模块综合测评(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么( )
A．它的首项是－2，公差是3
B．它的首项是2，公差是－3
C．它的首项是－3，公差是2
D．它的首项是3，公差是－2
A [由题意得即解得a1＝－2，d＝3.]
2.＋1与－1的等比中项是( )
A．1
B．－1
C．±1
D.
C [设x为＋1与－1的等比中项，则x2＝(＋1)(－1)＝1，∴x＝±1.]
3．一辆汽车按规律s＝at2＋1做直线运动，若汽车在t＝2时的瞬时速度为12，则a＝( )
A.
B.
C．2
D．3
D [由s＝at2＋1得v(t)＝s′＝2at，依题意v(2)＝12，所以2a·2＝12，得a＝3.]
4．曲线y＝4x－x3在点(－1，－3)处的切线方程是( )
A．y＝7x＋4
B．y＝x－4
C．y＝7x＋2
D．y＝x－2
D [y′|x＝－1＝(4－3x2)|x＝－1＝1，∴切线方程为y＋3＝x＋1，即y＝x－2.]
5．在等差数列{an}中，a5，a10是方程x2－10x－6＝0的两个根，则{an}的前14项和为( )
A．55
B．60
C．65
D．70
D [∵在等差数列{an}中，a5，a10是方程x2－10x－6＝0的两个根，∴a5＋a10＝10，
∴{an}的前14项和S14＝(a1＋a14)＝7(a5＋a10)＝7×10＝70.故选D.]
6．已知等比数列{an}(a1≠a2)的公比为q，且a7，a1，a4成等差数列，则q等于( )
A．1或－
B．－
C.
D．1
B [在等比数列{an}中，由a1≠a2，得q≠1，
因为a7，a1，a4成等差数列，所以a7＋a4＝2a1，
即a4(q3＋1)＝2，所以q6＋q3－2＝0，解得q3＝1(舍)或q3＝－2.所以q＝－.]
7．下列函数中，x＝0是其极值点的函数是( )
A．f(x)＝－x3
B．f(x)＝－cos
x
C．f(x)＝sin
x－x
D．f(x)＝
B [对于A，f′(x)＝－3x2≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于B，f′(x)＝sin
x，当x∈(－π，0)时，f′(x)<0，当x∈(0，π)时，f′(x)>0，故f(x)＝－cos
x在x＝0的左侧区间(－π，0)内单调递减，在其右侧区间(0，π)内单调递增，所以x＝0是f(x)的一个极小值点；对于C，f′(x)＝cos
x－1≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于D，f(x)＝在x＝0处没有定义，所以x＝0不可能成为极值点．综上可知，答案选B.]
8．设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝(an－1)(n∈N
)，则an＝( )
A．3(3n－2n)
B．3n＋2n
C．3n
D．3·2n－1
C [由Sn＝(an－1)(n∈N
)可得Sn－1＝(an－1－1)(n≥2，n∈N
)，两式相减可得an＝an－an－1(n≥2，n∈N
)，即an＝3an－1(n≥2，n∈N
)．又a1＝S1＝(a1－1)，解得a1＝3，所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，则an＝3n.]
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．若物体的运动规律是s＝f(t)，则物体在时刻t0的瞬时速度可以表示为( )
A．li
B．li
C．f′(t0)
D．f′(t)
AC [物体在时刻t0的瞬时速度，即为该点处的导数，故选AC.]
10．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S3＝2a1，则下列结论正确的是( )
A．a4＝0
B．S4＝S3
C．S7＝0
D．{an}是递减数列
ABC [设等差数列{an}的公差为d，由S3＝2a1，得3a1＋3d＝2a1，即a1＋3d＝0，所以a4＝0，S4＝S3，S7＝7a1＋21d＝7(a1＋3d)＝0，故选项A，B，C正确．]
11．等差数列{an}的公差d<0，且a＝a，则数列{an}的前n项和Sn取最大值时的项数n可能是( )
A．4
B．5
C.
