课时分层作业(十二) 导数及其几何意义
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下面说法正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
C [根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误．]
2．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则( )
A．f′(x0)>0
B．f′(x0)＝0
C．f′(x0)<0
D．f′(x0)不存在
C [切线的斜率为k＝－2，
由导数的几何意义知f′(x0)＝－2<0，故选C.]
3．已知曲线f(x)＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是( )
A．(1,1)
B．(－1,1)
C．(1,1)或(－1，－1)
D．(2,8)或(－2，－8)
C [设P(x0，y0)，则f′(x0)＝
＝[3x＋3x0·Δx＋(Δx)2]＝3x.
由题意，知切线斜率k＝3，令3x＝3，得x0＝1或x0＝－1.
当x0＝1时，y0＝1；当x0＝－1时，y0＝－1.
故点P的坐标是(1,1)或(－1，－1)，故选C.]
4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝a
B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a
D．f′(x0)＝b
C [∵f′(x0)＝
＝
＝
(a＋bΔx)＝a，
∴f′(x0)＝a.]
5．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A．4x－y－4＝0
B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0
D．x＋4y＋3＝0
A [设切点为(x0，y0)，
∵f′(x0)＝
＝
(2x0＋Δx)＝2x0.
由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，
∴x0＝2，∴切点坐标为(2,4)，∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故选A.]
二、填空题
6．已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝f′(x)的图像可能是__________．(填序号)
② [由y＝f(x)的图像及导数的几何意义可知，当x<0时，f′(x)>0；当x＝0时，f′(x)＝0；当x>0时，f′(x)<0.故②符合．]
7．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2
s时的瞬时速度为8
m/s，则常数a＝________.
2 [因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，
所以＝4a＋aΔt，故当t＝2时，瞬时速度为
＝4a，所以4a＝8，所以a＝2.]
8．若f′(x0)＝1，则
＝__________.
－ [
＝－
＝－f′(x0)＝－.]
三、解答题
9．试求过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程．
[解] 设所求切线的切点为A(x0，y0)，
则f′(x0)＝li
＝
＝2x0.
∵点A在曲线y＝x2上，∴y0＝x，
又∵A是切点，∴过点A的切线的斜率k＝2x0，
∵所求切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点，
∴其斜率为＝.
∴2x0＝，解得x0＝1或x0＝5.
从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)．
当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2；
当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10.
∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，即y＝2x－1和y＝10x－25.
10．“菊花”烟花是壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，求烟花在t＝2
s时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况．
[解] 烟花在t＝2
s时的瞬时速度就是h′(2)．
而＝＝－4.9－4.9Δt，
所以h′(2)＝
＝
(－4.9－4.9Δt)＝－4.9，
即在t＝2
s时，烟花正以4.9
m/s的瞬时速度下降．
如图，结合导数的几何意义，我们可以看出：
在t＝1.5
s附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0，达到最高点并爆裂；
在0～1.5
s之间，曲线在任何点处的切线斜率都大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空；
在1.5
s后，曲线在任何点处的切线斜率都小于0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下降，直到落地．
11．(多选题)直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则( )
A．a＝－1
B．b＝3
C．k＝2
D．f′(1)＝2
ABCD [依导数定义可求得，由此解得ABCD正确．]
12．设f(x)在x＝1附近有定义，且满足
＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2
B．－1
C．1
D．－2
D [∵
＝
＝－1，
∴
＝－2，即f′(1)＝－2.
由导数的几何意义知，曲线在点(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝－2，故选D.]
13．一物体位移s和时间t的关系是s＝2t－3t2，则物体的初速度是__________．
2 [因为s′(0)＝
＝
＝
＝
(2－3Δt)
＝2.
所以物体的初速度是v0＝2.]
14．已知f′(x0)>0，若a＝
，b＝
，c＝
，
d＝
，e＝
，
则a，b，c，d，e的大小关系为__________．
c>a＝d＝e>b [a＝
＝f′(x0)，
b＝
＝－
＝－f′(x0)，
c＝
＝2
＝2f′(x0)，
d＝
＝f′(x0)，
e＝
＝f′(x0)．即c>a＝d＝e>b.]
15．已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公切线，求a，b的值．
[解] 因为f′(1)＝
＝
＝2a，
所以f′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a.
因为g′(1)＝
＝
＝3＋b，
所以g′(1)＝3＋b，即切线的斜率k2＝3＋b.
因为在交点(1，c)处有公切线，
所以2a＝3＋b.
又因为c＝a＋1，c＝1＋b，
所以a＋1＝1＋b，即a＝b，
由得
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