课时分层作业(十三) 基本初等函数的导数
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列结论正确的是( )
A．若y＝cos
x，则y′＝sin
x
B．若y＝sin
x，则y′＝－cos
x
C．若y＝，则y′＝－
D．若y＝，则y′＝
C [∵(cos
x)′＝－sin
x，∴A不正确；
∵(sin
x)′＝cos
x，∴B不正确；
∵()′＝，∴D不正确．]
2．在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为( )
A．(1,1)
B．(－1，－1)
C．(－1,1)
D．(1,1)或(－1，－1)
D [切线的斜率k＝tan
π＝－1，
设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1，
又f′(x)＝－，∴－＝－1，∴x0＝1或－1，
∴切点坐标为(1,1)或(－1，－1)．故选D.]
3．对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为( )
A．f(x)＝x3
B．f(x)＝x4－2
C．f(x)＝x3＋1
D．f(x)＝x4－1
B [由f′(x)＝4x3知f(x)中含有x4项，然后将x＝1代入选项中验证可得，选B.]
4．已知曲线y＝x3在点(2,8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b＝( )
A．4
B．－4
C．28
D．－28
C [∵y′＝3x2，
∴点(2,8)处的切线斜率k＝f′(2)＝12.
∴切线方程为y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16，
∴k＝12，b＝－16，∴k－b＝28.]
5．若f(x)＝sin
x，f′(α)＝，则下列α的值中满足条件的是( )
A.
B.
C.π
D.π
A [∵f(x)＝sin
x，∴f′(x)＝cos
x.
又∵f′(α)＝cos
α＝，∴α＝2kπ±(k∈Z)．
当k＝0时，α＝.]
二、填空题
6．若f(x)＝，且f′(α)＝，则α＝________.
4 [因为f′(x)＝，所以f′(α)＝＝，解得α＝4.]
7．已知函数y＝f(x)的图像在M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝__________.
3 [依题意知，f(1)＝×1＋2＝，
f′(1)＝，∴f(1)＋f′(1)＝＋＝3.]
8．直线y＝x＋b是曲线y＝ln
x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________.
ln
2－1 [设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝ln
x0.
∵y′＝(ln
x)′＝，由题意知＝，
∴x0＝2，y0＝ln
2.
由ln
2＝×2＋b，得b＝ln
2－1.]
三、解答题
9．若质点P的运动方程是s＝(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t＝8
s时的瞬时速度．
[解] ∵s′＝()′＝(t)′＝t－，
∴s′|t＝8＝×8－＝×2－1＝，
∴质点P在t＝8
s时的瞬时速度为
m/s.
10．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点．
(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；
(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
[解] (1)因为y′＝2x.
P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点．
过P点的切线的斜率k1＝－2，
过Q点的切线的斜率k2＝4，
过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，
即2x＋y＋1＝0.
过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)直线PQ的斜率k＝＝1，设切点为(x0，x)，因为y′＝2x，所以切线的斜率k＝2x0＝1，
所以x0＝，所以切点M，
与PQ平行的切线方程为y－＝x－，
即4x－4y－1＝0.
11．设f0(x)＝sin
x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2
020(x)＝( )
A．sin
x
B．－sin
x
C．cos
x
D．－cos
x
A [f0(x)＝sin
x，f1(x)＝f0′(x)＝(sin
x)′＝cos
x，
f2(x)＝f1′(x)＝(cos
x)′＝－sin
x，f3(x)＝f2′(x)＝(－sin
x)′＝－cos
x，f4(x)＝f3′(x)＝(－cos
x)′＝sin
x，所以4为最小正周期．
故f2
020(x)＝f4(x)＝sin
x．]
12．(多选题)下列曲线的切线中，不存在互相垂直的切线的曲线是( )
A．f(x)＝ex
B．f(x)＝x3
C．f(x)＝ln
x
D．f(x)＝sin
x
ABC [若存在互相垂直的切线，则其斜率之积为－1，或一条切线的斜率不存在，另一条切线的斜率为0.
A中，f′(x)＝ex>0，B中f′(x)＝3x2≥0，C中f′(x)＝(x>0)，故ABC中均不存在互相垂直的切线方程．而D中f′(x)＝cos
x，其可正可负，一定存在使cos
x1·cos
x2＝－1的情形，故选ABC.]
13．若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________.
64 [因为y′＝－x－，所以曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线方程为：
y－a－＝－a－(x－a)，令x＝0得y＝a－，令y＝0得x＝3a，
所以·a－·3a＝18，解得a＝64.]
14．(一题两空)曲线y＝xn＋1(n∈N
)在点(1,1)处的切线方程为________，其与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn＝________.
y＝(n＋1)x－n [∵y′＝(n＋1)xn，∴y′|x＝1＝n＋1.∴曲线y＝xn＋1(n∈N
)在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，即y＝(n＋1)x－n.
令y＝0得x＝，∴xn＝，
∴x1·x2·…·xn＝×××…×＝.]
15．点P是f(x)＝x2上任意一点，求点P到直线y＝x－1的最短距离．
[解] 与直线y＝x－1平行的f(x)＝x2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最小．设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝1，
∴x0＝，y0＝.即P到直线y＝x－1的距离最短．
∴d＝＝.
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