6
D．7
BC [由题设可知a1＝－a11，所以a1＋a11＝0，所以a6＝0.因为d<0，故a5>0，a7<0，所以n＝5或6.]
12．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数图像恰好经过k个格点，则称函数为k阶格点函数．已知函数：
①y＝sin
x;
②y＝cos；③y＝ex－1；④y＝x2.
其中为一阶格点函数的序号有( )
A．①
B．②
C．③
D．④
AC [对于①，注意到y＝sin
x的值域是[－1,1]；当sin
x＝0时，x＝kπ(k∈Z)，此时相应的整数x＝0；当sin
x＝±1时，x＝kπ＋(k∈Z)，此时没有相应的整数x，因此函数y＝sin
x仅过唯一的整点(0,0)，该函数是一阶格点函数．同理可知，对于②，函数y＝cos不是一阶格点函数．对于③，令y＝ex－1＝k(k∈Z)得ex＝k＋1>0，x＝ln(k＋1)，仅当k＝0时，x＝0∈Z，因此函数y＝ex－1是一阶格点函数．对于④，注意到函数y＝x2的图像经过多个整点，如点(0,0)，(1,1)，因此函数y＝x2不是一阶格点函数．综上所述知选AC.]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a5＝－2，a8＝16，则公比q＝________，S6等于________．(本题第1空2分，第2空3分)
－2 [∵{an}为等比数列，∴a8＝a5q3，∴q3＝＝－8，∴q＝－2.
又a5＝a1q4，∴a1＝＝－，∴S6＝＝＝.]
14．已知f(x)＝x(2
019＋ln
x)，f′(x0)＝2
020，则x0＝________.
1 [f′(x)＝2
019＋ln
x＋1＝2
020＋ln
x，
又∵f′(x0)＝2
020，
∴f′(x0)＝2
020＋ln
x0＝2
020，则ln
x0＝0，x0＝1.]
15．已知数列{an}的通项公式an＝(－1)n(2n－1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a10＝________.
10 [观察可知a1＋a2＝2，a3＋a4＝2，…，a9＋a10＝2，故a1＋a2＋a3＋…＋a10＝10.]
16．定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)>，则满足2f(x)
{x|x<1} [令g(x)＝2f(x)－x－1.因为f′(x)>，所以g′(x)＝2f′(x)－1>0.所以g(x)为单调增函数．因为f(1)＝1，
所以g(1)＝2f(1)－1－1＝0.
所以当x<1时，g(x)<0，即2f(x)四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第1项，第4项，第25项，求这三个数．
[解] 由题意，设这三个数分别是，a，aq，且q≠1，则＋a＋aq＝114.①
令这个等差数列的公差为d，则a＝＋(4－1)·d,
∴d＝.
又有aq＝＋24××，②
由②得(q－1)(q－7)＝0，∵q≠1，∴q＝7，
代入①得a＝14，则所求三个数为2,14,98.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－2ax2＋bx，其中a、b∈R，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为3.
(1)求b的值；
(2)若函数f(x)在x＝1处取得极大值，求a的值．
[解] (1)f′(x)＝a2x2－4ax＋b，由题意得f′(0)＝b＝3.∴b＝3.
(2)∵函数f(x)在x＝1处取得极大值，
∴f′(1)＝a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.
①当a＝1时，f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)，
x、f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，1)
1
(1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
由上表知，函数f(x)在x＝1处取得极大值，符合题意．
②当a＝3时，f′(x)＝9x2－12x＋3＝3(3x－1)(x－1)，
x、f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
－∞，
，1
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
由上表知，函数f(x)在x＝1处取得极小值，不符合题意．
综上所述，若函数f(x)在x＝1处取得极大值，a的值为1.
19．(本小题满分12分)求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)·an－1的前n项和．
[解] 当a＝0时，Sn＝1.
当a＝1时，Sn＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝＝n2.
