课时分层作业(十四) 求导法则及其应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( )
A．y＝un，u＝x2－1
B．y＝(u－1)n，u＝x2
C．y＝tn，t＝(x2－1)n
D．y＝(t－1)n，t＝x2－1
[答案] A
2．若f(x)＝，则f(x)的导数是( )
A.
B.
C.
D.
A [f′(x)＝
＝.]
3．函数y＝xln(2x＋5)的导数为( )
A．ln(2x＋5)－
B．ln(2x＋5)＋
C．2xln(2x＋5)
D.
B [y′＝[xln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x··(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋.]
4．函数f(x)＝x＋xln
x在(1,1)处的切线方程为( )
A．2x＋y－1＝0
B．2x－y－1＝0
C．2x＋y＋1＝0
D．2x－y＋1＝0
B [∵f′(x)＝(x＋xln
x)′
＝1＋x′ln
x＋x(ln
x)′
＝1＋ln
x＋1＝2＋ln
x，
∴f′(1)＝2＋ln
1＝2，
∴函数f(x)在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0.]
5．函数y＝cos
2x＋sin的导数为( )
A．－2sin
2x＋
B．2sin
2x＋
C．－2sin
2x＋
D．2sin
2x－
A [y′＝－sin
2x·(2x)′＋cos
·()′
＝－2sin
2x＋·cos
＝－2sin
2x＋.]
二、填空题
6．若曲线y＝xln
x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
(e，e) [设P(x0，y0)．∵y＝xln
x，∴y′＝ln
x＋x·＝1＋ln
x.
∴k＝1＋ln
x0.又k＝2，∴1＋ln
x0＝2，∴x0＝e.
∴y0＝eln
e＝e.∴点P的坐标是(e，e)．]
7．已知函数f(x)＝f′sin
x＋cos
x，则f′＝________.
－ [∵f′(x)＝f′cos
x－sin
x，
∴f′＝f′cos
－sin
＝－1，
∴f′(x)＝－cos
x－sin
x，
∴f′＝－cos
－sin
＝－.]
8．若函数为y＝sin4x－cos4x，则y′＝________________.
2sin
2x [∵y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)·(sin2x－cos2x)＝－cos
2x，
∴y′＝(－cos
2x)′＝－(－sin
2x)·(2x)′＝2sin
2x.]
三、解答题
9．求下列函数的导数．
(1)y＝；
(2)y＝esin
x；
(3)y＝sin；
(4)y＝5log2(2x＋1)．
[解] (1)设y＝u，u＝1－2x2，
则y′＝(u)′(1－2x2)′＝·(－4x)
＝(1－2x2)－(－4x)＝.
(2)设y＝eu，u＝sin
x，
则yx′＝yu′·ux′＝eu·cos
x＝esin
xcos
x.
(3)设y＝sin
u，u＝2x＋，
则yx′＝yu′·ux′＝cos
u·2＝2cos.
(4)设y＝5log2u，u＝2x＋1，
则y′＝yu′·ux′＝＝.
10．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
[解] 因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.
令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，
所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.
则f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.
又f′(1)＝2×＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.
11．(多选题)若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则实数a的值为( )
A．－
B．－1
C．－
D．7
BC [设过点(1,0)的直线与曲线y＝x3相切于点(x0，y0)，则
切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x，
又点(1,0)在切线上，故3x－2x＝0，即x0＝0或x0＝.
当x0＝0时，切线方程为y＝0，
由y＝0与y＝ax2＋x－9相切得a＝－.
当x0＝时，切线方程为y＝x－，
由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切得a＝－1.故选BC.]
12．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
D [因为y＝，
所以y′＝＝＝.
因为ex>0，所以ex＋≥2，
所以y′∈[－1,0)，
所以tan
α∈[－1,0)．
又因为α∈[0，π)，所以α∈.]
13．曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为______.
5x＋y－3＝0 [因为y′＝e－5x(－5x)′＝－5e－5x，
所以y′|x＝0＝－5，故切线方程为y－3＝－5(x－0)，
即5x＋y－3＝0.]
14．(一题两空)设函数f(x)＝x3＋x2＋tan
θ，其中θ∈，则导数f′(1)＝________，其取值范围是________．
2sinθ＋ [，2] [f′(x)＝sin
θ·x2＋cos
θ·x，
∴f′(1)＝sin
θ＋cos
θ＝2sin.
∵θ∈，∴sin∈，
∴2sin∈[，2]．]
15．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
[解] (1)f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
由题意得
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
(2)∵曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
∴关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，
即4a2＋4a＋1＞0，∴a≠－.
∴a的取值范围为∪.
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