课时分层作业(十一) 函数的平均变化率
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为( )
A．3
B．2
C．1
D．4
B [由已知得：＝3，
∴m＋1＝3，∴m＝2.]
2．已知函数f(x)＝－x2＋x，则f(x)从－1到－0.9的平均变化率为( )
A．3
B．0.29
C．2.09
D．2.9
D [f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2.
f(－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71.
∴平均变化率为＝＝2.9，故选D.]
3．一运动物体的运动路程S(x)与时间x的函数关系为S(x)＝－x2＋2x，则S(x)从2到2＋Δx的平均速度为( )
A．2－Δx
B．－2－Δx
C．2＋Δx
D．(Δx)2－2·Δx
B [∵S(2)＝－22＋2×2＝0，
∴S(2＋Δx)＝－(2＋Δx)2＋2(2＋Δx)
＝－2Δx－(Δx)2，
∴＝－2－Δx，故选B.]
4．已知函数y＝x2＋1的图像上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则等于( )
A．2
B．2Δx
C．2＋Δx
D．2＋(Δx)2
C [2＋Δy＝f(1＋Δx)＝(1＋Δx)2＋1＝2＋2Δx＋(Δx)2，
∴Δy＝(Δx)2＋2Δx，∴＝2＋Δx.]
5．函数y＝x2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，则( )
A．k1>k2
B．k1C．k1＝k2
D．不确定
A [∵k1＝＝2x0＋Δx，
k2＝＝2x0－Δx，
又由题意知Δx>0，故k1>k2.]
二、填空题
6．已知函数y＝f(x)＝，则此函数在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率为________．
－ [＝＝＝.]
7．已知函数f(x)＝x2＋4上两点A、B，xA＝1，xB＝1.3，则直线AB的斜率为________．
2．3 [f(1)＝5，f(1.3)＝5.69.∴kAB＝＝＝2.3.]
8．在北京奥运会上，牙买加飞人博尔特刷新了百米世界纪录9.69秒，通过计时器发现前50米用时5.50秒，那么在后50米他的平均速度是________米/秒．(最后结果精确到0.01)
11．93 [Δs＝100－50＝50，Δt＝9.69－5.50＝4.19，＝≈11.93米/秒．]
三、解答题
9．计算函数f(x)＝x2在区间[1,1＋Δx]上(Δx>0)的平均变化率，其中Δx的值为：
(1)2；(2)1；(3)0.1；(4)0.01.
并思考：当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
[解] ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－12
＝(Δx)2＋2Δx，
∴＝＝Δx＋2.
(1)当Δx＝2时，＝Δx＋2＝4；
(2)当Δx＝1时，＝Δx＋2＝3；
(3)当Δx＝0.1时，＝Δx＋2＝2.1；
(4)当Δx＝0.01时，＝Δx＋2＝2.01.
当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变小，并接近于2.
10．若函数y＝f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的取值范围．
[解] ∵函数y＝f(x)在[2,2＋Δx]上的平均变化率为＝＝＝＝－3－Δx，
∴由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.又∵Δx>0，∴Δx>0，即Δx的取值范围是(0，＋∞)．
11．设函数f(x)＝2x＋1在区间[－3，－1]上的平均变化率为a，在区间[3,5]上的平均变化率为b，则下列结论中正确的是( )
A．a>b
B．aC．a＝b
D．不确定
C [由已知可得a＝＝2，b＝＝2，因此a＝b.]
12．在x＝1附近取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝中，平均变化率最大的是( )
A．④
B．③
C．②
D．①
B [根据平均变化率的定义计算知y＝x3的最大．]
13．(一题两空)已知曲线y＝x2－1上两点A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是________．
5 4.1 [当Δx＝1时，割线AB的斜率
k1＝＝＝＝5.
当Δx＝0.1时，割线AB的斜率
k2＝＝＝4.1.]
14.物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图，则在0到t0范围内甲的平均速度________乙的平均速度(填“等于”“大于”或“小于”)．
等于 [由图可知，在[0，t0]上，甲的平均速度与乙的平均速度相同．]
15．路灯距地面8
m，一个身高为1.6
m的人以84
m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线离开路灯．
(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；
(2)求人离开路灯的第一个10
s内身影的平均变化率．
[解] (1)如图所示，设人从C点运动到B处的路程为x
m，AB为身影长度，AB的长度为y
m，由于CD∥BE，则＝，
即＝，
所以y＝f(x)＝x.
(2)84
m/min＝1.4
m/s，在[0,10]内自变量的增量为
x2－x1＝1.4×10－1.4×0＝14，
f(x2)－f(x1)＝×14－×0＝.
所以＝＝.
即人离开路灯的第一个10
s内身影的平均变化率为.
2/5