当a≠0且a≠1时，
Sn＝1＋3a＋5a2＋…＋(2n－3)an－2＋(2n－1)an－1，
aSn＝a＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)an－1＋(2n－1)an，
两式相减，有
(1－a)Sn＝1＋2a＋2a2＋…＋2an－1－(2n－1)an＝1＋2－(2n－1)an，
此时Sn＝＋.
当a＝0时，也满足此式．
综上，Sn＝
20．(本小题满分12分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投资额为零时收益为零．
(1)求a，b的值；
(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．
[解] (1)由投资额为零时收益为零，可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6ln
b＝0，
解得a＝2，b＝1.
(2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln
(x＋1)．
设投入经销B商品的资金为x万元(0＜x≤5)，则投入经销A商品的资金为(5－x)万元，
设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)＝2(5－x)＋6ln
(x＋1)＝6ln
(x＋1)－2x＋10(0＜x≤5)．
S′(x)＝－2，令S′(x)＝0，得x＝2.
当0＜x＜2时，S′(x)＞0，函数S(x)单调递增；
当2＜x≤5时，S′(x)＜0，函数S(x)单调递减．
所以，当x＝2时，函数S(x)取得最大值，S(x)max＝S(2)＝6ln
3＋6≈12.6万元．
所以，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．
21．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－2，且满足Sn＝an＋1＋n＋1(n∈N
)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝log3(－an＋1)，设数列的前n项和为Tn，求证：Tn<.
[解] (1)由Sn＝an＋1＋n＋1(n∈N
)，得Sn－1＝an＋n(n≥2，n∈N
)，
两式相减，并化简，得an＋1＝3an－2，
即an＋1－1＝3(an－1)．
因为a1－1＝－2－1＝－3≠0，
所以{an－1}是以－3为首项，3为公比的等比数列，
所以an－1＝(－3)·3n－1＝－3n，故an＝－3n＋1.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.
(1)当a＝－时，讨论f(x)的单调性；
(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．
[解] (1)当a＝－时，f(x)＝x3－3x2＋3x＋1，f′(x)＝3x2－6x＋3.
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝＋1.
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，－1)上是增函数；
当x∈(－1，＋1)时，f′(x)<0，f(x)在(－1，＋1)上是减函数；
当x∈(＋1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(＋1，＋∞)上是增函数．
(2)由f(2)≥0，得a≥－.
当a≥－，x∈[2，＋∞)时，
f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3＝3·(x－2)>0，
所以f(x)在[2，＋∞)上是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0.
综上，a的取值范围是.
8/8模块综合测评(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知在等比数列{an}中，a5＝4，a8＝，则公比q＝( )
A．2
B．－2
C.
D．－
C [因为{an}为等比数列，a5＝4，a8＝，所以a8＝a5q3，即＝4q3，解得q＝.故选C.]
2．设正弦函数y＝sin
x在x＝0和x＝附近的瞬时变化率为k1、k2，则k1、k2的大小关系为( )
A．k1>k2
B．k1C．k1＝k2
D．不确定
A [y＝sin
x，y′＝cos
x，∴k1＝cos
0＝1，k2＝cos
＝0，k1>k2.]
3．已知函数f(x)＝x2＋2f′(1)ln
x，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为( )
A．1
B．2
C．－1
D．－2
D [f′(x)＝2x＋，令x＝1得
f′(1)＝2×1＋2f′(1)，所以f′(1)＝－2.
即曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率k＝－2，故选D.]
4．已知{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9的值是( )
A．24
B．27
C．30
D．33
D [根据等差数列的性质可知a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9也成等差数列，故a3＋a6＋a9＝2×39－45＝33.故选D.]
5．等比数列{an}满足a2＋8a5＝0，设Sn是数列的前n项和，则＝( )
A．－11
B．－8
C．5
D．11
A [由a2＋8a5＝0得a1q＋8a1q4＝0，解得q＝－.易知是等比数列，公比为－2，首项为，所以S2＝＝－，S5＝＝，所以＝－11，故选A.]
