课时分层作业(十五) 导数与函数的单调性
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．函数y＝x＋xln
x的单调递减区间是( )
A．(－∞，e－2)
B．(0，e－2)
C．(e－2，＋∞)
D．(e2，＋∞)
B [因为y＝x＋xln
x，所以定义域为(0，＋∞)．
令y′＝2＋ln
x<0，解得0即函数y＝x＋xln
x的单调递减区间是(0，e－2)，
故选B.]
2．如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图像，则下面判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数
B．在区间(1,3)上f(x)是减函数
C．在区间(4,5)上f(x)是增函数
D．在区间(3,5)上f(x)是增函数
C [由导函数f′(x)的图像知在区间(4,5)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在(4,5)上单调递增．故选C.]
3．若函数f(x)＝ax3－x在R上是减函数，则( )
A．a≤0
B．a<1
C．a<2
D．a≤
A [f′(x)＝3ax2－1.因为函数f(x)在R上是减函数，所以f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，所以a≤0.故选A.]
4．已知函数f(x)＝＋ln
x，则有( )
A．f(2)＜f(e)＜f(3)
B．f(e)＜f(2)＜f(3)
C．f(3)＜f(e)＜f(2)
D．f(e)＜f(3)＜f(2)
A [因为在定义域(0，＋∞)上，f′(x)＝＋＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)＜f(e)＜f(3)．故选A.]
5．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2.则f(x)>2x＋4的解集为( )
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－∞，＋∞)
B [构造函数g(x)＝f(x)－(2x＋4)，
则g(－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f′(x)>2.
∴g′(x)＝f′(x)－2>0，∴g(x)是R上的增函数．
∴f(x)>2x＋4?g(x)>0?g(x)>g(－1)，
∴x>－1.]
二、填空题
6．函数f(x)＝x－2sin
x在(0，π)上的单调递增区间为_________.
[令f′(x)＝1－2cos
x>0，则cos
x<，又x∈(0，π)，解得7．函数y＝x3－ax2＋x－2a在R上不是单调函数，则a的取值范围是________．
(－∞，－1)∪(1，＋∞) [y′＝x2－2ax＋1有两个不相等零点，得Δ＝(－2a)2－4>0，得a2>1，解得a<－1或a>1.]
8．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是__________．
(0，＋∞) [若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0.]
三、解答题
9．若函数f(x)＝x3－mx2＋2m2－5的单调递减区间是(－9,0)，求m的值及函数的其他单调区间．
[解] 因为f′(x)＝3x2－2mx，
令f′(x)<0，即3x2－2mx<0.
由题意，知3x2－2mx<0的解集为(－9,0)，
即方程3x2－2mx＝0的两根为x1＝－9，x2＝0.
由根与系数的关系，
得－＝－9，即m＝－.
所以f′(x)＝3x2＋27x.
令3x2＋27x>0，解得x>0或x<－9.
故(－∞，－9)，(0，＋∞)是函数f(x)的单调递增区间．
综上所述，m的值为－，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－9)，(0，＋∞)．
10．已知函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．
[解] 由题意可知a<0，b<0.
由y＝ax3＋bx2＋5得y′＝3ax2＋2bx.
令y′>0得3ax2＋2bx>0，
∴－由y′<0得3ax2＋2bx<0，
∴x<－或x>0，
∴函数y＝ax3＋bx2＋5的单调递增区间为eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－，0))，单调递减区间为eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(，－))和(0，＋∞)．
11．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图像如图所示，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图像可能是( )
D [由题图，知函数g′(x)为增函数，f′(x)为减函数，且都在x轴上方，所以g(x)的图像上任一点的切线的斜率都大于0且在增大，而f(x)的图像上任一点的切线的斜率都大于0且在减小．又由f′(x0)＝g′(x0)，即y＝(x)，y＝g(x)的图像在x＝x0处的切线的斜率相等，知选D.]
12．(多选题)设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当aA．f(x)g(x)>f(b)g(b)
B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(b)>f(b)g(x)
D．f(a)g(b)>f(b)g(a)
CD [因为′＝.又因为f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，所以在R上为减函数．又因为a>，又因为f(x)>0，g(x)>0，所以f(x)g(b)>f(b)g(x)，f(a)·g(b)>g(a)f(b)．因此选CD.]
13．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围为________．
[f′(x)＝3x2＋2x＋m，由于f(x)是R上的单调函数，
所以f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立．
由于导函数的二次项系数3>0，所以只能有f′(x)≥0恒成立．
法一：由上述讨论可知要使f′(x)≥0恒成立，只需使方程3x2＋2x＋m＝0的判别式Δ＝4－12m≤0，故m≥.
经检验，当m＝时，只有个别点使f′(x)＝0，符合题意．
所以实数m的取值范围是m≥.
法二：3x2＋2x＋m≥0恒成立，即m≥－3x2－2x恒成立．
设g(x)＝－3x2－2x＝－32＋，易知函数g(x)在R上的最大值为，
所以m≥.
经检验，当m＝时，只有个别点使f′(x)＝0，符合题意．
所以实数m的取值范围是m≥.]
14．(一题两空)函数f(x)＝的增区间是________，曲线f(x)在点(1,1)处的切线方程是________．
(0,1) y＝1 [f′(x)＝－(x>0)，
令f′(x)>0得0故函数f(x)的增区间是(0,1)．
又f′(1)＝0，故f(x)在(1,1)处的切线方程为y＝1.]
15．设函数f(x)＝a2ln
x－x2＋ax(a>0)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．
[解] (1)∵f(x)＝a2ln
x－x2＋ax，其中x>0，
∴f′(x)＝－2x＋a
＝－，
由于a>0，∴f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)．
(2)由题意得，f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e，
由(1)知f(x)在[1，e]上单调递增，
要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立，
只要
解得a＝e.
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