课时分层作业(十六) 函数的导数与极值
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列结论中，正确的是( )
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值
C．如果在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值
D．如果在x0点附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值
B [根据极值的概念，左侧f′(x)>0，单调递增；右侧f′(x)<0，单调递减，f(x0)为极大值．]
2．设函数f(x)＝＋ln
x，则( )
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
D [f′(x)＝－，令f′(x)＝0，即－＝0，得x＝2，
当x∈(0,2)时，f′(x)<0，
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.
因此x＝2为f(x)的极小值点，故选D.]
3．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝x·f′(x)的图像的一部分如图所示，则( )
A．f(x)的极大值为f()，极小值为f(－)
B．f(x)的极大值为f(－)，极小值为f()
C．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)
D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)
D [当x<－3时，y＝xf′(x)>0，即f′(x)<0；
当－3
3时，f′(x)<0.
∴f(x)的极大值是f(3)，f(x)的极小值是f(－3)．]
4．函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则点(a，b)为( )
A．(3，－3)
B．(－4,11)
C．(3，－3)或(－4,11)
D．不存在
B [f′(x)＝3x2－2ax－b，
∵当x＝1时，f(x)有极值10，
∴
解得或
验证知当a＝3，b＝－3时，在x＝1处无极值，
∴a＝－4，b＝11.]
5．函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是( )
A．(0,3)
B．(－∞，3)
C．(0，＋∞)
D.
D [令y′＝3x2－2a＝0，得x＝±.
由题意知，当a>0时，有∈(0,1)，即0<<1，解得0二、填空题
6．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．
y＝－ [令y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex＝0，
得x＝－1，∴y＝－，
∴函数y＝xex在极值点处的切线方程为y＝－.]
7．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋2，其导函数f′(x)的图像如图所示，则函数的极小值是________．
2 [由图像可知，当x<0时，f′(x)<0，
当00，故当x＝0时，函数f(x)取极小值f(0)＝2.]
8．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围为________．
(－∞，－1) [∵y＝ex＋ax，
∴y′＝ex＋a，令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，
即x＝ln(－a)，又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1.]
三、解答题
9．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln
x＋bx2＋x的两个极值点．
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
[解] (1)因为f(x)＝aln
x＋bx2＋x，
所以f′(x)＝＋2bx＋1.
依题意得f′(1)＝f′(2)＝0，即
解方程组得a＝－，b＝－.
(2)由(1)知，f(x)＝－ln
x－x2＋x(x>0)，
故f′(x)＝－－x＋1＝.
当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,2)时，f′(x)>0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0.
故在x＝1处函数f(x)取得极小值，在x＝2处函数取得极大值－ln
2.
所以x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点．
10．已知函数f(x)＝，若函数在区间(其中a>0)上存在极值，求实数a的取值范围．
[解] 因为f(x)＝，x>0，
则f′(x)＝－，
当00，
当x>1时，f′(x)<0.
所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以函数f(x)在x＝1处取得极大值．
因为函数f(x)在区间(其中a>0)上存在极值，
所以解得11.(多选题)函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图像如图所示，则下面结论正确的是( )
A．在(1,2)上函数f(x)为增函数
B．在(3,4)上函数f(x)为减函数
C．在(1,3)上函数f(x)有极大值
D．x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
ABC [由图可知，当1＜x＜2时，f′(x)＞0，
当2＜x＜4时，f′(x)＜0，
当4＜x＜5时，f′(x)＞0，
∴x＝2是函数f(x)的极大值点，x＝4是函数f(x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误．]
12．如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图像，则x＋x等于( )
A.
B.
C.
D.
C [函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图像过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得d＝0，b＋c＋1＝0,4b＋2c＋8＝0，则b＝－3，c＝2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c＝3x2－6x＋2，且x1，x2是函数f(x)＝x3－3x2＋2x的两个极值点，即x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的实根，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.]
13．(一题两空)已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴相切于(1,0)点，则f(x)的极大值为________，极小值为________．
0 [f′(x)＝3x2－2px－q，
依题意知，∴
解得p＝2，q＝－1.
∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝.
∴当x∈时，f′(x)>0，
当x∈时，f′(x)<0，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
∴当x＝时，函数有极大值f＝3－2×2＋＝，
当x＝1时，函数有极小值f(1)＝1－2＋1＝0.]
14．已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)上有两个极值点，则实数m的取值范围为________．
(3，＋∞) [f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.
因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，
所以导数f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)上与x轴有两个不同的交点，
如图所示．
所以
解得m>3.故实数m的取值范围是(3，＋∞)．]
15．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？
[解] (1)∵f′(x)＝3x2－2x－1，
令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴f(x)的极大值是f
＝＋a，
极小值是f(1)＝a－1.
(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，
由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，
x取足够小的负数时，有f(x)<0，
∴曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．
由(1)知f(x)极大值＝f
＝＋a，
f(x)极小值＝f(1)＝a－1.
∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，
∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，
即＋a<0或a－1>0，∴a<－或a>1，
∴当a∈∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．
7/7课时分层作业(十七) 函数最值的求法
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m的值为( )
A．16
B．12
C．32
D．6
C [∵f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，由f(－3)＝17，f(3)＝－1，f(－2)＝24，f(2)＝－8，可知M－m＝24－(－8)＝32.]
2．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A．f(a)－g(a)
B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b)
D．f(b)－g(a)
A [令F(x)＝f(x)－g(x)，∵f′(x)∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，
∴F(x)在[a，b]上单调递减，
∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a)．]
3．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有最小值，则实数b的取值范围为( )
A．(0,1)
B．(－∞，1)
C．(0，＋∞)
D.