6.函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则函数y＝f(x)的图像可能是( )
A B C D
D [观察导函数f′(x)的图像可知，f′(x)的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观察选项可知，排除A，C.如图所示，f′(x)有3个零点，从左到右依次设为x1，x2，x3，且x1，x3是极小值点，x2是极大值点，且x2>0，故选项D正确，故选D.]
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n(n∈N
)，若p－q＝5，则ap－aq等于( )
A．10
B．15
C．－5
D．20
D [因为Sn＝2n2－3n(n∈N
)，所以an＝Sn－Sn－1＝4n－5(n≥2)．又a1＝S1＝－1，适合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝4n－5(n∈N
)．于是ap－aq＝4(p－q)＝20.故选D.]
8．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其大意为：有个女子不善织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布( )
A．30尺
B．90尺
C．150尺
D．180尺
B [由题意知，该女子每天织布的数量组成等差数列{an}，其中a1＝5，a30＝1，∴S30＝＝90，即共织布90(尺)．故选B.]
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则( )
A．a＝－3
B．a＝3
C.
b＝24
D.
b＝－24
AD [由题意知，－2,4是函数f′(x)＝0的两个根，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，所以?故选AD.]
10．在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么( )
2
4
1
2
m
x
y
z
A.x＝1
B．y＝
C．z＝
D．m＝5
ABC [由表格知，第三列为首项为4，公比为的等比数列，∴x＝1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字分别为5，，故第四列所成的等比数列的公比为，∴y＝5×3＝，同理z＝6×4＝，故选ABC.]
11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2
020>0，S2
021<0，则下列说法正确的是( )
A．S1
010最大
B．|a1
010|>|a1
011|
C．a1
011>0
D．数列中绝对值最小的项为a1
011
ABD [∵S2
020>0，S2
021<0,
∴>0，＝2
021a1
011<0，∴a1
010＋a1
011>0，a1
011<0，可得a1
010>0，a1
011<0，|a1
010|>|a1
011|，故A，B都正确，C错误，由等差数列的单调性即可得出：此数列中绝对值最小的项为a1
011，故D正确．故选ABD.]
12．设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是( )
A．a＝－3，b＝－3
B．a＝－3，b＝2
C．a＝1，b＝2
D．a＝0，b＝2
ACD [令f(x)＝x3＋ax＋b，求导得f′(x)＝3x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0，所以f(x)单调递增，且至少存在一个数使f(x)<0，至少存在一个数使f(x)>0，所以f(x)＝x3＋ax＋b必有一个零点，即方程x3＋ax＋b＝0仅有一根，故CD正确；当a<0时，若a＝－3，则f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，易知，f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在[－1,1]上单调递减，所以f(x)极大＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2，f(x)极小＝f(1)＝1－3＋b＝b－2，要使方程仅有一根，则f(x)极大＝b＋2<0或者f(x)极小＝b－2>0，解得b<－2或b>2，故A正确．所以使得三次方程仅有一个实根的是ACD.]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________.
1 [设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d和q，则－1＋3d＝－q3＝8，
解得q＝－2，d＝3，那么＝＝1.]
14．曲线y＝cos
x－在点(0,1)处的切线方程为________．
y＝－x＋1 [y′＝－sin
x－，将x＝0代入，可得切线斜率为－.所以切线方程为y－1＝－x，即y＝－x＋1.]
15．已知三次函数
f(x)过原点，且当x＝1时，有极大值4；当x＝3时，有极小值0，则函数
f(x)＝__________________________.
x3－6x2＋9x [设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，
∵函数图像过原点，∴d＝0，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
由题意得，即，解得，∴f(x)＝x3－6x2＋9x.]
16．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为，，，，，，，，，，…，，，…，，…，若Sk＝14，则k＝________，ak＝________.(本题第1空2分，第2空3分)
7 [因为＋＋…＋＝＝－，＋＋…＋＝＝，所以数列，＋，＋＋，…，＋＋…＋是首项为，公差为的等差数列，
所以该数列的前n项和Tn＝＋1＋＋…＋＝.令Tn＝＝14，解得n＝7，所以ak＝.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N
，a3＝5，S10＝100.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解] (1)设等差数列{an}的公差为d，
由题意，得解得
所以an＝2n－1.
