课时分层作业(一) 数列的概念
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列数列中，既是递增数列，又是无穷数列的是( )
A．1，，，，…
B．－1，－2，－3，－4，…
C．－1，－，－，－，…
D．1，，，…，
C [D是有穷数列，故D错误；A、B是递减数列，故A、B错误；故选C.]
2．下面有四个结论，其中叙述正确的有( )
①数列的通项公式是唯一的；
②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数；
③数列若用图像表示，它是一群孤立的点；
④每个数列都有通项公式．
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
B [①数列的通项公式不唯一，错误，②正确，③正确，④数列不一定有通项公式．]
3．数列的通项公式为an＝则a2·a3等于( )
A．70
B．28
C．20
D．8
C [由通项公式得a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2·a3＝20.]
4．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是( )
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．摆动数列
A [an＝＝1－，
当n≥2时，an－an－1＝1－－
＝－＝>0，所以{an}是递增数列．]
5．数列，，，，…的第10项是( )
A.
B.
C.
D.
C [由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为an＝.
∴a10＝＝，故选C.]
二、填空题
6．观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，，，________，3，，….
[由于数列的前几项的根号下的数是由小到大的奇数，所以需要填空的数为.]
7．数列11,103,1
005,10
007，…的一个通项公式是________．
an＝10n＋2n－1 [a1＝10＋1＝101＋1，
a2＝100＋3＝102＋(2×2－1)，
a3＝1
000＋5＝103＋(2×3－1)，
…
所以an＝10n＋2n－1.]
8．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3为此数列的第________项．
2或6 [令an＝n2－8n＋15＝3，即n2－8n＋12＝0，解得n＝2或6.]
三、解答题
9．写出下面各数列的一个通项公式．
(1)，，，，，…；
(2)－1，，－，，－，，…；
(3)6,66,666,6
666，….
[解] (1)这个数列前5项中，每一项的分子比分母少1，且分母依次为21,22,23,24,25，所以它的一个通项公式为an＝.
(2)这个数列的奇数项为负，偶数项为正，前6项的绝对值可看作分母依次为1,2,3,4,5,6，分子依次为1,3,1,3,1,3，所以它的一个通项公式为
an＝
(3)这个数列的前4项可写为(10－1)，(102－1)，(103－1)，(104－1)，
所以它的一个通项公式为an＝(10n－1)．
10．已知数列{an}的通项公式为an＝30＋n－n2.
(1)－60是否为这个数列中的项？若是，求出它是第几项；若不是，请说明理由；
(2)当n分别为何值时，an＝0，an>0；
(3)当n为何值时，an取得最大值？并求出最大值．
[解] (1)令30＋n－n2＝－60，即n2－n－90＝0，
解得n＝10或n＝－9(舍去)，
∴－60是这个数列的第10项，即a10＝－60.
(2)令30＋n－n2＝0，即n2－n－30＝0，
解得n＝6或n＝－5(舍去)，
即当n＝6时，an＝0.
令30＋n－n2>0，即n2－n－30<0，
解得－5
又n∈N＋，
∴当n＝1,2,3,4,5时，an>0.
(3)an＝30＋n－n2＝－2＋，
∵n∈N＋，
∴当n＝1时，an取得最大值，最大值为30.
11．数列0.7,7.7,77.7,777.7，…的一个通项公式是an＝( )
A.(10n－1)
B.(10n－1)
C.(10n－1)
D.(10n－1)
D [代入n＝1检验，排除A、B、C.]
12．(多选题)已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N＋)，且{an}单调递增，则k的取值可以为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
AB [an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k，又{an}单调递增，故应有an＋1－an>0，即2n＋1－k>0恒成立，分离变量得k<2n＋1，故只需k<3即可，故选AB.]
13．(一题两空)已知数列{an}，an＝an＋2m(a<0，n∈N＋)，满足a1＝2，a2＝4，则m＝________，a3＝________.
2 [∴a2－a＝2，
∴a＝2或－1，
又a<0，
∴a＝－1.
又a＋2m＝2，
∴m＝，
∴an＝(－1)n＋3，
∴a3＝(－1)3＋3＝2.]
14．如图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n个图中共有化学键________个．
5n＋1 [各图中的化学键个数依次是6,6＋5,6＋5＋5，….若把6看成是1＋5，则上述数列为1＋5,1＋5＋5,1＋5＋5＋5，…，于是第n个图有化学键5n＋1个．]
15．在数列{an}中，an＝.
(1)求数列的第7项；
(2)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内；
(3)区间内有无此数列的项？若有，有几项？
[解] (1)a7＝＝.
(2)证明：因为an＝＝1－，0<<1，
所以0(3)由<<，
得又n∈N＋，所以n＝1，即在区间内有且只有一项是a1.
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