D [由题意得函数f(x)＝x3－6bx＋3b的导函数f′(x)＝3x2－6b在(0,1)内有零点，且f′(0)<0，f′(1)>0，即－6b<0，且3－6b>0，∴04．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是( )
A．3
B．18
C．20
D．0
C [令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，
则f(x)min＝f(－3)＝－19，
f(x)max＝f(－1)＝f(2)＝1，
由题意知|f(x1)－f(x2)|max＝|－19－1|＝20，
∴t≥20，故tmin＝20.]
5．函数f(x)＝x3－x2＋a，函数g(x)＝x2－3x，它们的定义域均为[1，＋∞)，并且函数f(x)的图像始终在函数g(x)图像的上方，那么a的取值范围是( )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C.
D.
A [设h(x)＝f(x)－g(x)＝x3－x2＋a－x2＋3x，
则h′(x)＝x2－4x＋3＝(x－3)(x－1)，
所以当x∈[1,3)时，h(x)单调递减；
当x∈(3，＋∞)时，h(x)单调递增．
当x＝3时，函数h(x)取得极小值也是最小值．
因为f(x)的图像始终在g(x)的图像上方，
所以h(x)min>0，即h(3)＝a>0，
所以a的取值范围是(0，＋∞)．]
二、填空题
6．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________．
－71 [f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．
令f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.
又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
则f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，
∴f(x)min＝k－76＝－71.]
7．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln
x的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为________．
[由题意画出函数图像如图所示，
由图可以看出|MN|＝y＝t2－ln
t(t>0)，则
y′＝2t－＝＝.
当0当t>时，y′>0，可知y在内单调递增．
故当t＝时，|MN|有最小值．]
8．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意的x∈(0,1]都有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围为________．
[4，＋∞) [因为x∈(0,1]，f(x)≥0可化为a≥－，设g(x)＝－，则g′(x)＝.
令g′(x)＝0，得x＝.
当00；当所以g(x)在(0,1]上有极大值g＝4，它也是最大值，所以a≥4.]
三、解答题
9．求下列各函数的最值．
(1)f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5，x∈[－2，＋∞)；
(2)f(x)＝x＋sin
x，x∈[0,2π]．
[解] (1)f′(x)＝12x2＋6x－36，
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－2
f′(x)
0
－
0
＋
f(x)
57
↘
－
↗
由于当x>时，f′(x)>0，
所以f(x)在上为增函数．
因此，函数f(x)在[－2，＋∞)上只有最小值－，无最大值．
(2)f′(x)＝＋cos
x，令f′(x)＝0，又x∈[0,2π]，
解得x＝或x＝.
计算得f(0)＝0，f(2π)＝π，f＝＋，
f＝－.
所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
10．已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
[解] (1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex，
令f′(x)＝0，得x＝k－1.
当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，k－1)
k－1
(k－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
－ek－1
↗
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．
(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增．
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；
当0由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；
当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减．
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k；
当1当k≥2时，f(x)min＝(1－k)e.
11．若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，)
B．(－1,4)
C．(－1,2]
D．(－1,2)
C [由f′(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1.
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
－2
↗
2
↘
由此得a2－12＜－1＜a，解得－1＜a＜.
又当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，
且当x＝2时，f(x)＝－2.∴a≤2.综上，－1＜a≤2.]
12.
(多选题)已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如表，f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图所示．
x
－1
0
4
5
f(x)
1
2
2
1
下列关于函数f(x)的命题中真命题为( )
A．函数y＝f(x)是周期函数
B．函数f(x)在[0,2]上是减函数
C．如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为5
D．当1＜a＜2时，函数y＝f(x)－a有4个零点
BC [由图像不能判断出y＝f(x)是否为周期函数，故A错误；由已知中y＝f′(x)的图像可得在[0,2]上f′(x)＜0，即f(x)在[0,2]是减函数，即B正确；由已知中y＝f′(x)的图像，及表中数据可得当x＝0或x＝4时，函数取最大值2，若x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值为5，即C正确；由f(x)＝a，因为极小值f(2)未知，所以无法判断函数y＝f(x)－a有几个零点，所以D错误．故选BC.]
13．(一题两空)已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，则实数a＝________，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________．
3 －13 [对函数f(x)求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，
由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，
即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.
由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，
易知f(x)在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，
∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
又∵f′(x)＝－3x2＋6x的图像开口向下，
且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，
f′(n)min＝f′(－1)＝－9，
故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.]
14．若函数f(x)＝在(－2，a)上有最小值，则a的取值范围为________．
(－1，＋∞) [f′(x)＝，令f′(x)>0，解得x>－1；令f′(x)<0，解得x<－1.
故f(x)在(－2，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，若f(x)在(－2，a)上有最小值，则a>－1.]
15．已知函数f(x)＝ln
x＋.
(1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值．
[解] 函数f(x)＝ln
x＋的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＝.
(1)∵a<0，∴f′(x)>0，
故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增．
(2)当x∈[1，e]时，分如下情况讨论：
①当a<1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)＝a<1，这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾；
②当a＝1时，函数f(x)在[1，e]上单调递增，其最小值为f(1)＝1，同样与最小值是相矛盾；
③当10，f(x)单调递增，
所以，函数f(x)的最小值为f(a)＝ln
a＋1，
由ln
a＋1＝，得a＝.
④当a＝e时，函数f(x)在[1，e]上有f′(x)≤0，f(x)单调递减，其最小值为f(e)＝2，这与最小值是相矛盾；
⑤当a>e时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)＝1＋>2，仍与最小值是相矛盾．综上所述，a的值为.
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