(2)因为bn＝2an＋2n＝×4n＋2n，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(4＋42＋…＋4n)＋2(1＋2＋…＋n)
＝＋n2＋n＝×4n＋n2＋n－.
18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a；
(2)若f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．
[解] (1)因为f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，
所以f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex,
f′(2)＝(2a－1)e2.
由题设知f′(2)＝0，即(2a－1)e2＝0，解得a＝.
(2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex＝(ax－1)(x－1)ex.
若a>1，则当x∈时，f′(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在x＝1处取得极小值．
若a≤1，则当x∈(0,1)时，ax－1≤x－1<0，所以f′(x)>0.
所以1不是f(x)的极小值点．
综上可知，a的取值范围是(1，＋∞)．
19．(本小题满分12分)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.
[解] (1)
∵{an}为等差数列，∴
a3＋a4＝a2＋a5＝22，
又a3·a4＝117，
∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根．
又公差d>0，
∴a3∴∴
∴an＝4n－3.
(2)由(1)知，Sn＝n·1＋·4＝2n2－n，
∴bn＝＝，
∴b1＝，b2＝，b3＝.
∵{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，
∴2c2＋c＝0，∴c＝－(c＝0舍去)．
20．(本小题满分12分)某投资商到一开发区投资72万元建起了一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f(n)表示前n年的纯利润总和，(f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额72万元)．
(1)该厂从第几年开始盈利？
(2)该厂第几年年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值．
[解] (1)由题意知f(n)＝50n－－72＝－2n2＋40n－72.
由f(n)＞0，即－2n2＋40n－72＞0，解得2由n∈N
知，从第三年开始盈利．
(2)年平均纯利润＝40－2≤16，当且仅当n＝6时等号成立．
即第6年，投资商年平均纯利润达到最大，年平均纯利润最大值为16万元．
21．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2＋2kn(k∈N
)，且Sn的最大值为4.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和．
[解] (1)由题意知，当n＝－＝k时，Sn取得最大值4，所以－k2＋2k·k＝k2＝4，解得k＝2或k＝－2(舍去)，所以Sn＝－n2＋4n.当n＝1时，a1＝S1＝3.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝5－2n.经验证n＝1时也符合该式．
故数列{an}的通项公式为an＝5－2n(n∈N
)．
(2)由(1)知bn＝.
设数列{bn}的前n项和为Tn，则
Tn＝＋＋＋＋…＋，
Tn＝＋＋＋＋…＋，
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2(k≥0)．
(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间．
[解] (1)当k＝2时，f(x)＝ln
(1＋x)－x＋x2，
f′(x)＝－1＋2x.
由于f(1)＝ln
2，f′(1)＝，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
y－ln
2＝(x－1)，即3x－2y＋2ln
2－3＝0.
(2)f′(x)＝，x∈(－1，＋∞)．
当k＝0时，f′(x)＝－.
所以，在区间(－1,0)上，f′(x)＞0；在区间(0，＋∞)上，f′(x)＜0.
故f(x)的单调递增区间是(－1,0)，单调递减区间是(0，＋∞)．
当0＜k＜1时，由f′(x)＝＝0，得x1＝0，x2＝＞0.
所以，在区间(－1,0)和上，f′(x)＞0；在区间上，f′(x)＜0.
故f(x)的单调递增区间是(－1,0)和，单调递减区间是.
当k＝1时，f′(x)＝.
故f(x)的单调递增区间是(－1，＋∞)．
当k＞1时，由f′(x)＝＝0，
得x1＝∈(－1,0)，x2＝0.
所以，在区间和(0，＋∞)上，f′(x)＞0；
在区间上，f′(x)＜0.
故f(x)的单调递增区间是和(0，＋∞)，
单调递减区间是.
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