)＋k＋1
B．f(k)＋k
C．f(k)＋k－1
D．f(k)＋k－2
C [三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面，五棱柱有5个对角面，六棱柱有9个对角面，…猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱有f(k)＋k－1个对角面．]
二、填空题
6．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________．
f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2 [∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，
f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，
∴f(k＋1)－f(k)＝(2k＋1)2＋(2k＋2)2，
即f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.]
7．用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上________．
－ [因为当n＝k时，左端＝1－＋－＋…＋－，当n＝k＋1时，左端＝1－＋－＋…＋－＋－.所以，左端应在n＝k的基础上加上－.]
8．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N
)，依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________．
Sn＝ [S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，猜想Sn＝.]
三、解答题
9．用数学归纳法证明：1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N＋)．
[证明] (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即1＋3＋…＋(2k－1)＝k2，
那么，当n＝k＋1时，1＋3＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
也就是说，当n＝k＋1时等式成立．
根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n都成立．
10．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋1)．
[证明] (1)当n＝2时，左边＝1＋＋，右边＝2，左边<右边，不等式成立．
(2)假设当n＝k时，不等式成立，即1＋＋＋…＋由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立．
11．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应写成( )
A．假设n＝2k＋1(k∈N＋)时正确，再推n＝2k＋3时正确
B．假设n＝2k－1(k∈N＋)时正确，再推n＝2k＋1时正确
C．假设n＝k(k∈N＋)时正确，再推n＝k＋1时正确
D．假设n＝k(k∈N＋)时正确，再推n＝k＋2时正确
B [∵n为正奇数，∴在证明时，归纳假设应写成：
假设n＝2k－1(k∈N＋)时正确，再推出n＝2k＋1时正确．故选B.]
12．对于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：
(1)当n＝1时，≤1＋1，不等式成立；
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即≤k＋1，则当n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立．
上述证法( )
A．过程全都正确
B．n＝1验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
D [n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，这不符合数学归纳法的证题要求．故选D.]
13．(一题多空)用数学归纳法证明不等式＋＋＋…＋>(n≥2)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式的左边增加了两项________和______，减少了一项________．
[n＝k时，左边为＋＋…＋，①
n＝k＋1时，左边为＋＋…＋＋＋，②
比较①②可知增加了两项：和，减少了一项.]
14．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N
)，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数的个数为________．
2k [观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，
f(2k)＝1＋＋＋…＋，而f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋.
因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项．]
15．设函数y＝f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.
(1)求f(0)的值；
(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；
(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N＋)的表达式，并用数学归纳法加以证明．
[解] (1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0?f(0)＝0.
(2)f(1)＝1，f(2)＝f(1＋1)＝1＋1＋2＝4，
f(3)＝f(2＋1)＝4＋1＋2×2×1＝9，
f(4)＝f(3＋1)＝9＋1＋2×3×1＝16.
(3)猜想f(n)＝n2，
下面用数学归纳法证明．
当n＝1时，f(1)＝1满足条件．
假设当n＝k(k∈N＋)时成立，即f(k)＝k2，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2k＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，从而可得当n＝k＋1时满足条件，所以对任意的正整数n，都有f(n)＝n2.
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